1、期末复习（五）期末复习（五）对数函数对数函数 一选择题 1若函数( )f x的图象与函数( )10 xg x 的图象关于直线yx对称，则(100)(f) A10B1C2D2 2函数 2 1 3 ( )log (32)f xxx的单调递增区间为() A(,1)B(2,)C 3 (, ) 2 D 3 ( 2 ，) 3已知函数 2 ( )log (2) a f xxax在4，5上为增函数，则a的取值范围是() A(1,4)B(1，4C(1,2)D(1，2 4函数( ) 1 eex f xln x 的最大值为M，最小值为m，则(Mm) A0B1C2D4 5已知定义域为R的偶函数( )f x在(，0上是
2、减函数，且 1 ( )2 2 f，则不等式 4 (log)2fx 的解集为() A 1 (0, )(2,) 2 B(2,) C 2 (0,)( 2,) 2 D 2 (0,) 2 6已知函数 2 ( )(| 1)1f xln xx，则使得( )(21)f xfx的x的取值范围是() A 1 ( ,1) 3 B 1 (, )(1,) 3 C(1,)D 1 (, ) 3 7已知 1 x， 2 x， 3 x分别为方程 1 2 2log x x， 2 1 ( )log 2 x x， 1 2 1 ( )log 2 x x的根，则 1 x， 2 x， 3 x的大小关系为() A 132 xxxB 123 x
3、xxC 312 xxxD 321 xxx 8已知 3 3|,03 ( ) (4)(6),3 log xx f x xxx ，若f（a）f（b）f（c）f（d） ，且abcd， 则abcd的取值范围是() A(23,24)B(24,27)C(21,24)D(24,25) 二多选题 9已知 34 loglogab，则下列结论正确的有() A1abB1baC01baD01ab 10已知 0.1 3a ， 0.9 log3b ，sin(cos1)c ，则下述正确的是() AabBacCbcD0b 11已知正实数x，y满足 21 2 11 loglog( )( ) 22 xy xy，则下列结论正确的是(
4、) A 11 xy B 33 xyC(1)0ln yxD 1 2 2 xy 12已知 lgx ax， lgy by， lgy cx， lgx dy，且1x ，1y ，则() Ax，yR，使得abcdBx，yR，都有cd Cx，y且xy，使得abcdDa，b，c，d中至少有两个大于 1 三填空题 13若函数log (7)2 a yx恒过点( , )A m n，则 1 2 () n m 14方程 22 log (95)2log (32) xx 的解为 15若方程 2 2 log (22)2axx在区间 1 ,2 2 有解，则实数a 16若函数 2 log (1) a yxax有最小值，则a的取值范
5、围是 四解答题 17已知函数 5 ( )2logf xx，1x，25， 22 ( ) ( )()g xf xf x （1）求函数( )g x的定义域； （2）求函数( )g x的最大值及取得最大值时x的值 18已知函数 2 ( )log ax f x ax ，aR （1）若 2 ()1 3 f ，求a的值； （2）在（1）的条件下，关于x的方程 2 ( )log ()f xxt有实数根，求实数t的取值范围 19已知函数 2 4 ( )log (21) x f xmx的图象经过点 3 (2p， 2 3 log 3) 4 （）求m值并判断的奇偶性； （）设 4 ( )log (2) x g xxa
6、，若关于x的方程( )( )f xg x在 2x ，2上有且只有一个 解，求a的取值范围 20已知函数 1 2 1 ( )log 1 ax f x x 的图象关于原点对称，其中a为常数 （1）求a的值； （2）当(1,)x时， 1 2 ( )log (1)f xxm恒成立，求实数m的取值范围； （3）若关于x的方程 1 2 ( )log ()f xxk在2，3上有解，求k的取值范围 期末复习（五）期末复习（五）对数函数答案对数函数答案 1解：( )f xlgx，则(100)1002flg故选：C 2解：由题意，此复合函数，外层是一个递减的对数函数 令 2 320txx解得2x 或1x 由二次函
7、数的性质知，t在(,1)是减函数，在(2,)上是增函数， 由复合函数的单调性判断知函数 2 1 3 ( )log (32)f xxx的单调递增区间(,1)故选：A 3解：由题意可得 2 ( )2g xxax的对称轴为xa 当1a 时，由复合函数的单调性可知，( )g x在4，5单调递增，且( )0g x 在4，5恒 成立，则 1 (4)1680 4 a ga a 12a 01a时，由复合函数的单调性可知，( )g x在4，5单调递增，且( )0g x 在4，5恒 成立，则 01 5 (5)25100 a a ga 此时a不存在， 综上可得，12a故选：C 4解： 11 ( )()1 111 e
8、exxx f xlnln eln xxx ，且 1 0 1 x x ，11x ； 设 1 ( ) 1 x g xln x ，则函数( )g x是定义域( 1,1)上的奇函数； 又( )f x的最大值为M，最小值为m， ( )g x的最大值是1M ，最小值是1m； (1)(1)0Mm，则2Mm故选：C 5解：由题意知 不等式 4 (log)2fx ，即 4 1 (log)( ) 2 fxf，又偶函数( )f x在(，0上 是减函数， ( )f x在0，)上是增函数， 2 44 1 loglog 2 x，或 1 2 44 1 loglog 2 x ， 1 0 2 x，或2x ， 故选：A 6解：函
9、数 2 ( )(| 1)1f xln xx为定义域R上的偶函数， 且在0 x时，函数单调递增， ( )(21)f xfx等价为(|)(|21|)fxfx， 即| | 21|xx， 两边平方得 22 (21)xx， 即 2 3410 xx ， 解得 1 1 3 x； 使得( )(21)f xfx的x的取值范围是 1 (3，1) 故选：A 7解：在同一直角坐标系中作出函数2xy ， 1 ( ) 2 x y ， 2 logyx和 1 2 logyx的图象， 如图所示； 由函数2xy 与 1 2 logyx图象的交点横坐标为 1 x， 函数 1 ( ) 2 x y 与 2 logyx图象的交点横坐标为
10、 2 x， 函数 1 ( ) 2 x y 与 1 2 logyx图象的交点横坐标为 3 x， 知 1 x， 2 x， 3 x的大小关系为 132 xxx 故选：A 8解：先画出 3 3|,03 ( ) (4)(6),3 log xx f x xxx 的图象，如图： a，b，c，d互不相同，不妨设abcd 且f（a）f（b）f（c）f（d） ，34c，6d 33 loglogab，10cd， 即1ab ，10cd， 故 2 (10)10abcdcccc ，由图象可知：34c， 由二次函数的知识可知： 222 3103104104cc ， 即 2 211224cc ， abcd的范围为(21,24
11、) 故选：C 9解：由题知，当a，1b 时 343 logloglogabb， ab，即1ab； 当a，1b 时 343 logloglogabb， ab，即01ba 故选：AC 10解： 0.1 31a ， 0.9 log30b ，sin(cos1)(0c ，1)， 则：acb 故选：AB 11解：正实数x，y满足 21 2 11 loglog( )( ) 22 xy xy， 2 11 log( )( ) 22 xy x y 当xy时，1 x y ， 2 log0 x y ，而 11 ( )( ) 22 xy ， 11 ( )( )0 22 xy ，故 2 11 log( )( ) 22 x
12、y x y 不 可能成立 当xy时， 2 11 log0( )( )0 22 xy x y ，不可能成立 故xy， 11 xy ， 33 xy，故A不正确、B正确； 0yx，11yx ，(1)0ln yx，故C正确； 0 221 x y ，故D不一定正确， 故选：BC 12解： lgx ax， lgy by， lgy cx， lgx dy，且1x ，1y ， 则 2 lgalg x， 2 lgblg y，lgclgxlgy，lgdlgxlgy， 则x，yR，都有cd，故B正确，A，C不正确， 对于D：假设a，b，c，d中最多有一个大于 1，若10 x ，10y ，则1a ，1b ，1c ， 1
13、d ，则假设不成立， 故则a，b，c，d中至少有两个大于 1，D正确 故选：BD 13解：函数log (7)2 a yx恒过点( , )A m n，令71x ，求得8x ，2y ， 可得函数的图象经过定点(8,2) 若函数log (7)2 a yx恒过点( , )A m n，则8m ，2n ，则 11 22 1 ()( )2 4 n m ， 故答案为：2 14解：由题意可知：方程 22 log (95)2log (32) xx 化为： 22 log (95)log 4(32) xx 即95438 xx 解得0 x 或1x ； 0 x 时方程无意义，所以方程的解为1x 故答案为 1 15解：方程
14、 2 2 log (22)2axx在 1 ,2 2 内有解，则 2 220axx在 1 ,2 2 内有解， 即在 1 ,2 2 内有值使 2 22 a xx 成立， 设 2 2 22111 2() 22 u xxx ， 当 1 ,2 2 x时， 3 ,12 2 u， 3 ,12 2 a， a的取值范围是 3 12 2 a 故答案为： 3 ,12 2 16解：令 2 ( )1(0,1)g xxaxaa， 当1a 时，logayx在R上单调递增， 要使 2 log (1) a yxax有最小值，必须( )0 min g x， 0， 解得22a 12a ； 当01a时， 2 ( )1g xxax没有
15、最大值，从而不能使得函数 2 log (1) a yxax有最 小值，不符合题意 综上所述：12a； 故答案为：12a 17解： 5 ( )2logf xx，1x，25， 22 ( ) ( )()g xf xf x （1）由题意可得， 2 125 125 x x ， 解可得，15x 即函数( )g x的定义域1，5； （2） 5 ( )2logf xx，1x，25， 2222 55 ( ) ( )()(2)2g xf xf xlog xlog x 2 55 ()66log xlog x 令 5 logtx，则0t，1， 而 2 ( )66g ttt在0，1单调递增， 当1t 即5x 时，函数有
16、最大值 13 18解： （1）函数 2 ( )log ax f x ax ， 若 2 ()1 3 f ，则 2 2 3 log1 2 3 a a ， 2 3 2 2 3 a a ， 解得2a ； （2）由（1）知， 2 2 ( )log 2 x f x x ，定义域为( 2,2)； 又关于x的方程 2 ( )log ()f xxt有实数根， 等价于( 2,2)x ，使 2 2 x xt x 成立； 即( 2,2)x ，使 2 2 x tx x 成立； 设 2 ( ) 2 x g xx x ，( 2,2)x ； 则 4 ( )(2)1 2 g xx x ，( 2,2)x ； 设2xm，则(0,4
17、)m， 函数 4 ( )1g mm m 在(0,4)m时单调递增， ( )(g m ，2)，从而可得(,2)t ， 即实数t的取值范围是(,2) 19解： （）函数 2 4 ( )log (21) x f xmx的图象经过点 3 (2p， 2 3 log 3) 4 ， 则 3 24 33 log 3log (21) 42 m， 1 2 m ；（3 分） 所以 2 4 1 ( )log (21) 2 x f xx，且定义域为R， 2 444 14111 ()log (21)loglog (41)( ) 2422 x xx x fxxxxf x ， 则( )f x是偶函数；（7 分） ()II根据
18、( )( )f xg x，得 444 1 log (41)log (41)log 2 2 xx x 4 41 log 2 x x x ，（9 分） 则方程化为 44 41 log (2)log 2 x x x xa ， 得 41 20 2 x x x xa ， 化为 1 ( ) 2 x ax，且在 2x ，2上单调递减，（12 分） 所以使方程有唯一解时a的范围是 7 6 4 a （15 分） 20解： （1）函数 1 2 1 ( )log 1 ax f x x 的图象关于原点对称， ( )()0f xfx，即 11 22 11 loglog0 11 axax xx ， 1 2 11 ()0
19、11 axax log xx ， 11 1 11 axax xx 恒成立， 即 222 11a xx ，即 22 (1)0ax恒成立，所以 2 10a ，解得1a ， 又1a 时， 1 2 1 ( )log 1 ax f x x 无意义，故1a ； （2）(1,)x时， 1 2 ( )log (1)f xxm恒成立，即 11 22 1 loglog (1) 1 x xm x ， 1 2 log (1)xm在(1,)恒成立， 由于 1 2 log (1)yx是减函数，故当1x ，函数取到最大值1， 1m，即实数m的取值范围是1m； （3） 1 2 1 ( )log 1 x f x x 在2，3上是增函数， 1 2 ( )log ()g xxk在2，3上是减函数， 只需要 (2)(2) (3)(3) fg fg 即可保证关于x的方程 1 2 ( )log ()f xxk在2，3上有解，下解此不 等式组 代入函数解析式得 11 22 11 22 3(2) 2(3) loglogk loglogk ，解得11k ， 即当11k 时关于x的方程 1 2 ( )log ()f xxk在2，3上有解
