1、5.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 讲课人：邢启强 2 p 正弦函数正弦函数ysinx，x0, 2 的图象中，的图象中， 五个关键点是哪几个五个关键点是哪几个? p 余弦函数余弦函数ycosx，x0, 2 的图象中，的图象中， 五个关键点是哪几个五个关键点是哪几个? )0 ,2( ),1, 2 3 ( ),0 ,( ),1 , 2 ( ),0 ,0( )1 ,2( ),0 , 2 3 ( ),1,( ),0 , 2 ( ),1 ,0( 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 3 由正弦函数由正弦函数y=sinx和余弦函数和余弦函数 y=cosx的作图过程以及正弦函数和余弦函数的作图过程以及正弦函
2、数和余弦函数 的定义，容易得出正弦函数的定义，容易得出正弦函数y=sinx和余弦函和余弦函 数数y=cosx有以下重要性质有以下重要性质. (1)定义域：定义域： 正弦函数正弦函数y=sinx的定义域是的定义域是实数集实数集R 或或(,),记作记作:ysinx,xR. 余弦函数余弦函数y=cosx的定义域是的定义域是实数集实数集R 或或(,),记作记作:ycosx,xR. 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 4 我们已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的我们已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的 几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我 们已经
3、学习了正弦函数的们已经学习了正弦函数的ysinx在在R上图像，下面上图像，下面 请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？ 新课引入新课引入 正弦函数正弦函数y=sinx,xR 2 当且仅当当且仅当x 2k，kZ时，正弦函数时，正弦函数 取得最大值取得最大值1； 2 当且仅当当且仅当x 2k，kZ时，正弦函时，正弦函 数取得最小值数取得最小值1 讲课人：邢启强 5 (2)值域值域:因为正弦线的长度小于或等于单位圆因为正弦线的长度小于或等于单位圆 的半径的长度的半径的长度;从正弦曲线可以看出，正弦曲从正弦曲线可以看出，正弦曲 线分布在两条平行线线分布
4、在两条平行线y=1和和y=1之间，所以之间，所以 |sinx|1,即即1sinx1, 也就是说，正弦函数的值域是也就是说，正弦函数的值域是1,1. 同理余弦函数的值域是同理余弦函数的值域是1,1 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 余弦函数余弦函数y=cosx,xR 当且仅当当且仅当x2k，kZ时，余弦函数取得最时，余弦函数取得最 大值大值1； 当且仅当当且仅当x2k+，kZ时，余弦函数取时，余弦函数取 得最小值得最小值1 2 o 46246x y - - - - - - - - - 1 -1 2 o 46246x y - - - - - - - - - 1 -1 学习新知学习新知 讲课人：
5、邢启强 7 (1)今天是星期一，则过了七天是星期几？今天是星期一，则过了七天是星期几？ 过了十四天呢？过了十四天呢？ (2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点物理中的单摆振动、圆周运动，质点 运动的规律如何呢？运动的规律如何呢？ 在数学当中，有没有周期现象？在数学当中，有没有周期现象？ 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 (1) 正弦函数的图象是有规律正弦函数的图象是有规律不断重复不断重复出现的；出现的； (2) 规律是：每隔规律是：每隔2 重复出现一次（或者说每隔重复出现一次（或者说每隔 2k ，k Z重复出现）；重复出现）； (3) 这个规律由诱导公式这个规律由诱导公式sin(2k +x)
6、=sinx可以说可以说 明明. 正弦函数的性质正弦函数的性质1周期性周期性 结论：结论：象这样一种函数叫做象这样一种函数叫做周期函数周期函数. 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 9 一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为D，如果存，如果存 在一个在一个非零常数非零常数T，使得对，使得对每一个每一个xD，都有，都有 x+TD 且且f(xT)f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫做就叫做 周期函数周期函数，非零常数，非零常数T叫做这个函数的叫做这个函数的周期周期 由此可知，由此可知，2,4,2,4， 2k (kZ且且k0)都是正弦函数和余弦函数都是正弦函数和余弦函数 的周期的周
7、期,最小正周期是最小正周期是2. 周期函数定义：周期函数定义： 学习新知学习新知 对于一个周期函数对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周，如果在它所有的周 期中存在一个期中存在一个最小的正数最小的正数，那么这个最小正，那么这个最小正 数就叫做数就叫做 f(x)的的最小正周期。最小正周期。 讲课人：邢启强 10 注意：注意： (1) 周期函数中，周期函数中，x 定义域定义域M，则必有，则必有 x+T M, 且若且若T0，则定义域无上界；，则定义域无上界；T0则定则定 义域无下界；义域无下界； (2) “每一个值每一个值”，只要有一个反例，则，只要有一个反例，则f (x)就就 不为周期函数（如
8、不为周期函数（如f (x0+T) f (x0)）；）； (3) T往往是多值的（如往往是多值的（如y=sinx, T=2 , 4 , , 2 , 4 , 都是周期）周期都是周期）周期T中最小的正数中最小的正数 叫做叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最的最小正周期（有些周期函数没有最 小正周期）小正周期）. 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 11 学习新知学习新知 (1)sin , 2 sin()sin, 636 yx xR 对于函数有 想一想 2 ? 3 能否说是它的周期 (2)sin , ? yx xR正弦函数是不是周期 函数，如果是，周期为多少 (3)sin , 6 ,6 ? y
9、x x 正弦函数是不是周期 函数，如果是，周期为多少 * (4)( ), ( )? f xTkT kN f x 若函数的周期为则 也是周期吗 为什么 讲课人：邢启强 12 求下列函数的周期 (1)3cos , (2)sin2 ,yx xRyx xR 解:(1)cos(x+2)=cosx, 3cos(x+2)=3cosx 函数y= 3cosx，xR的周期为2 (2)设函数y=sin2x, xR的周期为T，则 sin2(x+T)=sin(2x+2T)=sin2x 正弦函数的最小正周期为2 ， 2 22 2 TT 所以，得 y=sin2x ,xR的周期为 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 13 例：
10、求下列函数的周期 1 2sin() 26 yx 解:设函数 的周期为T，则 Rxxy), 62 1 sin(2 正弦函数的最小正周期为2 ， 62 1 sin2 2 1 62 1 sin2 6 )( 2 1 sin2 xTxTxy 4 2 1 2 2 2 1 TT得 函数 的周期为4Rxxy), 62 1 sin(2 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 14 求下列三角函数的周期：求下列三角函数的周期： (1)y=sin(x+ )； (2) y=3sin( + ) 3 2 x 5 解：解： (1) 令令z= x+ 而而 sin(2 +z)=sinz 3 即：即：f (2 +z)=f (z) ,
11、f (x+2 )+ =f (x+ ) 3 3 函数的周期函数的周期T=2 . 巩固练习巩固练习 （2）解：令）解：令z= , 则则 25 x f (x)=3sinz=3sin(z+2 ) 函数的周期函数的周期T=4 . =f (x+4 ) 4 25 x =3sin( ) 25 x =3sin( +2 ) 讲课人：邢启强 15 的的周周期期 且且为为常常数数其其中中 函函数数 及及函函数数 )0, 0,( ),cos( )sin( AA RxxAy xAy 一般结论一般结论: . 2 T 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 16 (3) y=|sinx| 解：解：f(x+)=|sin(x+)|=|
12、sinx|, 所以函数的周期是所以函数的周期是T=. 求下列三角函数的周期：求下列三角函数的周期： 深化练习深化练习 讲课人：邢启强 17 正弦、余弦函数的性质正弦、余弦函数的性质22奇偶性奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数 图象有怎样的对称性？其特点是什么？图象有怎样的对称性？其特点是什么？ 学习新知学习新知 sin()sinxx sin (R)yx x是奇函数是奇函数 定义域关前提：于原点对称 cos()cosxx cos (R)yx x是偶函数是偶函数 讲课人：邢启强 18 例例2.2.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 (1)
13、( )2sin2f xx (2)( )sin1f xx 典型例题典型例题 奇函数奇函数 非奇非偶函数非奇非偶函数 (3)( )1 sinf xx 非奇非偶函数非奇非偶函数 讲课人：邢启强 19 (1)函数函数y=sinx的图象还有其他对称中心吗的图象还有其他对称中心吗? (2)函数函数y=sinx的图象是轴对称图形吗？的图象是轴对称图形吗？ 学习新知学习新知 (3)函数函数y=cosx的图象还有其他的图象还有其他对称对称轴吗？轴吗？ (4) 函数函数y=cosx的图象的图象是是中心对称中心对称图形图形吗吗? 讲课人：邢启强 20 定义域 值域 最大值 最小值 奇偶性 周期性 y=sinxy=cosx 函数 性质 RR -1，1 -1，1 仅当 时取得最大值1 Zkkx,2 2 仅当 时取得最大值1 Zkkx,2 仅当 时取得最小值-1 Zkkx,2 2 仅当 时取得最小值-1 Zkkx,) 12( 奇函数偶函数 22 课堂小结课堂小结
