1、必修第一册综合复习测试题三必修第一册综合复习测试题三 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1已知全集U为实数集， 2 |30Ax xx， |1Bx x，则()( U AB ) A |01xx B |01xx C |13xx D |03xx 2设aR，则“(1)(1)0aa”是“1a ”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 3若0a ，则化简 1 a a 得() Aa BaCaDa 4若ab，cd，则下列不等式中必然成立的一个是() AadbcBacbdCdacbD ab cd 5若函数|yxa 与 1 a y x 在区间1，2上都是严格减函数，则实
2、数a的取值范围为 () A(,0)B( 1，0)(0，1C(0,1)D(0，1 6Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立 了某地区新冠肺炎累计确诊病例数( )(I t t的单位：天）的Logistic模型： 0.23(52) ( ) 1 t K I t e 其 中K为最大确诊病例数当( *)0.95I tK时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为( )( 193)ln A60B65C66D69 7已知指数函数( )f x的图象经过点(3,0.008)， (1) log10 f a ，bf（1） 10 ， (1) 10 f c ， 则() AcabBcba
3、CbacDabc 8已知函数( )sin()(0f xAxA，0)的图象与直线(0)yaaA的三个相邻交 点的横坐标分别是 2，4，8，则( )f x的单调递减区间是() A6k，63k，kZB63k，6k，kZ C6k，63k ，kZD63k ，6 k，kZ 二多选题（共二多选题（共 5 小题）小题） 9设集合 |4 x My ye ， |(2)(3)Nx ylg xx，则下列关系正确的是() A RR MN痧BNMCMN D RN M 10已知0a ，0b ，设 22 ab M ab ， 22 ab N ab ，则下列说法正确的是() AM有最小值，最小值为 1BM有最大值，最大值为2 C
4、N没有最小值DN有最大值，最大值为 2 2 11已知函数( )sin(3)() 22 f xx 的图象关于直线 4 x 对称，则() A 2 (0) 2 f B函数( )f x的图象关于(12 ，0)中心对称 C函数( )f x在(12 ，) 3 上单调递增 D若 12 |()()| 2f xf x，则 12 |xx的最小值为 3 12已知定义在R上的函数( )f x满足()( )0fxf x，且当0 x时， 2 ( )2f xxx，则可 作为方程( )(1)f xfx实根的有() A 13 2 B 1 2 C 13 2 D 33 2 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题） 13命题：xR
5、 ， 2 10 xx 的否定是 14若函数 2 3 x ya ，(0,1)aa的图象恒过定点P，则点P的坐标为；若点P在 角的终边上，则 2sin 3cossin 15已知函数 331 ( )cossin()3cos()sin 42634 f xxxxx 的图象向左平移 6 个单 位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到( )g x的图象，函数( )g x在区间， 2 上的最大值是 16已知函数 2 26,0 ( ) ,0 xxx f x lnx x ，若函数( )( )2g xf xmx有四个零点，则实数m 的取值范围是 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题） 17已知是第
6、四象限角，且tan2 ，计算： （1） 3sin() 2 5sin()cos() 22 ； （2） 2 sin()cos()3cos 18已知函数 2 ( )2sin cos2sin1f xxxx （1）求() 4 f 的值及函数的最小正周期； （2）求( )f x在区间,0 2 上的最值及对应的x值 19已知函数 3 ( )sin (cos3sin ) 2 f xxxx （1）求() 3 f 的值及函数( )f x的单调增区间； （2）若12x ， 2 ，不等式( )2mf xm恒成立，求实数m的取值集合 20已知某工厂生产机器设备的年固定成本为 200 万元，每生产 1 台还需另投入 20
7、 万元， 设该公司一年内共生产该机器设备x台并全部销售完，每台机器设备销售的收入为( )R x万 元，且 800 40,030 ( ) 2801000 ,30 x x R x x x x （1）求年利润y（万元）关于年产量x（台)的函数解析式； （2）当年产量为多少台时，该工厂生产所获得的年利润最大？并求出最大年利润 21已知 2 ( )3f xxax （1）若( )0f x 对任意的 1 2a，4恒成立，求x的取值范围； （2）试判断( )yf x在 1 2 ，4上的零点个数 22已知函数( )(1) x f xln exk是偶函数（其中e为自然对数的底数，2.71828)e （1）求k的值
8、； （2）若方程 1 ( ) 2 f xxb在区间 1，0上有实数根，求实数b的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1已知全集U为实数集， 2 |30Ax xx， |1Bx x，则()( U AB ) A |01xx B |01xx C |13xx D |03xx 【分析】可求出集合A，然后进行补集和交集的运算即可 【解答】解： |03Axx ， |1Bx x， |1 UB x x，() |01 U ABxx 故选：B 【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计 算能力，属于基础题 2设aR，则“(1
9、)(1)0aa”是“1a ”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【分析】解不等式，根据集合的包含关系判断即可 【解答】解：(1)(1)0aa， 11a ， 故( 1,1)是( 1,) 的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题考查了集合的包含关系，考查充分必要条件，是一道基础题 3若0a ，则化简 1 a a 得() Aa BaCaDa 【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解 【解答】解：0a ， 22 111 ()aaaa aaa 故选：A 【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题 4若ab，cd，则下列不等式中必然成立的一个是() Aa
10、dbcBacbdCdacbD ab cd 【分析】根据题意取特殊值即可判断ABD，利用不等式的基本性质即可判断C 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若4a ，2b ，2c ，1d ，满足ab，cd，但不满足adbc，A错 误， 对于B，若4a ，2b ，1c ，2d ，满足ab，cd，但不满足acbd，B错 误， 对于C，若ab，则ab ，又由cd，则dacb，C正确， 对于D，若4a ，2b ，1c ，2d ，满足ab，cd，但不满足 ab cd ，D错 误， 故选：C 【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题 5若函数|yxa 与 1 a y x 在区间1，2上都是严格减函数
11、，则实数a的取值范围为 () A(,0)B( 1，0)(0，1C(0,1)D(0，1 【分析】结合函数图象的变换及反比例函数与一次函数性质可求 【解答】解：因为|yxa 与 1 a y x 在区间1，2上都是严格减函数， 所以 1 0 a a ， 故01a 故选：D 【点评】本题主要考查了基本初等函数单调性的应用，属于基础题 6Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立 了某地区新冠肺炎累计确诊病例数( )(I t t的单位：天）的Logistic模型： 0.23(52) ( ) 1 t K I t e 其 中K为最大确诊病例数当( *)0.95I tK
12、时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为( )( 193)ln A60B65C66D69 【分析】由已知可得方程 0.23(52) 0.95 1 t K K e ，解出t即可 【解答】解：由已知可得 0.23(52) 0.95 1 t K K e ，解得 0.23(52) 1 19 t e ， 两边取对数有0.23(52)193tln ， 解得65t ， 故选：B 【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是基础题 7已知指数函数( )f x的图象经过点(3,0.008)， (1) log10 f a ，bf（1） 10 ， (1) 10 f c ， 则() AcabBcbaCbacD
13、abc 【分析】设( ) x f xa，利用待定系数法进行求( )f x的解析，然后判断a，b，c的大小关 系 【解答】解：设( ) x f xa， ( )f x的图象经过点(3,0.008)， f（3） 3 0.008a，则0.2a ，即( )0.2xf x f（1）0.2， (1)0.20.2 log10log10log10 f a， 100 0(0.2)(0.2)1b， 0.20 10101c ， abc， 故选：D 【点评】 本题主要考查指数函数解析式和单调性， 利用待定系数法求出函数的解析式是解决 本题的关键，属基础题 8已知函数( )sin()(0f xAxA，0)的图象与直线(0
14、)yaaA的三个相邻交 点的横坐标分别是 2，4，8，则( )f x的单调递减区间是() A6k，63k，kZB63k，6k，kZ C6k，63k ，kZD63k ，6 k，kZ 【分析】由题意可得，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个交点 的中点的横坐标对应的函数值是最大值从这两个方面考虑可求得参数、的值，进而利 用三角函数的单调性求区间 【解答】解：与直线(0)ybbA的三个相邻交点的横坐标分别是 2，4，8 知函数的周期为 24824 2() 22 T ，得 3 ， 再由五点法作图可得 24 322 ，求得 2 ， 函数( )sin() 32 f xAx ， 令 3
15、22 2322 kxk ，kz，解得：6366kxk ，kz， 即63xk，6 ()k kZ， 故选：D 【点评】 本题主要考查三角函数的单调性的求解， 根据条件求出函数的周期是解决本题的关 键，属于中档题 二多选题（共二多选题（共 5 小题）小题） 9设集合 |4 x My ye ， |(2)(3)Nx ylg xx，则下列关系正确的是() A RR MN痧BNMCMN D RN M 【分析】由指数函数的性质求出函数的值域即集合A，由对数函数的性质即真数大于 0，解 一元二次不等式得到集合B，判断两个集合的关系，结合选项可得正确答案 【解答】解：集合 |4 |4(,4) x My yey y
16、 ， 集合 |(2)(3) |(2)(3)0 |(2)(3)0( 2Nx ylg xxxxxxxx ，3)， NM，即 RMRN CC， 故选：AB 【点评】本题考查了集合间的关系，以及指数函数和对数函数的性质，属于基础题 10已知0a ，0b ，设 22 ab M ab ， 22 ab N ab ，则下列说法正确的是() AM有最小值，最小值为 1BM有最大值，最大值为2 CN没有最小值DN有最大值，最大值为 2 2 【分析】由已知结合基本不等式及不等式的性质分别求解M，N的取值范围，进而可求判 断 【解答】解： 22 2 2222 222 112 2 abababab M ababab ，
17、当且仅当ab时取等号， 故2M，即M的最大值为2，A错误，B正确； 22 11 2 ab N ba ab ab ，则 1 0 2 NN，即N没有最小值，有最大值 1 2 故选：BC 【点评】 本题主要考查了基本不等式及不等式的性质的简单应用， 解题的关键是不等式性质 的熟练应用 11已知函数( )sin(3)() 22 f xx 的图象关于直线 4 x 对称，则() A 2 (0) 2 f B函数( )f x的图象关于(12 ，0)中心对称 C函数( )f x在(12 ，) 3 上单调递增 D若 12 |()()| 2f xf x，则 12 |xx的最小值为 3 【分析】由题意利用正弦函数的图
18、象和性质，得出结论 【解答】解：函数( )sin(3)() 22 f xx 的图象关于直线 4 x 对称， 3 42 k，Zk， 4 ，函数( )sin(3) 4 f xx 故有 2 (0) 2 f ，故A错误； 令 12 x ，求得( )0f x ，可得函数( )f x的图象关于(12 ，0)中心对称，故B正确； 当(12x ，) 3 ， 3 3(0,) 44 x ，函数( )f x没有单调性，故C错误； 若 12 |()()| 2f xf x，则 1 ()f x和 2 ()f x中，一个最大，另一个最小， 12 |xx的最小值 1 2 233 ，故D正确， 故选：BD 【点评】本题主要考查
19、正弦函数的图象和性质，属于中档题 12已知定义在R上的函数( )f x满足()( )0fxf x，且当0 x时， 2 ( )2f xxx，则可 作为方程( )(1)f xfx实根的有() A 13 2 B 1 2 C 13 2 D 33 2 【分析】 由已知求得函数解析式， 得到(1)fx， 进一步写出分段函数( )( )(1)g xf xfx， 求解方程( )0g x 得答案 【解答】解：()( )0fxf x，( )f x为定义在R上的奇函数， 当0 x时， 2 ( )2f xxx，设0 x ，则0 x ， 得 2 ()2( )fxxxf x ，即 2 ( )2f xxx 2 2 2 ,0
20、 ( ) 2 ,0 xx x f x xx x ，则 2 2 1,1 (1) 2 ,1 xx fx xx x ， 令 2 2 263,1 ( )( )(1)21,01 221,0 xxx g xf xfxxx xxx ， 当( )0g x 时，解得 33 2 x 或 1 2 x 或 13 2 x 故选：ABD 【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与运算求 解能力，是中档题 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题） 13命题：xR ， 2 10 xx 的否定是xR ， 2 10 xx 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可 【解答】解：因为特称命
21、题的否定是全称命题， 所以xR ， 2 10 xx 的否定是：xR ， 2 10 xx 故答案为：xR ， 2 10 xx 【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用 14若函数 2 3 x ya ，(0,1)aa的图象恒过定点P，则点P的坐标为(2,4)；若点 P在角的终边上，则 2sin 3cossin 【分析】令幂指数等于零，求得x、y的值，可得它的图象经过定点的坐标，再根据三角形 函数的定义即可求出 【解答】解：对于函数 2 3 x ya ，(0,1)aa，令20 x ，求得2x ，4y ，可得它 的的图象恒过定点(2,4)P， 点P在角的终边上， 4 tan2
22、2 ， 2sin22 4 33 3cossin 11 tan2 ， 故答案为：(2,4)，4 【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，还考查了任意角的三角函数，属于基础 题 15已知函数 331 ( )cossin()3cos()sin 42634 f xxxxx 的图象向左平移 6 个单 位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到( )g x的图象，函数( )g x在区间， 2 上的最大值是3 【分析】由题意利用三角恒等变换化简( )f x的解析式，再利用函数sin()yAx的图象 变换规律， 得到( )g x的解析式， 再根据正弦函数的定义域和值域， 求得( )g x在区
23、间，2 上的最大值 【解答】解：函数 331 ( )cossin()3cos()sin 42634 f xxxxx 3331131 cos(sincos)3(cossin)sin2sin 4222224 xxxxxxx， 把( )f x的图象向左平移 6 个单位长度，得到2sin() 6 yx 的图象， 然后纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到 1 ( )2sin() 26 g xx 的图象 当x，2 ， 12 263 x ， 7 6 ， 故当 12 263 x 时，( )g x取得最大值为 2 2sin3 3 ， 故答案为：3 【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数sin()yAx的图
24、象变换规律，正弦函数的 图象的对称性，属于中档题 16已知函数 2 26,0 ( ) ,0 xxx f x lnx x ，若函数( )( )2g xf xmx有四个零点，则实数m 的取值范围是(2, ) e 【分析】对分段函数进行分类讨论，分别研究当0 x 时，函数( )f xlnx和2ymx的交 点个数，然后再研究当0 x时，2ymx与 2 26yxx 有两个交点，利用数形结合的 方法进行分析求解，即可得到答案 【解答】解：若函数( )( )2g xf xmx有四个零点，需( )yf x和2ymx有四个交点， 当0 x 时，作出函数( )f xlnx和2ymx的图象如下图所示， 直线2ymx
25、恒过定点(0, 2)， 设2ymx于ylnx相切于点 0 (x， 0) y，则 00 2ymx， 00 ylnx， 由ylnx，得 1 y x ，所以 0 1 m x ，解得 0 1 ,xme e ， 即当0me时，函数( )f xlnx与2ymx有两个交点， 当0 x时，若2ymx与 2 26yxx 有两个交点，需 2 24(0)mxxxx 有两个 不相等的实根， 当0 x 时，m无解； 当0 x 时， 4 2mx x ， 由对勾函数图象可得，当24m ，即2m 时，2ym与 4 yx x 有两个交点， 故2ymx与 2 26yxx 有两个交点， 综上可得，当2me时，函数( )( )2g
26、xf xmx有四个零点 故答案为：(2, ) e 【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了分段函数的应用、对数函数的图象 和性质、曲线的切线方程的应用，对于分段函数的问题，解题的方法一般是分类讨论和数形 结合 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题） 17已知是第四象限角，且tan2 ，计算： （1） 3sin() 2 5sin()cos() 22 ； （2） 2 sin()cos()3cos 【分析】又已知利用同角三角函数基本关系式化简可得cos，sin的值， （1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解； （2）利用诱导公式化简即可代入求解； 【解答】解：是第四象限角
27、，且 sin tan2 cos ， 可得 22222 sincos( 2cos )cos5cos1 ， 可得 5 cos 5 ， 2 5 sin 5 ， （1） 3sin() 3cos33 2 1 5cossin5tan5( 2) 5sin()cos() 22 ； （2） 222 2 55535 sin()cos()3cossincos3cos3 () 55555 【点评】 本题主要考查了诱导公式， 同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用， 考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18已知函数 2 ( )2sin cos2sin1f xxxx （1）求() 4 f 的值及函数的最小正周
28、期； （2）求( )f x在区间,0 2 上的最值及对应的x值 【分析】（1） 利用二倍角公式， 两角和的正弦公式化简函数解析式可得( )2sin(2) 4 f xx ， 利用特殊角的三角函数值可得解() 4 f 的值， 利用正弦函数的周期公式即可求解( )f x的最小 正周期 （2）由已知可求范围 3 2 444 x ，利用正弦函数的性质即可求解 【解答】解： （1）因为 2 ( )2sin cos2sin1sin2cos22sin(2) 4 f xxxxxxx ， 所以()2sin()1 424 f ， ( )f x的最小正周期为 22 |2 T （2）因为,0 2 x ，可得 3 2 4
29、44 x ， 所以sin(2) 1 4 x ， 2 2 ， 当2 42 x ，即 3 8 x 时，( )f x取得最小值为2， 当2 44 x ，即0 x 时，( )f x取得最大值为 1 【点评】本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值，以及正弦 函数的性质，考查了函数思想，属于基础题 19已知函数 3 ( )sin (cos3sin ) 2 f xxxx （1）求() 3 f 的值及函数( )f x的单调增区间； （2）若12x ， 2 ，不等式( )2mf xm恒成立，求实数m的取值集合 【分析】 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，代入计算可求() 3
30、 f 的值，结 合正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间； （2）求出( )f x在12 ， 2 上的值域，根据题意列出不等式组即可解出m的范围 【解答】解：（1） 2 3311cos23 ( )sin (cos3sin )sin cos3sinsin23sin(2) 222223 x f xxxxxxxxx ， 3 ()sin(2)sin 33332 f ， 令222 232 x k k，解得 5 1212 x k k，Zk ( )f x的单调递增区间是 12 k， 5 12 k，Zk （2）12x ， 2 ，可得2 36 x ， 2 3 ， 当2 32 x 时，( )f x取得最大值 1，
31、当2 36 x 时，( )f x取得最小值 1 2 ( )2mf xm恒成立， 1 2 21 m m ，解得 1 1 2 m 实数m的取值范围是 1 ( 2 ，1) 【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的单调性，三角函数的值域，考查了转 化思想和函数思想，属于中档题 20已知某工厂生产机器设备的年固定成本为 200 万元，每生产 1 台还需另投入 20 万元， 设该公司一年内共生产该机器设备x台并全部销售完，每台机器设备销售的收入为( )R x万 元，且 800 40,030 ( ) 2801000 ,30 x x R x x x x （1）求年利润y（万元）关于年产量x（台)的函数
32、解析式； （2）当年产量为多少台时，该工厂生产所获得的年利润最大？并求出最大年利润 【分析】 （1）由( )(20200)yxR xx分段写出函数解析式； （2）分类利用函数的单调性及换元法、配方法求最值，取最大值中的最大者得结论 【解答】解： （1）当030 x 时，( )(20200)20600yxR xxx； 当30 x 时，( )(20200)20280800yxR xxxx 20600,030 20280800,30 xx y xxx ； （2）当030 x 时，20600yx在(0，30上为增函数， 当30 x 时，1200 max y（万元） ； 当30 x 时，20280800
33、yxx ， 令(30)xt t， 2 20(7)1780yt ， 当7t ，即49x 时，1780 max y（万元） 综上，当年产量为 49 台时，获得的年利润最大，最大为 1780 万元 【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用换元法及配方法求最值，考查运算求 解能力，是中档题 21已知 2 ( )3f xxax （1）若( )0f x 对任意的 1 2a，4恒成立，求x的取值范围； （2）试判断( )yf x在 1 2 ，4上的零点个数 【分析】 （1）将a看成自变量，得到关于a为自变量的一次函数，根据一次函数在指定区间 的端点处取得最小值，由此构造出关于x的不等式组，求解即可；
34、 （2）分离参数，利用对勾函数的单调性研究函数的单调性、最值情况，据此构造出a的不 等式组，求解 【解答】解： （1）原函数式可化为g（a） 2 3x ax ， 1 ,2 2 a 由题意可得 1 ( )0 2 (4)0 g g ，即 2 2 1 30 2 430 xx xx ，解得 3,1 xR xx 或 ， 故x的取值范围是 |3x x ，或1x （2）令( )0f x 得 2 30 xax，因为 1 ,4 2 x， 故 3 ax x ， 1 ,4 2 x，令 31 ( ), ,4 2 h xxx x ， 由对勾函数的性质可知，函数( )h x在 1 , 3 2 上单调递减，在( 3,4上单
35、调递增， 且( 3)2 3h， 113 ( ) 22 h，h（4） 19 4 故当 19 13 (, 3 42 a 时，函数( )f x只有一个零点； 当 19 ( 3, 4 a时，原函数有两个零点； 当3a 或 13 2 a 时，原函数没有零点 【点评】本题考查函数思想在解决不等式恒成立、方程的根与函数的零点问题中的应用属 于中档题 22已知函数( )(1) x f xln exk是偶函数（其中e为自然对数的底数，2.71828)e （1）求k的值； （2）若方程 1 ( ) 2 f xxb在区间 1，0上有实数根，求实数b的取值范围 【分析】 （1）利用偶函数的定义，求出k的值； （2）分
36、离参数b，然后构造函数并结合单调性求出新函数的值域，则b的范围可求 【解答】解： （1）由( )f x是偶函数得： ( )()(1)(1)() xx f xfxln exln ex kk 11 222 11 xx x xx x ee lnxlnxlnex ee e kkk (21)0 xk恒成立，故210 k，即 1 2 k （2）由（1）知 1 ( )(1) 2 x f xln ex 由 1 ( ) 2 f xxb得(1) x bln ex， 1x ，0 令 1 ( )(1)(1) x x g xln exln e ， 1x ，0 当 1x ，0时， 1 12 x e ，1 e，故 1 (1)2 x lnln e ，(1)lne 故2bln，(1)lne时，方程 1 ( ) 2 f xxb在区间 1，0上有实数根 即b的取值范围是2ln，(1)lne 【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，函数的零点与函数值域间的关系属于中档题
