1、1 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、全称量词与全称命题要点一、全称量词与全称命题 全称量词全称量词 全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词. 常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对 任意”. 全称命题全称命题 全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 一般形式：“对M中任意一个x，有( )p x成立”， 记作：xM ，( )p x（其中M为给定的集合，( )p x是关于x的语句）. 要点诠释：要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词， 例如： （1
2、）“末位是 0 的整数，可以被 5 整除”； （2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”； （3）“负数的平方是正数”；都是全称命题. 要点二、存在量词与特称命题要点二、存在量词与特称命题 存在量词存在量词 定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词. 常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“”表示，读作“存 在”. 特称命题特称命题 特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题. 一般形式：“存在M中一个元素 0 x，有 0 ()p x成立”， 记作： 0 xM， 0 ()p x（其中M为给定的集合，( )p x是关于x的
3、语句）. 要点诠释：要点诠释： （1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,RR使sin()sinsin. （2）有些特称命题也可能省略了存在量词. （3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述 2 要点三、要点三、 含有量词的命题的否定含有量词的命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p：xM ，( )p x p的否定p： 0 xM， 0 ()p x； 从一般形式来看，全称命题“对 M 中任意一个 x，有 p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部 分 p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意, ( )xM
4、 p x”的否定为 “ 0 xM， 0 ()p x”. 对含有一个量词的特称命题的否定对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p： 0 xM， 0 ()p x p的否定p：xM ，( )p x； 从一般形式来看， 特称命题“ 0 xM， 0 ()p x”， 它的否定并不是简单地对结论部分 0 ()p x进行否定， 还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“ 0 xM， 0 ()p x”的否定为“xM ，( )p x”. 要点诠释：要点诠释： (1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的. (3) 正面词：等于 、 大于 、小于、
5、是、 都是、 至少一个 、至多一个 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 要点四、全称命题和特称命题的真假判断要点四、全称命题和特称命题的真假判断 要判定全称命题“xM ，( )p x”是真命题，必须对集合 M 中的每一个元素 x，证明( )p x成立； 要判定全称命题“xM ，( )p x”是假命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x0，使得 0 ()p x不成立， 即举一反例即可. 要判定特称命题“ 0 xM， 0 ()p x”是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x0，使得 0 ()p x成 立即可；要判定特称命题“ 0 xM， 0 ()p x”是假
6、命题，必须证明在集合 M 中，使( )p x成立得元素 不存在. 3 【典型例题】【典型例题】 类型一：量词与类型一：量词与全称命题、特称命题全称命题、特称命题 例例 1.判断下列命题是全称命题还是特称命题： （1）任何一个实数除以 1 仍等于这个数； （2）等边三角形的三边相等； （3）存在实数 0 x，使 2 0 30 x。 【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题 【变式 1】判断下列命题是全称命题还是特称命题. （1）xR，x2+11； （2）所有素数都是奇数； （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数. 【答案】（1）有全称量词“任意”，是
7、全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题； （3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。 类型二：判断类型二：判断全称命题、特称命题的真假全称命题、特称命题的真假 例例 2.判断下列命题的真假： （1） 4 ,12xN x ； （2） 3 00 ,1xZ x. 【解析】（1）由于0N，当0 x 时， 4 12x 不成立，故(1)为假命题； （2）由于1Z ，当1x 时能使 3 1x ，所以（2）为真命题. 举一反三：举一反三： 【变式 1】试判断下列命题的真假 （1）01, 2 xRx；（2）1, 2 xNx；（3）3, 3 xZx； （4）023, 2
8、xxRx；（5）01, 2 xRx； 【答案】 （1）真命题； （2）假命题； （3）假命题； （4）假命题； （5）假命题 4 【变式 2】在下列特称命题中假命题的个数是（） 有的实数是无限不循环小数；有些三角形不是等腰三角形；有的菱形是正方形. A0B1C2D3 【答案】A 类型三：含有一个量词的类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定全称命题与特称命题的否定 例例 3.写出下列命题的否定，并判断真假. （1） 2 ,440 xR xx ；（2）所有的正方形都是矩形； （3） 2 000 ,10 xR xx ；（4）至少有一个实数 x0，使得 2 0 20 x . 【答案】（1）p：
9、 2 000 ,440 xR xx （假命题） ； （2）p：至少存在一个正方形不是矩形（真命题） ； （3）p： 2 ,10 xR xx （真命题） ； （4）p： 2 ,20 xR x（真命题）. 【变式 1】(2015湖北文)命题“ 000 (0,),ln1xxx”的否定是（） A 000 (0,),ln1xxxB 000 (0,),ln1xxx C(0,),ln1xxx D(0,),ln1xxx 【答案】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,),ln1xxx ，故选 C. 类型四：类型四：含有量词的命题的应用含有量词的命题的应用 例例 4已知 1 :|1| 2 3 x
10、p ， 22 :210 (0)q xxmm ，若p是q的必要不充分条件，求实 数 m 的取值范围. 【解析】 10 x23 3 1x 121 3 1x 22| 3 1x 1:|p q:x2-2x+1-m20 x-(1-m)x-(1+m)0 又m0，不等式的解为 1-mx1+m p是q的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p 是 q 的充分不必要条件” 不等式2| 3 1x 1| 的解集是 x2-2x+1-m20(m0)的解集的子集. 5 1 m2m3 ,m9 1m10m9 实数 m 的取值范围是, 9 举一反三：举一反三： 【变式 1】(2015 山东)若“ 4 , 0 x，mx tan
11、”是真命题，则实数 m 的最小值为。 【答案】1 【解析】若“ 4 , 0 x，mx tan”是真命题 则 max )(xfm ，其中xxftan)( 4 , 0 x 函数xxftan)( 4 , 0 x的最大值为 11m 即m的最小值为 1，所以答案应填 1. 【变式 2】若函数 1 ( )( )2 2 x f x ，g（x）=a（xa+3）同时满足以下两条件： xR ，f（x）0 或 g（x）0；( 1,1)x ，f（x）g（x）0. 则实数 a 的取值范围为_。 【答案】已知函数 1 ( )( )2 2 x f x ，g（x）=a（xa+3） ， 根据xR ，f（x）0，或 g（x）0，
12、即函数 f（x）和函数 g（x）不能同时取非负值， 由 f（x）0，求得 x1， 即当 x1 时，g（x）0 恒成立，故 0 31 a a ，解得：a2； 根据( 1,1)x ，使 f（x）g（x）0 成立，g（1）=a（1a+3）0， 解得：0a4，综上可得：a（2，4） ， 【变式 3】已知 c0，设命题 p：函数 ycx为减函数.命题 q：当 1 ,2 2 x 时，函数 11 ( )f xx xc 恒 成立.如果 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题.求 c 的取值范围. 【解析】由命题 p 知：0c1. 由命题 q 知： 15 2 2 x x ，要使此式恒成立，则 1 2 c ，
13、即 1 2 c . 又由 p 或 q 为真，p 且 q 为假知，p、q 必有一真一假， 当 p 为真，q 为假时，c 的取值范围为 1 0 2 c. 6 当 p 为假，q 为真时，c1. 综上，c 的取值范围为 1 |0c1 2 cc或. 类型五类型五由命题的真假求参数的取值范围由命题的真假求参数的取值范围 例例 5已知命题 p：“x0，1，aex”，命题 q：“x0R，x204x0a0”. 若命题“pq”是真命题，则实数 a 的取值范围是() A.(4，)B.1，4C.e，4D.(，1) 【解析】C 由题意知 p 与 q 均为真命题，由 p 为真，可知 ae，由 q 为真，知 x24xa0
14、有解， 则164a0，a4.综上可知 ea4. 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 f(x)ln(x21)，g(x) 1 2 x m，若对x10，3，x21，2，使得 f(x1)g(x2)， 则实数 m 的取值范围是_. 【解析】当 x1，2时，g(x)maxg(1)1 2m，由 f(x) ming(x)max，得 01 2m，m 1 2. 【变式 2】已知命题 p：x0R，(m1)(x201)0，命题 q：xR，x2mx10 恒成立.若 pq 为假 命题，则实数 m 的取值范围为_. 【解析】由命题 p：x0R，(m1)(x201)0 可得 m1；由命题 q：xR，x2mx10 恒成立，
15、 即m240，可得2m1. 【变式 3】已知函数 f(x)x4 x，g(x)2 xa，若x1 1 2，1，x22，3，使得 f(x1)g(x2)，则实数 a 的取值范围是_. 【解析】依题意知 f(x)maxg(x)max.f(x)x4 x在 1 2，1上是减函数，f(x)maxf 1 2 17 2 . 又 g(x)2xa 在2，3上是增函数，g(x)max8a，因此17 2 8a，则 a1 2. 【变式 4】已知 f(x)ln(x21)，g(x) 1 2 x m，若对x10，3，x21，2，使得 f(x1)g(x2)，则 实数 m 的取值范围是_. 【解析】当 x0，3时，f(x)minf(0)0，当 x1，2时，g(x)ming(2)1 4m， 7 由 f(x)ming(x)min，得 01 4m，所以 m 1 4
