1、4.5.2用二分法求方程的近似解 讲课人：邢启强 2 1、函数的零点的定义：、函数的零点的定义： 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零 点(zero point） 结论: ( )0 ( ) ( ) f x yf xx yf x 方程有实数根 函数的图象与 轴有交点 函数有零点 复习 讲课人：邢启强 3 ( ) , f xa b 如果函数y=在区间上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0, 那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点， 即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根. 2、零点存在性定理、零点存在性定理 复习 讲课人：邢启
2、强 4 问题问题1 算一算：算一算： 查找线路电线、水管、气管等管道线路故障查找线路电线、水管、气管等管道线路故障 定义定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较，：每次取中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法， 也叫对分法，常用于：也叫对分法，常用于： 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房 到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一 条条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？长的线路，如何迅速查出故障所在？ 要把故障可能发生的范围缩小到要把故障可能
3、发生的范围缩小到 50100m左右，即一两根电线杆附近，左右，即一两根电线杆附近， 要检查多少次？要检查多少次？ 方法分析：方法分析： 实验设计、资料查询；实验设计、资料查询；是方程求根的常用方法！是方程求根的常用方法！ 7次次 讲课人：邢启强 5 例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数 改： 求出函数f(x)=lnx+2x-6的零点 (即求方程即求方程lnx+2x-6=0的实数根的实数根,精确到精确到0.01) 复习 答案：这个函数在区间答案：这个函数在区间(2,3)内有零点内有零点 讲课人：邢启强 6 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -55101532 f x 0 想法想
4、法:如果能够将如果能够将零点所在的范围尽量零点所在的范围尽量 缩小缩小,那么在一定精确度的要求下那么在一定精确度的要求下,我我 们可以得到们可以得到零点的近似值零点的近似值. 改： 求出函数f(x)=lnx+2x-6的零点 讲课人：邢启强 7 一般地一般地,我们把我们把 称为区间称为区间(a,b)的中点的中点. 2 ba x 区间区间中点的值中点的值中点函数近似值中点函数近似值 0.0012.53515625(2.53125,2.5390625) 0.0102.5390625(2.53125,2.546875) 0.0292.546875(2.53125,2.2625) 0.0092.5312
5、5(2.5,2.5625) 0.0662.5625(2.5,2.625) 0.2152.625(2.5,2.75) 0.5122.75(2.5,3) 0.0842.5(2,3) 改： 求出函数f(x)=lnx+2x-6的零点的近似值 f(2)0 讲课人：邢启强 8 二分法定义二分法定义 对于在区间对于在区间a,b上上连续不断连续不断、 且且f(a)f(b)0的函数的函数y=f(x)，通，通 过不断把函数过不断把函数f(x)的零点所在区的零点所在区 间间一分为二一分为二，使区间的两个端，使区间的两个端 点点逐步逼近零点逐步逼近零点，进而得到零，进而得到零 点近似值的方法叫点近似值的方法叫二分法二
6、分法。 讲课人：邢启强 9 用二分法求函数零点近似值的步骤用二分法求函数零点近似值的步骤 思考思考1:1:求函数求函数f(x)f(x)的零点近似值第一步的零点近似值第一步 应做什么？应做什么？ 思考思考2:2:为了缩小零点所在区间的范围，为了缩小零点所在区间的范围， 接下来应做什么？接下来应做什么？ 确定区间确定区间a,ba,b，使，使 f(a)f(b)f(a)f(b)0 0 求区间的中点求区间的中点c c，并计算，并计算f(c)f(c)的值的值 讲课人：邢启强 10 思考思考3:3:若若f(c)=0f(c)=0说明什么？说明什么？ 若若f(a)f(c)f(a)f(c)0 0或或f(c)f(b
7、)f(c)f(b)0 0 ， 则分别说明什么？则分别说明什么？ 若若f(c)=0f(c)=0 ，则，则c c就是函数的零点；就是函数的零点； 若若f(a)f(c)f(a)f(c)0 0 ，则零点，则零点x x0 0(a,c)(a,c)； 若若f(c)f(b)f(c)f(b)0 0 ，则零点，则零点x x0 0(c,b).(c,b). 讲课人：邢启强 11 思考思考4:4:若给定精确度若给定精确度，如何选取近似，如何选取近似 值？值？ 当当| |mn| |时，区间时，区间 m，n 内的任意内的任意 一个值都是函数零点的近似值一个值都是函数零点的近似值. . 思考思考5 5：对下列图象中的函数，能
8、否用对下列图象中的函数，能否用 二分法求函数零点的近似值？为什么？二分法求函数零点的近似值？为什么？ x y o x y o 讲课人：邢启强 12 二分法步骤二分法步骤 1.确定区间确定区间a,b,验证验证f(a)f(b)0,给定精确度给定精确度. 2、求区间、求区间(a,b)的中点的中点c 3、计算、计算f(c); (1) 若若f(c)=0,则则c就是函数的零点就是函数的零点 (2) 若若f(a)f(c)0,则令则令a= c(此时零点此时零点x0(c,b) 4、判断是否达到精确度、判断是否达到精确度,即若即若|a-b|,则得则得 到零点的近似值到零点的近似值a(或或b)；否则重复；否则重复2
9、4 讲课人：邢启强 13 3.1.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 例2 借助计算器或计算机用二分法求 方程2x+3x=7 的近似解(精确到0.1). 解:令f(x)= 2x+3x-7,则把问题转化为求 函数的零点,用二分法 讲课人：邢启强 14 例例2 2 借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程 2 2x x+3x=7 +3x=7 的近似解的近似解( (精确到精确到0.1).0.1). 方法三：方法三： 画出画出y=lnxy=lnx及及y=-2x+6y=-2x+6的图象的图象 方法一：方法一： 用计数器或计算机作出用计数器或计算机作出x,f(xx,f
10、(x) )的对应值表的对应值表 方法二：方法二： 用几何画板作出函数用几何画板作出函数y=f(xy=f(x) )的图象的图象 讲课人：邢启强 15 区间区间中点的值中点的值中点函数近似值中点函数近似值 (1,2)1.50.33 (1,1.5)1.25-0.87 (1.25,1.5)1.375-0.28 (1.375,1.5)1.43750.02 (1.375,1.4375) 由于由于 |1.375-1.4375|=0.06250.1 此时区间此时区间(1.375,1.4375)的两个端点的两个端点 精确到精确到0.1的近似值都是的近似值都是1.4，所以原方程，所以原方程 精确到精确到0.1的近
11、似解为的近似解为1.4。 732)(xxf x 讲课人：邢启强 16 例例2 2 借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程 2 2x x+3x=7 +3x=7 的近似解的近似解( (精确到精确到0.1).0.1). 方法二：用几何画板作出函数方法二：用几何画板作出函数y=f(xy=f(x) )的图象的图象 讲课人：邢启强 17 讲课人：邢启强 18 (2,2.5) 练习： 讲课人：邢启强 19 4.课本课本155页页 第第1,2题题 讲课人：邢启强 20 用用二分法二分法求解方程的近似解：求解方程的近似解： 1、确定区间、确定区间a,b，验证，验证f(a)f(b)0，给定精确度，给定精确度 2、求区间、求区间(a,b)的中点的中点c 3、计算、计算f(c); (1) 若若f(c)=0,则则c就是函数的零点就是函数的零点 (2) 若若f(a)f(c)0,则令则令a= c(此时零点此时零点x0(c,b) 4、判断是否达到精确度、判断是否达到精确度，即若，即若|a-b| ,则得到零点则得到零点 的近似值的近似值a(或或b)；否则重复；否则重复24.
