1、6.2.4向量数量积向量数量积 讲课人：邢启强 2 s F 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的的作用下产生的 位移位移s，那么力那么力F 所做的功应当怎样所做的功应当怎样 计算？计算？ 其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量， 是是F 与与s 的夹角，而功是数量的夹角，而功是数量. | s|F|Wcos 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 3 向量的夹角：向量的夹角： 已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，作，作 ， ，a OAa OBb 则则AOB=AOB=(0(0180)180)叫做向量叫做向量 与与 的夹角的夹角. . b a b O a b A B 当当= 0时，时，
2、 与与 同向；同向；a b 当当= 180时，时， 与与 反向；反向； a b 当当= 90时，时， 与与 垂直，记作垂直，记作 。 a b ab a b a b a b 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 4 平面向量的数量积：平面向量的数量积： 已知非零向量已知非零向量 与与 ，我们把数量，我们把数量 叫作叫作 与与 的的 数量积数量积（或内积），记作（或内积），记作 ，即规定，即规定 |cosa b a b a b a b |cosa ba b B B1 O A a b 规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。 强调强调：两个向量的数量积是数量，：两个向量的数量积
3、是数量， 只与两向量的长度及夹角有关只与两向量的长度及夹角有关 |a| cos（|b| cos）叫做向）叫做向 量量a在在b方向上（向量方向上（向量b在在a方方 向上）的向上）的投影投影。 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 5 例例1.已知已知 ， 的夹角的夹角=120=120， 求求 。 | 5,| 4ab ab 与与 a b 解：解： |cos 5 4 cos120 1 5 4 () 2 10 = a ba b 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 6 例例2.已知已知 求求 的夹角的夹角。 | 12,| 9,54 2,aba b ab 与 解：解： 54 22 cos 12 92| a b
4、a b = 典型例题典型例题 |cosa ba b 由得 因为0,所以 3 4 讲课人：邢启强 7 学习新知学习新知 如图(1),设 是两个非零向量, ,我 们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分 别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得 到A1B1.我们称上述变换为向量a向向量b投影 (project), A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量. , a b ,ABa CDb 如图 (2),我们可以在 平面内任取一点O,作 OM=a,ON=b.过点M 作直线ON 的垂线,垂 足为M1,则OM1就是 向量a在向量b上的投 影向量. 讲课人：邢启强 8 学习新知学习新知 如图,设与
5、b方向相同的单位向量 为e,a与b的夹角为,那么OM1与 e,a, 之间有怎样的关系? 显然.OM1与e共线,于是OM1=e. 下面我们探究入与a, 的关系,进而给出OM1的明 确表达式. 我们分 为锐角、直角,钝角以及 =0, =等情况 进行讨论. 讲课人：邢启强 9 学习新知学习新知 当 为锐角(图1)时,OM1与e方向相同, =|OM1|=|a|cos ,所以OM1=|OM1|e=|a|cos e; 当 为直角(图2)时, =0,所以OM1=0=|a|cos e 当 为钝角(图3)时, OM1 与e方向相反, 所以 =-|OM1|=-|a|cosMOM1 =-|a|cos( )=|a|c
6、os ,即OM1=|a|cos e. 2 讲课人：邢启强 10 学习新知学习新知 当 =0时,OM1与e方向相同, =|a|所以OM1=|a|e =|a|cos0e, 当 =时,OM1与e方向相反, =-|a|所以OM1=-|a|e =|a|cose, 由上讨论可知,对于任意的0, OM1=|a|cos e. 讲课人：邢启强 11 设设ba 、 是非零向量是非零向量， be 是与 方向相同的方向相同的 单位向量，单位向量，ea 与 是的的夹角，则夹角，则 cos|) 1 (aeaae 0)2(baba |;|) 3(bababa 同向时，与当 |;|bababa 反向时，与当 特别地特别地 2
7、 |aaa aaa |或 2 a | cos)4( ba ba | )5(baba O A B a b B1 | | | | | c co os sa ab ba ab b 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 12 _. _ _ _. (3)| _ |.() aba b a bab a bab a a a ba b ； 反； 若与 同向, 若与 同向, 若与向, 若与向, 填或填或 (1)(1) (2)(2) 由向量数量积的定义，试完成下面问题：由向量数量积的定义，试完成下面问题： 注：常记注：常记 为为 。 a a 2 a |aa a 0 |a b |a b 2 |a 22 ( )|aa 证明
8、向量证明向量 垂直的依据垂直的依据 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 13 数量积的运算律：数量积的运算律： cbcacba bababa abba )(3( )()()(2( ) 1 ( 其中，其中， cba 、是是任意三个向量，任意三个向量， R 注：注：)()(cbacba 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 14 1 1 A A B O a b Cc 2 1 B 2 B 1 | |cos|cosOBOBab 11 | |cosOAa 1122 | | |cosABABb 如图可知：如图可知： 1111 12 | | |cos|cos|cos OBOAAB abab 12 () |cos
9、|cos|cos cabcab cac b c ac b ()abca cb c ()abca cb c 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 15 例例3.我们知道，对任意我们知道，对任意 ，恒有，恒有, a bR 22222 ()2,()().abaabbab abab 对任意向量对任意向量 是否也有下面类似的结论？是否也有下面类似的结论？ , ,a b 222 22 ()2; ()(). abaa bb ab abab (1)(1) (2)(2) 33223 (3) ()( )3( )3( )( )abaababb 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 16 例例4.已知已知 ， 的夹角的夹角6
10、060， 求求 . | | 6,| | 4ab ab 与与 (2 ) (3 )abab 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 17 例例5.已知已知 ，且，且 与与 不共线，不共线，k为何值时，为何值时， 向量向量 与与 互相垂直互相垂直。 | 3,| 4ab a akb b akb 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 18 练习：练习： 1 1若若a = =0，则对任一向量则对任一向量b ，有，有a b= =0 2若若a 0，则对任一非零向量则对任一非零向量b ,有有a b0 3 3若若a 00，a b b = =0，则，则b= =0 4 4若若a b= =0，则，则a b中至少有一个为中至少有一
11、个为0 5 5若若a0，a b= = b c，则，则a=c 6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a= =0 时成立时成立 7对任意向量对任意向量 a 有有 22 |aa 讲课人：邢启强 19 3、用向量方法证明：直径所对的圆周、用向量方法证明：直径所对的圆周 角为直角。角为直角。 A B C O 分析：要证分析：要证ACB=90，只须证向只须证向 量量 ，即，即 。A AC CC CB B 0 0A AC CC CB B 设设 则则 ， 由此可得：由此可得： , ,A AO Oa a O OC Cb b , ,A AC Ca ab b C CB Ba ab b A AC CC CB Ba ab ba ab b 2 22 2 2 22 2 | | | | |a ab ba ab b 2222 0 0rrrr 即即 ，ACB=900CBAC
