1、4.3.2对数的运算性质 讲课人：邢启强 2 ? 底数 ? 对数 ? 真数 ? 幂 ? 指数 ? 底数 ? ? ? ? ? ? ? log ? a ? Nb ? a ? b ? =N 一般地，如果 1, 0aaa 的b次幂等于N, 就是 Na b ，那么数 b叫做 以a为底 N的对数，记作 bN a log a叫做对数的底数，N叫做真数。 定义： 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 3 有关性质： 负数与零没有对数（在指数式中 N 0 ） , 01log a 1loga a 对数恒等式 Na N a log og m a lam 0,1,0,aaNmR 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 4 常用
2、对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 N 10 log 简记作lgN。 自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。 为了简便，N的自然对数 N e log 简记作lnN。 （6）底数a的取值范围： ), 1 () 1 , 0( 真数N的取值范围 :), 0( 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 5 指数运算性质： （1） （2） （3） 对数会有怎样的运算性质呢？ mnm n aaa nm n m a a a mnnm aa)( 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 6 问题：根据对数的定义及指数的运算性质
3、解答下面问题，看看你能发现什么: 设 ， ，试用m,n表 示 N）； 解：设loga(MN)= x,则 ax =MN 又因为 logaM=m,logaN=n 所以 M=am , N=an 所以 axam an 即axamn ， 所以x=mn，即loga(MN)=logaMlogaN mM a lognN a log M a (log)(log N M a n a Mlog 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 7 积、商、幂的对数运算法则： 如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有： )( )( )( 3R)M(nnlogMlog 2NlogMlog N M log 1NlogMlog(MN)l
4、og a n a aaa aaa 证明：设 ,logpM a ,logqN a 由对数的定义可以得： , p aM q aN MN= p a q a qp a qpMN a log 即证得 aaa log (MN)log Mlog N 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 证明：设 ,logpM a ,logqN a 由对数的定义可以得： , p aM q aN q p a a qp a qp N M a log 即证得 ? 底数 ? 对数 ? 真数 ? 幂 ? 指数 ? 底数 ? ? ? ? ? ? ? log ? a ? Nb ? a ? b ? =N N M 学习新知学习新知 aaa M
5、 loglog Mlog N N （2） 讲课人：邢启强 9 证明：设 ,logpM a 由对数的定义可以得： , p aM npn aM npM n a log 即证得 ? 底数 ? 对数 ? 真数 ? 幂 ? 指数 ? 底数 ? ? ? ? ? ? ? log ? a ? Nb ? a ? b ? =N (3) n aa log Mnlog M(nR) 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 10 上述证明是运用转化的思想，先通过假设， 将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等 变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。 )( )( )( 3R)M(nnlogMlog 2NlogMlog
6、 N M log 1NlogMlog(MN)log a n a aaa aaa 简易语言表达：“积的对数 = 对数的和” 有时逆向运用公式 真数的取值范围必须是 ), 0( 对公式容易错误记忆，要特别注意： ,loglog)(logNMMN aaa NMNM aaa loglog)(log 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 11 尝试练习尝试练习 讲课人：邢启强 12 例1 解（1） 解（2） 用 ,log x a ,log y a z a log表示下列各式： 3 2 log)2(;(1)log z yx z xy aa zxy z xy aaa log)(loglog 3 1 2 1 2
7、3 2 log)(loglogzyx z yx aaa zyx aaa logloglog 3 1 2 1 2 logloglogzyx aaa zyx aaa log 3 1 log 2 1 log2 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 13 18lg7lg 3 7 lg214lg 例2计算： 解法一： 18lg7lg 3 7 lg214lg 18lg7lg) 3 7 lg(14lg 2 18) 3 7 ( 714 lg 2 01lg )32lg(7lg 3 7 lg2)72lg( 2 )3lg22(lg7lg )3lg7(lg27lg2lg 0 18lg7lg 3 7 lg214lg 解法二
8、： 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 14 （1） 例3计算： 9lg 243lg 3lg2 3lg5 2 5 解： 11 33 22 2 lg27lg83lg 10lg(3 )lg23lg(10) (2) 3 2lg1.2 lg 10 5 2 lg243lg3 (1) lg9lg3 lg27lg83lg 10 (2) lg1.2 12lg23lg ) 12lg23(lg 2 3 2 3 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 15 讲课人：邢启强 16 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 17 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 18 讲课人：邢启强 19 练习3.求下列各式的值： （1）log26l
9、og23 (2) lg5lg2 (3)log53log5 （4）log35log315 解(1) log26log23 log2 log22 =1 (2) lg5lg2 = lg(52)=lg10=1 (3)原式=log5(3 )=log51=0 (4)原式= log3 = log3 = log33-1=1 3 1 3 6 3 1 15 5 3 1 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 20 练习4：求下列各式的值： （1）log2(4725) (2) lg 5 100 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 21 练习5： 1.已知lg2=a , lg3=b , 请用a ,b 表示 lg12 . 2.
10、计算lg ( 103102)的结果( )。 A. 1 B. C. 90 D.2lg9 2 3 1.解:lg12 =lg(43) =lg4lg3 =2lg2lg3 =2a b 2.解: lg ( 103102) lg 102( 101) lg(102 9) lg102lg92lg9 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 22 小结：本节课我们学习了对数的运算性质及其 运用，注意指数运算性质与对数运算性质的 对照。 指数运算性质： 对数运算性质： m a nmn aa nm n m a a a mnnm aa)( M a (log)N M a log N a log N M a logM a logN a log n a MlognM a log)(Rn 课堂小结课堂小结 讲课人：邢启强 23 作业 ：课本P126 第3题 （1）（2）（3） 第4题 课后作业课后作业
