1、等差、等比数列基础过关复习等差、等比数列基础过关复习 范围：选择性必修二数列 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 一、选择题一、选择题 1在等比数列 n a中， 3 2a ， 5 am， 7 8a ，则m（） A4B4 C-4D5 2已知等比数列 n a的前n项和为 n S，如表给出 n S的部分数据： n 123456 n S-1 13 8 55 16 那么数列 n a的第四项 4 a等于（） A 81 16 B 27 8 C 81 16 或 81 16 D 27 8 或 27 8 3如果函数 * ( )1(0,)f xkxkxN，(1)(2)( ) n Sfff n，若(1)f， (3
2、)f，(13)f成等比数列，则（） A275 ( ) n Sf nB275 ( ) n Sf n C275 ( ) n Sf nD275 ( ) n Sf n 4已知等比数列 n a的公比为 q，首项 1 0a ，则“1q ”是“等比数列 n a为递减 数列”的（） A充分非必要条件B必要非充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 5我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增， 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两 层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一 座 5 层塔
3、共挂了 363 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 3 倍，则塔的中 间一层共有灯（） A3 盏B9 盏C27 盏D81 盏 6已知正项等比数列 n a满足 765 2aaa，若存在两项 m a， n a使得 1 4 mn a aa， 则 14 mn 的最小值为（） A 5 3 B 3 2 C 4 3 D 11 6 7已知正项等比数列 n a满足 1 1 2 a ， 243 2a aa，又 n S为数列 n a的前 n 项和， 则 5 S （） A 31 2 或 11 2 B 31 2 C15D6 8某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改 建费用分
4、为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室 依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室 比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1709.9万 元则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（） A3233万元B4706万元 C4808万元D4938万元 9 （多选题）下列各结论中正确的是（） A“xy0”是“0 x y ”的充要条件 B 2 2 1 9 9 x x 的最小值为 2 C若 ab0，则 11 ab D若公比 q 不为 1 的等比数列 n a的前 n 和 n SAqB，则 A+B=0 10 （
5、多选题）设数列 n a的前n项和为 * () n SnN，关于数列 n a，下列四个命题 中正确的是（） A若 1 * () nn aa nN ，则 n a既是等差数列又是等比数列 B若 2 n SAnBn(A，B为常数， * nN )，则 n a是等差数列 C若11 n n S ，则 n a是等比数列 D若 n a是等差数列，则 n S， 2nn SS， * 32 () nn SSnN也成等差数列 二、填空题二、填空题 11设数列an中，a12，an1 1 n n an，则 an_. 12若数列 n a的前n项和为 n 21 33 n Sa，则 n a _. 13已知数列 n a满足 1 1
6、21 n nn aan ，则数列 n a的前 32 项之和为 _. 14 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，共收有 246 个与生产实践有关 的应用题，书中有一道“两鼠穿墙题”，原文如下：“今有垣厚十八尺，两鼠对穿，大 鼠日一尺， 小鼠亦日一尺， 大鼠日自倍， 小鼠日自半， 问何日相逢？”， 其大意为： “现 在有厚 18 尺的墙，有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天 加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两只老鼠第几天相逢？”，请同学们 运用所学数列知识，判断这两只老鼠在第_天相逢？（天数取整数） 三、解答题三、解答题 15已知 n a为等差数列，前n项和
7、为 * n SnN， n b是首项为 2 的等比数列，且 公比大于 0， 23 12bb， 341 2baa， 114 11Sb. （）求 n a和 n b的通项公式； （）求数列 nn ab的前n项和为 * n TnN. 16已知各项均为正数的等差数列 n a中， 123 15aaa，且 123 2,5,13aaa构 成等比数列 n b的前三项 （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）令 1 5 nn n ca b，求数列 n c的前 n 项和 n T 17已知数列 n a的前n项和 n S满足 1 23 nn aS ，且 1 3a . （1）求数列 n a的通项公式； （2）已知
8、数列 n b满足 nn bna，求数列 n b的前n项和 n T. 18在 3 5a ， 252 6aab； 2 2b ， 343 3aab； 3 9S ， 452 8aab， 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列 n a的公差为 1d d ，前n项和为 n S，等比数列 n b的公比为q，且 11 ab，dq， _ （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）设数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T，求 n T. 参考答案参考答案 1B2B3D4B5C6B7B8C 9ACD10BCD 11 2 n 12 1 -2 n 13528145 .15 （）32
9、,2n nn anb（） 1 10352n n Tn 【详解】 （）由题意，设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q，则0q 故2 (1 )12qq ，解得2q =， 由题意，得 11 1 328 11 10 1111 16 2 ada ad ，解得 1 1 3 a d 13(1)32 n ann ； 1 2 22 nn n b （）由（）知，(32) 2n nn abn 2 1 122 1 242(32) 2n nnn Taba ba bn ， 231 21 242(35) 2(32) 2 nn n Tnn ， ，得 231 1 23 23 23 2(32) 2 nn n T
10、n 21 212 (122)(32) 2 nn n 1 1 12 212(32) 2 12 n n n 1 53210 n n 1 10352n n Tn 16 （1）21 n an， 1 5 2n n b ； （2）(21)21 n n Tn. 【详解】 解:（1）设等差数列的公差为 d，则由已知得： 1232 315aaaa，即 2 5a ， 又(52)(513)100dd，解得2d 或13d （舍去） ， 12 3aad， 1 (1)21 n aandn， 又 11 25ba， 22 510ba， 2q =， 1 5 2n n b ； （2） 21 35 272(21)2n n Tn ，
11、 23 23 25 27 2(21) 2n n Tn ， 两式相减得 21 3222222(21)2(12 )21 nnn n Tnn ， 则(21)21 n n Tn 【点睛】 本题主要考查本题考查等差等比数列的通项公式及错位相减法求和. 错位相减法求和的方法：如果数列 n a是等差数列， n b是等比数列，求数列 nn a b 的 前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列 n b的公比，然后作差 求解; 在写“ n S”与“ n qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “ nn SqS”的表达式. 17 （1）3n n a ； （2） 1 213
12、3 44 n n n T . 【详解】 （1） 1 23 nn aS ，2n 时， 1 23 nn aS ， 11 2()2 nnnnn aaSSa ， 1 32 nn aan ， 又 21 239aS， 2 1 3 a a ， n a是以 3 为首项，3 为公比的等比数列， 1 3 33 nn n a ； （2）由（1）知，3n n a ，所以3n n bn， 2 1 32 33n n Tn ， 231 31 32 33n n Tn ， 由得： 231 233333 nn n Tn 11 3 1 3 13 233 1 322 n nn n Tnn 1 213 3 44 n n n T 18
13、（1）21 n an， 1 2n n b ； （2） 21 n n T n 【详解】 方案一：选条件 3 5a ， 252 6aab （1）数列 n a的公差为1d d ，数列 n b的公比为q，且 11 ab，dq， 1 11 25 256 ad ada d ，解得 1 1 2 a d 或 1 25 6 5 12 a d （舍去） ， 1 1 2 b q 1 121 n aandn+， 11 1 2 nn n bbq - = （2） 1 11111 (21)(21)2 2121 nn a annnn 1 111 11111 + 2 132 352 2121 n T nn L 11111111
14、 11 2335212122121 n nnnn L 方案二：选条件 2 2b ， 343 3aab （1）数列 n a的公差为1d d ，数列 n b的公比为q，且 11 ab，dq， 11 2 111 22 253256 a da d ada dadd ，解得 1 1 2 a d 或 1 1 2 a d （舍去） ， 1 1 2 b q 1 121 n aandn+， 11 1 2 nn n bbq - = （2） 1 11111 (21)(21)2 2121 nn a annnn 1 111 11111 + 2 132 352 2121 n T nn L 11111111 11 2335
15、212122121 n nnnn L 方案三：选条件 3 9S ， 452 8aab， （1）数列 n a的公差为1d d ，数列 n b的公比为q，且 11 ab，dq， 1 11 3 278 ad ada d ，解得 1 1 2 a d 或 1 21 8 3 8 a d （舍去） ， 1 1 2 b q 1 121 n aandn+， 11 1 2 nn n bbq - = （2） 1 11111 (21)(21)2 2121 nn a annnn 1 111 11111 + 2 132 352 2121 n T nn L 11111111 11 2335212122121 n nnnn L 【点睛】 方法点睛：本题主要考查求数列的通项公式以及裂项相消法求和，常见的裂项技巧： (1) 11 11 n nkknnk ； （2） 1 nkn 1 nkn k ； （3） 1111 21212 2121nnnn ； （4） 1 2 2121 n nn 1 1 2121 2121 nn nn 1 11 2121 nn ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致 计算结果错误.
