1、章末综合测评(二)三角恒等变换 (满分：150 分时间：120 分钟) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1已知 sin 4x3 5，则 cos 22x() A19 25 B16 25 C14 25 D 7 25 Dcos 22xcos2 4x12sin2 4x118 25 7 25. 2已知 tan 1 2，tan() 2 5，那么 tan(2)的值为( ) A3 4 B 1 12 C9 8 D9 8 Btan(2)tan(2)tan() tan tan 1tan tan 1 2 2 5 11 2 2 5
2、1 12. 3已知 0， 2 ，2sin 2cos 21，则 sin () A1 5 B 5 5 C 3 3 D2 5 5 B由 2sin 2cos 21，得 4sin cos 12sin21，即 2sin cos 1 sin2.因为 0， 2 ， 所以 cos 1sin2， 所以 2sin 1sin21sin2， 解得 sin 5 5 ，故选 B 4已知 0 2，又 sin 3 5，cos() 4 5，则 sin 等于( ) A0B0 或24 25 C24 25 D0 或24 25 C因为 0 2，sin 3 5， cos()4 5， 所以 cos 4 5，sin() 3 5或 3 5. 所
3、以 sin sin()sin()cos cos()sin 24 25或 0. 因为 2，所以 sin 24 25. 5已知 A，B 均为钝角，sin A 5 5 ，sin B 10 10 ，则 AB 的值为() A7 4 B3 2 C5 4 D3 4 A因为 2A， 2B， 所以 cos A2 5 5 ，cos B3 10 10 . 所以 cos(AB)cos Acos Bsin Asin B 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 . 又因为AB2，所以 AB7 4 . 6若sin cos sin cos 1 2，则 tan 4 () A2B2 C1 2 D1 2 C因为si
4、n cos sin cos 1 2， 所以tan 1 tan 1 1 2， 所以 tan 3. 所以 tan 4 tan tan 4 1tan tan 4 31 13 1 2. 7若 4， 2 ，sin 23 7 8 ，则 sin () A3 5 B4 5 C 7 4 D3 4 D因为 4， 2 ， 所以 2 2， 所以 cos 20， 所以 cos 2 1sin22 1 3 7 8 2 1 8. 又 cos 212sin2， 所以 sin21cos 2 2 1 1 8 2 9 16， 所以 sin 3 4. 8在ABC 中，3sin A4cos B6,3cos A4sin B1，则 C 的大
5、小为() A 6 B5 6 C 6和 5 6 D 3和 2 3 A由已知可得(3sin A4cos B)2(3cos A4sin B)26212，即 916 24sin(AB)37. 所以 sin(AB)1 2.所以在ABC 中 sin C 1 2. 所以 C 6或 C 5 6 . 又 13cos A4sin B0， 所以 cos A1 3. 又1 3 1 2， 所以 A 3，所以 C 2 3 ， 所以 C5 6 不符合题意， 所以 C 6. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有
6、选错 的得 0 分) 9 已知向量 m(sin x， 3)， n(cos x，cos2 x) ， 函数 f(x)2mn 31， 下列命题中正确的是() Af 6x2f(x) Bf 6x的图象关于 x 4对称 C若 0 x1x2 2，则 f(x 1)f(x3) BD函数 f(x)2mn 312sin 2x 3 1， 对于 A：当 x0 时，f 6xf 6 1,2f(x)2f(0)1 3，故 A 错； 对于 B：f 6x2sin(2x)1，当 x 4时，对应的函数值取得最小值为 1，所以 B 正确； 对于 C：x 0， 2 时，2x 3 3， 2 3，所以函数 f(x)2sin 2x 3 1 在
7、0， 2 不单调，故 C 错； 对于 D：因为 x 3， 2 ，所以 2x 3 3， 2 3 ， f(x) 31，3， 又 2( 31)3，即 2f(x)minf(x)max，x1，x2，x3 3， 2 ，f(x1)f(x2) f(x3)恒 成立，故 D 对 故选 BD. 10关于函数 f(x)cos 2x 3 cos 2x 6 ，下列命题中正确的是() Af(x)的最大值为 2 Bf(x)的最小正周期是 Cf(x)在区间 24， 13 24 上是减函数 D. 将函数 y 2cos 2x 的图象向右平移 24个单位长度后，与函数 yf(x)的 图象重合 ABCDf(x)cos 2x 3 cos
8、 2x 6 cos 2x 3 sin 2 2x 6 cos 2x 3 sin 2x 3 2 2 2 cos 2x 3 2 2 sin 2x 3 2cos 2x 3 4 2cos 2x 12 ， 函数 f(x)的最大值为 2，最小正周期为，故 A、B 正确； 又当 x 24， 13 24 时，2x 120， 函数 f(x)在 24， 13 24 上是减函数，故 C 正确； y 2cos2 x 24 2cos 2x 12 f(x)，故 D 正确. 故选 ABCD. 11已知函数 f(x)(2cos2x1)sin 2x1 2cos 4x，若(0，)，且 f() 2 2 ， 则的值为() A 16 B
9、11 16 C9 16 D7 16 AC由题意知 f(x)cos 2xsin 2x1 2cos 4x 1 2sin 4x 1 2cos 4x 2 2 sin 4x 4 ， 因为 f() 2 2 sin 4 4 2 2 ， 所以 4 4 22k，kZ，即 16 k 2 ，kZ. 因为(0，)，所以 16或 16 2 9 16，故选 AC 12已知函数 f(x)sin 2x2sin2x1，给出下列四个结论，其中正确的结论 是() A函数 f(x)的最小正周期是 2 B函数 f(x)在区间 8， 5 8 上是减函数 C函数 f(x)的图象关于直线 x 8对称 D函数 f(x)的图象可由函数 y 2s
10、in2x 的图象向左平移 4个单位得到 BCf(x)sin 2x2sin2x1sin 2xcos 2x 2sin 2x 4 对于 A，因为2，则 f(x)的最小正周期 T，结论错误； 对于 B，当 x 8， 5 8 时，2x 4 2， 3 2 ， 则 f(x)在区间 8， 5 8 上是减函数，结论正确； 对于 C，因为 f 8 2为 f(x)的最大值，则 f(x)的图象关于直线 x 8对称， 结论正确； 对于 D， 设 g(x) 2sin 2x， 则 g x 4 2sin 2 x 4 2sin 2x 2 2cos 2xf(x)，结论错误故选 BC 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分
11、，共 20 分把答案填在题中横线 上) 13化简： 2sin 2 1cos 2 cos2 cos 2_. tan 2原式2sin 2 2cos2 cos2 cos 2tan 2. 14tan 19tan 41 3tan 19tan 41的值为_ 3tan 19tan 41tan 60(1tan 19tan 41) 3 3tan 19tan 41，原式 3 3tan 19tan 41 3tan 19tan 41 3. 15已知函数 f(x) 2sin x，g(x) 2cos x，其中0，A，B，C 是这两 个函数图象的交点，且不共线当1 时，ABC 面积的最小值为_； 若存在ABC 是等腰直角三
12、角形，则的最小值为_(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 2 2 函数 f(x) 2sin x，g(x) 2cos x，其中0，A，B，C 是这两 个函数图象的交点， 当1 时，f(x) 2sin x，g(x) 2cos x. 所以 A，B 间的距离为一个周期 2，高为2 2 2 2 2 22.所以 SABC 1 22 (11)2. 如图所示： 当1 时，ABC 面积的最小值为 2； 若存在ABC 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边 的一半， 则2 2 2 2 2 2 2 2 ， 解得的最小值为 2. 16已知 tan tan 4 2 3，则 sin 2 4 的值是_ 2 1
13、0 由 tan tan 4 tan tan 1 1tan tan (1tan ) tan 1 2 3，得 3tan 25tan 2 0， 解得 tan 2，或 tan 1 3. sin 2 4 sin 2cos 4cos 2sin 4 2 2 (sin 2cos 2) 2 2 2sin cos cos2sin2 sin2cos2 2 2 2tan 1tan2 tan21， 当 tan 2 时，上式 2 2 22122 221 2 10； 当 tan 1 3时， 上式 2 2 2 1 3 1 1 3 2 1 3 2 1 2 10. 综上，sin 2 4 2 10. 四、解答题(本大题共 6 小题
14、，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17(本小题满分 10 分)求1cos 20 2sin 20 sin 10 1 tan 5tan 5的值 解原式2cos 210 2sin 20 2sin 101tan 25 2tan 5 cos210 2sin 10cos 102sin 10 cos 10 sin 10 cos 10 2sin 102cos 10 cos 102sin 20 2sin 10 cos 102sin3010 2sin 10 3 2 . 18(本小题满分 12 分)设函数 f(x)sin x，xR. (1)已知0,2)，函数 f(x)是偶函数，求的值； (2
15、)求函数 y f x 12 2 f x 4 2 的值域 解(1)因为 f(x)sin(x)是偶函数，所以，对任意实数 x 都有 sin(x )sin(x)， 即 sin xcos cos xsin sin xcos cos xsin ，故 2sin xcos 0，所以 cos 0. 又0,2)，因此 2或 3 2 . (2)y f x 12 2 f x 4 2 sin2 x 12 sin2 x 4 1cos 2x 6 2 1cos 2x 2 2 11 2 3 2 cos 2x3 2sin 2x 1 3 2 cos 2x 3 . 因此，函数的值域是 1 3 2 ，1 3 2 . 19(本小题满分
16、 12 分)已知向量 m cos 2 3 ，1 ，n(sin ，1)，m 与 n 为共线向量，且，0 (1)求 sin cos 的值； (2)求 sin 2 sin cos 的值 解(1)因为 m 与 n 为共线向量， 所以 cos 2 3 1(1)sin 0， 所以 sin cos 2 3 . (2)因为 1sin 2(sin cos )22 9， 所以 sin 27 9，所以(sin cos ) 2(sin cos )24sin cos 2 9 2 7 9 16 9 . 又因为，0，sin cos 0， 所以 2，0，所以 sin cos 0，|0，f(x)mn；函数 f(x)cos xs
17、in x 6 1 4 (0)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答已 知_，函数 f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2. (1)若 0 2，且 sin 2 2 ，求 f()的值； (2)求函数 f(x)在0，2上的单调递减区间 解方案一：选条件 由题意可知，T2 2，1， f(x)1 2sin (2x)，g(x)1 2sin 2x 6 ， 又函数 g(x)图象关于原点对称，k 6，kZ， | 2， 6，f(x) 1 2sin 2x 6 ， (1)0 2，sin 2 2 ， 4，f()f 4 1 2sin 2 3 3 4 ； (2)由 22k2x 6 3 2 2k，kZ，得 6k
18、x 2 3 k，kZ， 令 k0，得 6x 2 3 ，令 k1，得7 6 x5 3 ， 函数 f(x)在0，2上的单调递减区间为 6， 2 3 ， 7 6 ，5 3 . 方案二：选条件 m( 3sin x，cos 2x)，n 1 2cos x， 1 4 ， f(x) mn 3 2 sin xcos x 1 4 cos 2x 1 2 3 2 sin 2x1 2cos 2x 1 2sin 2x 6 ， 又 T2 2，1，f(x) 1 2sin 2x 6 ， (1)0 2，sin 2 2 ， 4，f()f 4 1 2sin 2 3 3 4 ； (2)由 22k2x 6 3 2 2k，kZ，得 6kx
19、 2 3 k，kZ， 令 k0，得 6x 2 3 ，令 k1，得7 6 x5 3 ， 函数 f(x)在0，2上的单调递减区间为 6， 2 3 ， 7 6 ，5 3 . 方案三：选条件 f(x)cos xsin x 6 1 4 cos x sin xcos 6cos xsin 6 1 4 3 2 sin xcos x1 2cos 2x1 4 3 4 sin 2x1 4cos 2x 1 2 3 2 sin 2x1 2cos 2x1 2sin 2x 6 ， 又 T2 2，1，f(x) 1 2sin 2x 6 ， (1)0 2，sin 2 2 ， 4， f()f 4 1 2sin 2 3 3 4 ；
20、(2)由 22k2x 6 3 2 2k，kZ，得 6kx 2 3 k，kZ， 令 k0，得 6x 2 3 ，令 k1，得7 6 x5 3 . 函数 f(x)在0，2上的单调递减区间为 6， 2 3 ， 7 6 ，5 3 . 21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)cos x(sin xcos x)1 2. (1)若 0 2，且 sin 2 2 ，求 f()的值； (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间 解f(x)sin xcos xcos2x1 2 1 2sin 2x 1cos 2x 2 1 2 1 2sin 2x 1 2cos 2x 2 2 sin 2x 4 . (1)0 2
21、，sin 2 2 ， 4. 从而 f() 2 2 sin 2 4 2 2 sin3 4 1 2. (2)T2 2 . 由 2k 22x 42k 2，kZ，得 k3 8 xk 8，kZ. f(x)的单调递增区间为 k3 8 ，k 8 ，kZ. 22(本小题满分 12 分)如图，在直径为 1 的圆 O 中，作一关于圆心对称、 邻边互相垂直的十字形，其中 yx0. (1)将十字形的面积表示成的函数； (2)求十字形的最大面积 解(1)设 S 为十字形面积， 则 S2xyx22sin cos cos2 4 2 . (2)S2sin cos cos2sin 21 2cos 2 1 2 5 2 2 5 5 sin 2 5 5 cos 2 1 2 5 2 sin(2)1 2(设为锐角且 tan 1 2) 当 sin(2)1，即 2 2时，S 最大 即当 4 2时，十字形取得最大面积 5 2 1 2.
