1、6.3 6.3 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 6.3.1 6.3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理 6.3.2 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 讲课人：邢启强 2 1. 1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？向量加法与减法有哪几种几何运算法则？ 2. 2.怎样理解向量的数乘运算怎样理解向量的数乘运算a？ （1 1）|a a|=|=|a a| |； （2 2）0 0时，时，a与与a方向相同；方向相同； 0 0时，时，a与与a方向相反；方向相反； =0=0时，时，a=0.=0. 复习引入复习引入 加法:平行四边形法则和三角形
2、法则 减法:三角形法则 讲课人：邢启强 3 3.3.平面向量共线定理是什么？平面向量共线定理是什么？ 4.4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为力为G G，下滑力为，下滑力为F F1 1，木块对斜面的压，木块对斜面的压 力为力为F F2 2，这三个力的方向分别如何？，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？三者有何相互关系？ G G F F1 1 F F2 2 非零向量非零向量a与向量与向量b共线共线 存在唯存在唯 一实数一实数，使，使ba. . 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 4 5.5.在物理中，力是一个向量，在物理中，力是一个向量， 力的合成就是
3、向量的加法运算力的合成就是向量的加法运算. . 力也可以分解，任何一个大小力也可以分解，任何一个大小 不为零的力，都可以分解成两不为零的力，都可以分解成两 个不同方向的分力之和个不同方向的分力之和. .将这种将这种 力的分解拓展到向量中来，就力的分解拓展到向量中来，就 会形成一个新的数学理论会形成一个新的数学理论. . 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 5 e1 1-2-2e2 2 探究（一）：探究（一）：平面向量基本定理平面向量基本定理 C C 思考思考1 1：给定平面内任意两个向量给定平面内任意两个向量e1 1，e2 2， 如何求作向量如何求作向量3 3e1 12 2e2 2和和e1 12
4、 2e2 2？ e1 1 e2 2 2 2e2 2 B B O O 3 3e1 1A Ae1 1D D 3 3e1 12 2e2 2 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 思考思考2 2：如图，设如图，设OAOA，OBOB，OCOC为三为三 条共点射线，条共点射线，P P为为OCOC上一点，能否上一点，能否 在在OAOA、OBOB上分别找一点上分别找一点M M、N N，使四，使四 边形边形OMPNOMPN为平行四边形？为平行四边形？ M M N N O OA A B B C C P P 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 7 思考思考3 3：在下列两图中，向量在下列两图中，向量 不共线，能否在直
5、线不共线，能否在直线OAOA、OBOB上分别找一上分别找一 点点M M、N N，使，使 ？ OA,OB,OC O MO NO C+= uuuruuu ruuu r O O A A B B C C M M N N O O A A B B C C M M N N 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 思考思考4 4：在上图中，设在上图中，设 = =e1 1， = =e2 2， = =a，则向量，则向量 分别与分别与e1 1，e2 2的的 关系如何？从而向量关系如何？从而向量a与与e1 1，e2 2的关系如的关系如 何？何？ OA OB OC OM,ON 1 12 2 OM, ON.ee 1 12
6、2. aee O O A A B B C C M M N N O O A A B B C C M M N N 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 9 1 12 2 OM, ON.ee 1 12 2. aee O O A A B B C C M M N N O O A A B B C C M M N N 思考思考5 5：若上述向量若上述向量e1 1，e2 2，a都为定向量，都为定向量， 且且e1 1，e2 2不共线，则实数不共线，则实数1 1，2 2是否存在？是否存在？ 是否唯一？是否唯一？ 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 10 思考思考6 6：若向量若向量a与与e1 1或或e2 2共线，共线，
7、a还能用还能用 1 1e1 12 2e2 2表示吗？表示吗？ e1 1 a a=1 1e1 1+0+0e2 2 a=0 0e1 1+ +2 2e2 2 e2 2 a 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 11 思考思考7 7：根据上述分析，平面内任一向根据上述分析，平面内任一向 量量a都可以由这个平面内两个都可以由这个平面内两个不共线不共线的的 向量向量e1 1，e2 2表示出来，从而可形成一个表示出来，从而可形成一个 定理定理. .你能完整地描述这个定理的内容你能完整地描述这个定理的内容 吗？吗？ 若若e1 1、e2 2是是同一平面同一平面内的两个内的两个不共线不共线向量，向量， 则对于这一平面
8、内的任意向量则对于这一平面内的任意向量a，有且只有，有且只有 一对实数一对实数1 1，2 2，使，使a1e12e2. 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 12 若若e1 1、e2 2是是同一平面同一平面内的两个内的两个不共线不共线向量，向量， 则对于这一平面内的任意向量则对于这一平面内的任意向量a，有且只有，有且只有 一对实数一对实数1 1，2 2，使，使a1e12e2. 思考思考8 8：上述定理称为上述定理称为平面向量基本定理平面向量基本定理， 不共线向量不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所叫做表示这一平面内所 有向量的一组有向量的一组基底基底. . 那么同一平面内可那么同一平面内可 以作
9、基底的向量有多少组？不同基底对以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量应向量a的表示式是否相同？的表示式是否相同？ （可以不同，也可以相同） 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 13 典型例题典型例题 P,A,B三点共线,系数和为1 讲课人：邢启强 14 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 15 尝试练习尝试练习 讲课人：邢启强 16 已知e1，e2是平面内两个不共 线向量，a3e12e2，b 2e1e2，c7e14e2，用 a和b表示c，则c_.a2b 尝试练习尝试练习 讲课人：邢启强 17 例例3 3 如图，已知向量如图，已知向量e1 1、e2 2，求作向，求作向 量量2.52.5e1 13
10、 3e2 2. . e1e2 C C B B 3 3e2 2 O OA A 2.52.5e1 1 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 18 例4.如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N 在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P， 求AP：PM的值 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 19 思考思考1 1：把一个向量分解为两个互相垂直把一个向量分解为两个互相垂直 的向量，叫做把向量的向量，叫做把向量正交分解正交分解. .如图，向如图，向 量量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量是两个互相垂直的单位向量，向量 a与与i的夹角是的夹角是3030，且，且| |a|=4|=4，以向量，以向量i、 j
11、为基底，向量为基底，向量a如何表示？如何表示？ B B A A P P 2 32aij a i O O j 探究探究( (二二):):平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 20 思考思考2 2：在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、 y y轴方向相同的两个单位向量轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，作为基底， 对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定，由平面向量基本定 理知，有且只有一对实数理知，有且只有一对实数x x、y y，使得，使得 ax xiy yj. .我们把我们把有序数对（
12、有序数对（x x，y y）叫做向）叫做向 量量a的坐标，记作的坐标，记作a(x(x，y).y).其中其中x x叫做叫做a在在x x 轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做a在在y y轴轴 上的坐标，上式叫做向量的上的坐标，上式叫做向量的 坐标表示坐标表示. .那么那么x x、y y的几何的几何 意义如何？意义如何？ a ix x y y O O j x x y y 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 21 思考思考3 3：相等向量的坐标必然相等，作向相等向量的坐标必然相等，作向 量量 a，则，则 (x(x，y)y)，此时点，此时点A A是坐是坐 标是什么？标是什么？ OA OA A A a i
13、x x y y O O j A(x,yA(x,y) ) 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 22 例例5如图，用基底如图，用基底i ，j 分别表示向量分别表示向量a、 b 、c 、d ，并求它们的坐标，并求它们的坐标 A A1 A2 解：如图可知解：如图可知 12 23aAAAAij (2,3)a 同理同理 23( 2,3); 23( 2, 3); 23(2, 3). bij cij dij 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 23 AB 例例6 6 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中， =a， =b，E E、M M分别是分别是ADAD、DCDC的中的中 点，点点，点F F
14、在在BCBC上，且上，且BC=3BFBC=3BF，以，以a，b为为 基底分别表示向量基底分别表示向量 和和 . . AD AM EF A A B B E ED D C CF F M M 1 2 AMab 1 6 EFab 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 24 小结小结 1. 1.平面向量基本定理是建立在向平面向量基本定理是建立在向 量加法和数乘运算基础上的向量分解原量加法和数乘运算基础上的向量分解原 理，同时又是向量坐标表示的理论依据，理，同时又是向量坐标表示的理论依据， 是一个承前起后的重要知识点是一个承前起后的重要知识点. . 2.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量，平行向量的夹角是关系的一个几何量，平行向量的夹角是 0 0或或180180，垂直向量的夹角是，垂直向量的夹角是9090. . 3.3.向量的坐标表示是一种向量与坐标的向量的坐标表示是一种向量与坐标的 对应关系，它使得向量具有代数意义对应关系，它使得向量具有代数意义. .将将 向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的起点平移到坐标原点，则平移后 向量的终点坐标就是向量的坐标向量的终点坐标就是向量的坐标. . 作业：作业： P102P102习题习题2.3B2.3B组：组：3 3，4 4. .
