1、立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 5.1.1 任意角任意角 第五章 三角函数 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 什么是角？范围是多大？什么是角？范围是多大？ 定义：定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. . 顶点顶点边边 边边 角的范围：角的范围：0 0360360 初中定义初中定义 复习导入复习导入 立德树人 和谐发展 李小鹏跳 2002年在匈牙利世锦赛上， 李小鹏在跳马时做出的“踺 子后手翻转体180度接直体前 空翻转体900度”. 获得“李小鹏跳”命名. 情景导入情景导入 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 体操中有转体两体操中有转体两
2、 周或转体两周半，周或转体两周半， 如何度量这些角如何度量这些角 度呢？度呢？ 情景导入情景导入 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 经过经过1 1小时，秒针、分针各转了多少度？小时，秒针、分针各转了多少度？ 情景导入情景导入 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方 向旋转的向旋转的. .一般地，一条射线绕其端点旋转，既可一般地，一条射线绕其端点旋转，既可 以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转. . 你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转你认为将一条射线绕其端点按逆时
3、针方向旋转 6060所形成的角，与按顺时针方向旋转所形成的角，与按顺时针方向旋转6060所形所形 成的角是否相等？成的角是否相等？ 情景导入情景导入 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 想想用什么办法才能推广到任意角？想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化关键是用运动的观点来看待角的变化. . 这些例子不仅不在这些例子不仅不在0 0360360范围内，而且有方范围内，而且有方 向向, ,如何解决这一问题如何解决这一问题? ? 有必要将角的概念及范围推广有必要将角的概念及范围推广 一、任意角的概念 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 平面内一条射
4、线绕着端点从一个位置旋转平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转 到另一个位置所成的图形叫做角到另一个位置所成的图形叫做角. . 1.角的概念的推广 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 2.2.角的构成要素角的构成要素 始边始边 终边终边 顶点顶点 A A B B O O 方向方向 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 规定：规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做按逆时针方向旋转形成的角叫做正角正角； 按顺时针方向旋转形成的角叫做按顺时针方向旋转形成的角叫做负角负角； 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角零
5、角. . 这样，我们就把角的概念推广到了任意角. 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 660,150210负角，负角如图，正角 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 。量相等，那么就称的旋转方向相同且旋转与角角 。所对应的角是 ，这时终边的终边旋转角把角是任意两个角，规定：，设 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相 反数。 .的相反角记为角 ）（ 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 x o y 二、象限角二、象限角 x 思考思考1 1：为了进一步研究角的需
6、要，我们常在直角为了进一步研究角的需要，我们常在直角 坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合, ,角的角的 始边与始边与x x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，轴的非负半轴重合，那么对一个任意角， 角的终边可能落在哪些位置？角的终边可能落在哪些位置？ 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 思考思考2: 2: 如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第 几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角 不属于任何象限，或称这个角为轴线角不属于任何象限
7、，或称这个角为轴线角. .那么下列各角：那么下列各角： -50-50，405405，210210, -200, -200，-450-450分别是第几象限分别是第几象限 的角？的角？ 450 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 -50 x y o x y o 210 -450 x y o 405 x y o -200 x y o 第四象限角第四象限角第一象限角第一象限角第三象限角第三象限角 第二象限角第二象限角轴线角轴线角 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 思考思考3 3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ 象限角只
8、能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小. . 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 【整理】各象限角的集合表示 |k360k360+90， kZ |k360+90k360+180， kZ |k360+180k360+270， kZ |k360+270k360+360， kZ 象限角总结象限角总结 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 三、终边相同的角三、终边相同的角 思考思考1 1： -32-32，328328，-392-392是第几象限的角？是第几象限的角？ 这些角有什么内在联系？这些角有什么内在联系？ 32 -392 x
9、y o o 328 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 思考：思考：所有与所有与-32-32角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同-32-32 角在内，可构成一个集合角在内，可构成一个集合S S，你能用描述法表，你能用描述法表 示集合示集合S S吗？吗？ oo S= =-32 +k360 ,kZ 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 思考思考3 3：一般地，所有与角一般地，所有与角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同角 在内所构成的集合在内所构成的集合S S可以怎样表示？可以怎样表示？ S=|=S=|=k k360360，kZkZ， 即任一与即任一与
10、终边相同的角，都可以表示成角终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和与整数个周角的和. . 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 【整理】轴线角的集合表示 |=k360，kZ |=k360+180， kZ |=k360+90， kZ |=k360+270， kZ |=k180，kZ |=k180+90， kZ |=k90，kZ 轴线角总结轴线角总结 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 例例1 1 在在0 0360360范围内，找出与范围内，找出与-950-9501212角终边角终边 相同的角，并判定它是第几象限角相同的角，并判定它是第几象限角. . 探求新知探求新知
11、立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 思考思考4 4：终边在终边在x x轴正半轴、负半轴，轴正半轴、负半轴，y y轴正半轴、轴正半轴、 负半轴上的角分别如何表示？负半轴上的角分别如何表示？ x x轴正半轴：轴正半轴：= k= k360360，kZ kZ ； x x轴负半轴：轴负半轴：= 180= 180k k360360，kZ kZ ； y y轴正半轴：轴正半轴：= 90= 90k k360360，kZ kZ ； y y轴负半轴：轴负半轴：= 270= 270k k360360，kZ .kZ . 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 例例2 2 写出终边在写出终边在y y轴上
12、的角的集合轴上的角的集合. . 解：解：在在0 0360360范围内，终边在范围内，终边在y y轴上的角有两轴上的角有两 个，即个，即9090，270270角（如图）角（如图）. .因此，所有与因此，所有与 9090角终边相同的角构成集合角终边相同的角构成集合 S S1 1=| |=90=90+k+k360360.kZ.kZ. 而所有与而所有与270270角终边相同的角构成集合角终边相同的角构成集合 S S2 2=| |=270=270+k+k360360.kZ.kZ. 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 于是，终边在于是，终边在y y轴上的角的集合轴上的角的集合 S=SS
13、=S1 1SS2 2 =| |=90=90+2k+2k180180，kZkZ | |=90=90+180+180+2k+2k180180，kZkZ =| |=90=90+2k+2k180180，kZkZ | |=90=90+ +（2k+12k+1）180180，kZkZ =| |=90=90+n+n180180，nZnZ 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展 例例3.3.写出终边在直线写出终边在直线y=xy=x上的角的集合上的角的集合S S，并把，并把S S中适合中适合 不等式不等式-360-360720720的元素的元素写出来写出来. . 【解析解析】S=S=| |=45=45+k+k180
14、180,k,kZ.Z. S S中适合不等式中适合不等式-360-360720720的元素有：的元素有： -315-315，-135-135,45,45,225,225,405,405,585,585. . 探求新知探求新知 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 【1】分别写出图中终边落在两个阴影部分的角的集合 【解】在03600范围来看，阴影部分的角的 范围是30105，所以在坐标系中角 的范围是3075 |k360+30k360+105,kZ 在0360范围来看，阴影部分的角的 范围是210285，所以在坐标系中角 的范围是 |k360+210k360+285,kZ 区域角区域角 立德树人
15、和谐发展立德树人 和谐发展 【2】若是第二象限角，请确定2的终边所在的位置 【解】因为是第二象限角，所以 k360+90 k360+180,kZ 所以2k360+180 2 2k360+360,kZ 如图，即2的终边位于第三或者第四象限，或 者位于y轴的负半轴上. 区域角区域角 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 【3】若是第二象限角，请确定 的终边所在的位置 【解】因为是第二象限角，所以 k360+90 k360+180,kZ 所以k180+45 k180+90,kZ k=2n(nZ)时， k360+45 k360+90,kZ k=2n+1(nZ)时， k360+225 k360+270,
16、kZ 所以 的终边位于第一或者第三象限. 也可以运用图示的高阶方法，从 轴正半轴沿逆时针把每个象限平 分成2部分，并且依次标上， 则标的就是 所在的区域. 区域角区域角 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 【4】若是第二象限角，请确定 的终边所在的位置 【解】 这次我们直接运用图示的高阶方法，从 轴 正半轴沿逆时针把每个象限平分成3部分，并 且依次标上，则标的就是 所在 的区域. 区域角区域角 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 2. 2. 角的分类：正角、零角、负角；角的分类：正角、零角、负角； 1. 1. 角的定义；角的定义； 3. 3. 象限角；象限角； 4. 4. 终边相同的角的表示法终边相同的角的表示法 课堂小结课堂小结 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 课后作业课后作业 作业本作业本B 1、 课本课本P175 P175 第第1,21,2题题 2、金版、金版P112-P113
