1、6.4.1平面几何的向量方法平面几何的向量方法 讲课人：邢启强 2 1. 两个向量两个向量的数量积的数量积： . cos| baba 2. 平面两向量数量积的坐标表示平面两向量数量积的坐标表示: . 2121 yyxxba 3. 向量平行与垂直的判定向量平行与垂直的判定: . 0 2121 yyxxba . 0/ 1221 yxyxba 1122 ( ,),(,)ax ybxy 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 3 2 21 2 21 )()(|yyxxAB aaa 22 yxa 2 21 2 21 )()(yyxxa 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 4.平面内两
2、点间的距离公式： 求模： 5.夹角公式cos = |ba ba 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 4 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背向量概念和运算，都有明确的物理背 景和几何背景。当向量与平面坐标系结合景和几何背景。当向量与平面坐标系结合 以后，向量的运算就可以完全转化为以后，向量的运算就可以完全转化为“代代 数数”的计算，这就为我们解决物理问题和的计算，这就为我们解决物理问题和 几何研究带来极大的方便。几何研究带来极大的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具由于向量的线性运算和数量积运算具 有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，有鲜明的几何背景，
3、平面几何的许多性质， 如平移、全等、相似、长度、夹角都可以如平移、全等、相似、长度、夹角都可以 由向量的线性运算及数量积表示出来，因由向量的线性运算及数量积表示出来，因 此，利用向量方法可以解决平面几何中的此，利用向量方法可以解决平面几何中的 一些问题。一些问题。 学习新知学习新知 问题：问题：平行四边形是表示向量加法与减法的平行四边形是表示向量加法与减法的 几何模型。如图几何模型。如图，你能发现平行四边形对角你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ ,ACABAD ,DBABAD AB CD 猜想：猜想： 2.类比猜想，平行四边形有相似
4、关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？ 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 例例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 A B DC已知：平行四边形ABCD。 求证： 222222 BDACDACDBCAB bADaAB ,解：解：设 ，则 baDBbaACaDAbBC;, 分析：分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。 bADaAB , )( 2 22 2222 baDACDBCAB 22 22 babaBDAC 22 222222 2222bababbaabbaa 222222 BDACDACDBC
5、AB 典型例题典型例题 你能总结一下利用向量法解决平面几何问题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗？的基本思路吗？ （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题；转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。 用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲三步曲”： 简述：
6、简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形 方法总结方法总结 讲课人：邢启强 8 例例2 如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别分别 是是AD 、 DC边的中点，边的中点，BE 、 BF分别分别 与与AC交于交于R 、 T两点，你能发现两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ AB CD E F R T 猜想：猜想： AR=RT=TC 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 9 解：设解：设 则则 由于由于 与与 共线，故设共线，故设 AR AC (),rn ab nR 又因为又因为 共线，共线， 所以设所以设 E RE B 与与 1 2 (
7、)ERmEBm ab 因为因为 所以所以 A RA EE R 11 22 ()rbm ab 11 22 ()()n abbm ab 因因此此 AB CD E F R T , ABa ADb ARr ACab 讲课人：邢启强 10 1 0 2 ()() m nm anb 即即 ,a b 由由于于向向量量不不共共 0 1 0 2 nm m n 线线， 1 1 解解 得得 ： n n= = m m = = 3 3 111 333 ,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是 故故AT=RT=TC AB CD E F R T 讲课人：邢启强 11 练习、证明直径所对的圆周角是直角练习、证明直径
8、所对的圆周角是直角 A B C O 如图所示，已知 O，AB为直径，C 为 O上任意一点。求证ACB=90 分析分析：要证ACB=90，只须证向 量 ，即 。 CBAC 0CBAC 解：解：设 则 ， 由此可得： bOCaAO , baCBbaAC, babaCBAC 22 22 baba 0 22 rr 即 ，ACB=900CBAC思考：能否用向量思考：能否用向量 坐标形式证明？坐标形式证明？ a b 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 12 练习练习1： 1.求证：梯形的中位线长等于两底和的一半。求证：梯形的中位线长等于两底和的一半。 AB CD EF 2.设设O为为ABCABC内部的任意一
9、点，内部的任意一点，D D、E E、F F分别为分别为ABAB、BCBC、CACA边边 的中点，试证：的中点，试证： 。 OAOBOCODOEOF 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 13 练习练习2：用向量方法证明：对角线互相垂直的 平行四边形是菱形. 2 2 2 2222 22 , | | | 2| 2 | | ABAOOB BCBOOC ABAOOBAOAOOBOBAOOB BCBOOCB ABCDAC OBOO BDO OC 证明：如图平行四边形，对角线、交于点 ， 222 | | |, | |. CBOOC ABBCABCD ， 四边形是菱形 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 14 如
10、图，如图，AD，BE，CF是是ABC的三条高的三条高. 求证：求证： AD，BE，CF相交于一点相交于一点. B D A C F E H 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 15 如图，如图，AD，BE，CF是是ABC的三条高的三条高. 求证：求证： AD，BE，CF相交于一点相交于一点. , , , 0 0 ABACAH BHCHBC B HB H ECF AC CHAB AHBC 证明：设是高线、的交点， 则有 化简得， 所以，三角形三条高线交于一点. 且设abh hahbba ha bhb a h ba 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 16 讲课人：邢启强 17 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题；转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。 小结：小结： 用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：
