1、北师大新版数学必修第一册第一章预备知识综合检测题北师大新版数学必修第一册第一章预备知识综合检测题 一、单选题一、单选题 1命题“ 2 0,20 xxx ”的否定是（） A 2 0,20 xxx B 2 0,20 xxx C 2 0,20 xxx D 2 0,20 xxx 2设全集0,1,2,3,4U ，已知集合0,1,2 ,0,2,3AB，则如图所示的阴影 部分的集合等于（） A0,2B 3C3,4D1,4 3若二次函数 2 21f xaxax在区间2,3上的最大值为 6，则a （） A 1 3 B 1 3 或 5C 1 3 或-5D 1 3 4若2x ，则 4 2 yx x 的最小值为（）
2、A4B5C6D8 5已知集合 U=1 2 3 4 5 6 7，A=2 4 5，B=1 3 5 7， ， ，则 U AB （） A2 4 6， ，B2 4，C2 4 5， ，D2 4 5 6， ， 6命题“04a”是命题“函数 2 1yaxax 的定义域为R”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 7已知0,0ab，那么“4baab”是“9ab”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不 必要条件 8如果 0 xR，使 2 00 10 xax 成立，那么实数a的取值范围为（） A, 2 B , 22, C2,D 9已知实数0a ，0b
3、 ，且 11 1 1ab ，则2ab的最小值为（） A3 3 2 B2 2 1 C4D 33 5 22 10已知不等式 2 0axbxc 的解集是41xx ，则不等式 2 (1)(3)0b xa xc的解集为（） A14xx B 4 1 3 xx C 4 1 3 x xx 或D 21x xx 或 11已知 2 :0p xx，那么命题 p 的一个必要条件是（） A01xB11x C 12 23 xD 1 2 2 x 12已知函数( )(1)(0)f xx axa，设关于x的不等式()( )f xaf x的解集为 A，若 3 3 , 4 4 A ，则实数a的取值范围是（） A 1 (, 2)0,
4、2 B 1 (, 20, 2 C( 2,0)(1,) D 2,0)1,) 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 二、填空题二、填空题 13二次函数 2 22f xxx在区间0,3上的最大值为_ 14已知 12 (2) 36 yxx x ，则 y 最小值为_ 15已知0 x ，0y ，且2xyxy，则2xy的最小值是_ 16若不等式21xm成立的一个充分不必要条件为 1x2，则实数 m 的取值范围 为_ 三、解答题三、解答题 17已知全集U R，集合02Axx，3Bx x 或1x 求： （1）AB； （2） UU AB痧. 18设集合 2 |320Ax
5、xx， 2 |10Bx xmxm； （1）用列举法表示集合A； （2）若xB是xA的充分条件，求实数m的值. 19已知0 x ，a为大于2x的常数. （1）求函数2yx ax的最大值； （2）求 1 2 yx ax 的最小值. 20已知二次函数 2 2yaxbxa （1）若关于x的不等式 2 20axbxa 的解集是12xx ，求实数a，b的 值； （2）若0a ，2b ，解关于x的不等式 2 20axbxa 21已知集合 22Axaxa， 16Bxx （1）当3a 时，求AB， RR AB痧； （2）若“xA”是“xB”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 22已知二次函数 ( )f x
6、的值域为 4,)，且不等式0()f x 的解集为( 1,3). （1）求 ( )f x的解析式； （2）若对于任意的 2,2x ，都有2( )f xxm恒成立，求实数m的取值范围. 参考答案参考答案 1C 【分析】 全称命题的否定是特称命题，任意改为存在，并将结论加以否定， 【详解】 根据全称命题否定的定义，“ 2 0,20 xxx ”的否定是 “ 2 0,20 xxx ”， 故选：C 2B 【分析】 根据韦恩图得解 【详解】 因为0,1,2 ,0,2,3AB，阴影部分表示的集合为 3 U C AB ， 故选：B 3C 【分析】 讨论二次项系数，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】 显然0a
7、 ，有 2 11f xa xa， 当0a 时， fx在2,3上的最大值为 3151fa， 由1516a ，解得 1 3 a ，符合题意； 当0a 时， fx在2,3上的最大值为11fa ， 由16a，解得5a ， 所以a的值为 1 3 或-5. 故选：C 4C 【分析】 44 22 22 yxx xx ，利用基本不等式即可求最值. 【详解】 因为2x ，所以20 x， 所以 444 222226 222 yxxx xxx ， 当且仅当 4 2 2 x x ，即4x 时等号成立， 故 4 2 yx x 的最小值为6， 故选：C 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条
8、件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大 值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则 这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 5B 【分析】 利用集合补集和交集的定义运算即可 【详解】 由题意可知2 4 6 UB ，所以2 4 UB A， 故选：B 6A 【分析】 求出命题“函数 2 1yaxax 的定义域为R”的充要条件即可判断出答案. 【详解】 若函数 2 1yaxax 的定义域为R，则有 2 10
9、axax 恒成立 当0a 时10成立，当0a 时， 2 0 40 a aa ，解得04a 所以04a 所以命题“04a”是命题“函数 2 1yaxax 的定义域为R”的充分不必要条件 故选：A 7A 【分析】 根据充分条件、必要条件的定义以及基本不等式判断可得； 【详解】 解：因为0,0ab，若4baab，则 14 01 ab 所以 1444 5529 baba abab ababab 即当且仅当3a ，6b 时取等号； 若9ab，当1a ，8b 时，4baab 则“4baab”是“9ab”的充分不必要条件； 故选：A 【点睛】 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一
10、正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值， 则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这 个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 8B 【分析】 由题意知，只需使判别式大于0即可. 【详解】 解： 0 xR，使 2 00 10 xax 成立， 2 40a ， 解得：2a 或2a ， 即a的取值范围为, 22, . 故选：B. 9B 【分析】 用“1”的代换凑配出定值，然后由基本不等式得最小值 【详解】 22(1)2abab
11、 11 ()21 2 1 ab ab 21 32 21 1 ba ab ， 当且仅当 12a 且 2 2 b 时等号成立， 故选：B. 【点睛】 本题考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出定值 10B 【分析】 根据不等式的解集与对应的方程根的关系的关系求得3 ,4ba ca 且0a ，化简不等式 为 2 340 xx ，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】 由题意，不等式 2 0axbxc 的解集是41xx ， 可得4x 和1x 是方程 2 0axbxc 的两根，且0a ， 所以 4 1 4 1 b a c a ，可得3 ,4ba ca ， 所以不等式 2 (1)(
12、3)0b xa xc可化为 2 3 (1)(3)40a xa xa， 因为0a ，所以不等式等价于 2 3(1)(3)40 xx， 即 2 34(1)(34)0 xxxx，解得 4 1 3 x， 即不等式 2 (1)(3)0b xa xc的解集为 4 1 3 xx . 故选：B. 【点睛】 解答中注意解一元二次不等式的步骤： （1）变：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式； （2）判：计算对应方程的判别式； （3）求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根； （4）利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 11B 【分析】 首先解不等式 2 0 xx ，得到不等式的
13、解，利用集合之间的关系，判断充分必要性，得到 结果. 【详解】 2 001xxx ，运用集合的知识易知， A 中01x是 p 的充要条件； B 中11x 是 p 的必要条件； C 中 12 23 x是 p 的充分条件； D 中 1 2 2 x是 p 的既不充分也不必要条件. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛： 该题考查的是有关充分必要条件的判段， 正确解题的关键是理解充分必要条件 的定义. 12B 【分析】 分别讨论0a 和0a ，利用不等式之间的关系，求解集，利用条件 3 3 (, ) 4 4 A，确定不 等式关系，即可求实数a的取值范围 【详解】 由()( )f xaf x得( ) ()1
14、(1)xa a xax ax ，即 22 2(1)0a xa a， 若0a ，则不等式等价为 2 2 (1) 2 aa x a ，即 2 1 2 a x a ， 若 3 3 (, ) 4 4 A，则 2 13 24 a a ， 即 2 232 0aa ，解得 1 2 2 a ， 0a ， 1 0 2 a 若0a ，则不等式等价为 2 210axa ，即 2 1 2 a x a ， 若 3 3 (, ) 4 4 A，则 2 13 24 a a ， 0a ， 2 232 0aa ， 解得2a或 1 2 a， 2a 综上： 1 0 2 a 或2a 故选：B 【点睛】 关键点点睛：由()( )f xa
15、f x化简不等式为 22 2(1)0a xa a，可得 2 1 2 a x a ， 由 3 3 (, ) 4 4 A得到 2 13 24 a a ，为解不等式分0a 和0a ，属于中档题. 135 【分析】 由二次函数的图象与性质， 得到函数 fx在区间(,1递减1,)递增,即可求得在区间 0,3函数的最值得解 【详解】 由题意，函数 2 22f xxx，可得函数 fx在区间(,1递减1,)递增 0,3，所以函数 fx在0,1递减,1,3递增 (1)1,(3)5ff 所以 max (3)5yf 故答案为：5 【点睛】 熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 146 【分
16、析】 1244 22 3622 yxxx xxx ，利用基本不等式即可求最值. 【详解】 12444 222226 36222 yxxxx xxxx ， 当且仅当 4 2 2 x x ，即4x 时等号成立， 故答案为：6 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大 值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则 这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错
17、误的地方 15 3 + 2 2 【分析】 由2xyxy可得 11 2 xy ， 所以 1 2 2 11 2xy xy xy ， 展开后利用基本不等式 即可求解. 【详解】 因为0 x ，0y ，且2xyxy， 所以 11 2 xy ， 所以 11 23 1 22 12 2 xy xyxy xyyx 1232 23 322 222 xy yx ， 故答案为： 3 + 2 2 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大 值，则必须把构
18、成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则 这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 16 1 1 2 ， 【分析】 根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】 解：由题意不等式21xm的解为2121mxm ，且 1x ，2ax， 2 2 1122 222 2228 xaxa yx axx ax ， 当且仅当22xax时，即当 4 a x 时，等号成立， 因此，函数2yx ax的最大值为 2 8 a ； （2）2ax，则20ax， 11212 22 22222222 axaaxaa yx
19、axaxax . 当且仅当 12 22 ax ax 时，即当 2 2 a x 时，等号成立， 因此，函数 1 2 yx ax 的最小值为2 2 a . 【点睛】 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大 值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则 这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 20 （1）2,2ab ； （2）见详解 【分析】 （1）根据三个二次之间的关系，由不
20、等式的解集，结合根与系数关系列出方程求解，即可 得出结果； （2）讨论0a ，01a，1a ，1a 四种情况，分别求解不等式，即可得出结果. 【详解】 （1）因为不等式 2 20axbxa 的解集是12xx ， 所以1，2 一元二次方程 2 20axbxa 的两实数根， 由一元二次方程根与系数关系，得 12, 2 1 2, b a a a 解得 2, 2. a b （2）由题意，得 2 220axxa ， 所以120 xaxa （） （i）当0a 时，不等式（）的解为1x （ii）当0a 时，不等式（）化为 2 10 a xx a ， （ ） 当01a，即 2a a 时，解不等式（ ）得 2a
21、 x a 或1x ； 当1a ，即 2 1 a a 时，不等式（ ）的解为1x ； 当1a ，即 2 1 a a 时，解不等式（ ）得1x 或 2a x a 综上述，当0a 时，所求不等式的解集为1x x ； 当01a时，所求不等式的解集为 2 2 a x x 或1x ； 当1a 时，所求不等式的解集为1x x ； 当1a 时，所求不等式的解集为 2 2 a x x 或1x 【点睛】 方法点睛： 求解含参数一元二次不等的一般方法为： 先求不等式对应的一元二次方程的根，通过比较根 的大小，进行分类讨论，分别求解，即可得出结果. 21 （1）15ABxx，1 RR ABx x痧或5x ； （2）1
22、a 【分析】 （1）先由3a 求出集合A，再根据集合间的基本关系计算即可. （2）由“xA”是“xB”的充分不必要条件，即可得出AB，再根据集合间的基本关系 计算即可. 【详解】 解： （1）3a ， 15Axx ， 1 UA x x 或5x ， 1 UB x x或6x ， 15ABxx， 1 RR ABx x痧或5x ； （2）xA是xB的充分不必要条件， AB， 若A是空集，则22aa， 解得：0a ， 若A不是空集， 即： 22 21 26 aa a a 或 22 21 26 aa a a ， 解得：01a. 综上所述：1a . 【点睛】 易错点点睛：当AB时，易忽略A是空集的情况. 2
23、2 （1） 2 ( )23f xxx； （2）7m . 【分析】 （1）运用待定系数法，设 2 ( )f xaxbxc，由题意建立方程组，解之可得函数的解析 式； （2）由（1）将问题转化为 2 43mxx 对 2,2x 恒成立，令 2 2 ( )4327g xxxx，运用二次函数的性质求得其最值，再由不等式恒成立的 思想可求得 m 的取值范围. 【详解】 （1）设 2 0f xaxbxc a，由题意可知： ( 1)0 (3)930 (1)4 fabc fabc fabc ，解得 1 2 3 a b c ，即 2 ( )23f xxx； （2）由（1）得 2 43mxx 对 2,2x 恒成立， 令 2 2 ( )4327g xxxx，当 2,2x ，( ) 7,9g x ， 故7m . 【点睛】 常用的不等式恒成立的思想：( )f xa对一切xI恒成立， 等价于 minf xa；( )f xa 对一切xI恒成立，等价于 maxfxa.
