1、第1课时函数的单调性 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思 1.1.怎样描述函数的图象上升、下降的性质怎样描述函数的图象上升、下降的性质? ? 2.2.什么是函数的单调区间什么是函数的单调区间? ? 1.1.函数的单调性函数的单调性 (1)(1)定义定义 函数函数增函数增函数减函数减函数 图示图示 条件条件 设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为A,A,区间区间I IA.A.如果对于区间如果对于区间I I内的任意两个值内的任意两个值x x1 1,x,x2 2, ,当当x x1 1xx2 2时时, , 都有都有_都有都有_ 结论结论 (1)y=f(x)(1)y=f(x)在
2、区间在区间I I上是上是_ (2)I(2)I称为称为y=f(x)y=f(x)的增区间的增区间 (1)y=f(x)(1)y=f(x)在区间在区间I I上是上是_ (2)I(2)I称为称为y=f(x)y=f(x)的减区间的减区间 f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2) ) 增函数增函数减函数减函数 (2)(2)本质本质: :函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律, ,定量地刻画了函数定量地刻画了函数 在区间上图象的变化趋势在区间上图象的变化趋势, ,是函数诸多性质中最核心、最本质的性质是函数诸多性质中最核心、最本质的性质. . (3)(3)
3、应用应用: :证明函数的单调性、比较大小、解不等式、求参数范围等证明函数的单调性、比较大小、解不等式、求参数范围等. . 【思考】【思考】 函数单调性的定义中函数单调性的定义中, ,能否将能否将“任意任意”改为改为“存在存在”? ? 提示提示: :不能不能, ,一些特殊的值满足并不能说明函数的单调性一些特殊的值满足并不能说明函数的单调性. . 2.2.单调性与单调区间单调性与单调区间 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间I I上是增函数或减函数上是增函数或减函数, ,那么称函数那么称函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间I I上具上具 有单调性有单调性. .增区间和减区间统称
4、为单调区间增区间和减区间统称为单调区间. . 【思考】【思考】 函数函数y=f(x)y=f(x)在定义域内的每一个区间在定义域内的每一个区间D D1 1,D,D2 2, ,上都单调递减上都单调递减, ,那么函数在定义那么函数在定义 域上是减函数吗域上是减函数吗? ?你能举例说明吗你能举例说明吗? ? 提示提示: :不是不是. .如函数如函数y= y= 在在(-,0),(0,+)(-,0),(0,+)上都单调递减上都单调递减, ,但在定义域上不具但在定义域上不具 有单调性有单调性. . 1 x 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”)
5、(1)(1)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2, ,因为因为-12,-12,且且f(-1)f(2),f(-1)f(2),则函数是增函数则函数是增函数. .( () ) (2)(2)函数函数f(x)= f(x)= 在在(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)上是减函数上是减函数. .( () ) (3)(3)函数函数f(x)f(x)在某一区间在某一区间D D上要么是增函数要么是减函数上要么是增函数要么是减函数. .( () ) 3 x 提示提示: :(1)(1). .函数函数f(x)=xf(x)=x2 2在在R R上不具有单调性上不具有单调性. . (2)(2). .函数函数f(x)= f(
6、x)= 的减区间为的减区间为(-,0),(0,+),(-,0),(0,+),不能用不能用“并并”表示表示. . (3)(3). .常数函数不具有严格的单调性常数函数不具有严格的单调性. . 3 x 2.2.函数函数y=f(x)y=f(x)的图象如图所示的图象如图所示, ,其减区间是其减区间是( () ) A.-4,4A.-4,4B.-4,-31,4B.-4,-31,4 C.-3,1C.-3,1D.-4,-3,1,4D.-4,-3,1,4 【解析】【解析】选选D.D.由图象知函数在由图象知函数在-4,-3-4,-3以及以及1,41,4上是减函数上是减函数, ,则对应的减区间则对应的减区间 为为-
7、4,-3,1,4.-4,-3,1,4. 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :习题改编习题改编) )若函数若函数f(x)=(2k-1)x+1f(x)=(2k-1)x+1是减函数是减函数, ,则实数则实数k k的取值的取值 范围是范围是_._. 【解析】【解析】由题意知由题意知,2k-10,2k-10,解得解得k .k . 答案答案: : 1 2 1 (,) 2 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一利用图象求函数的单调区间类型一利用图象求函数的单调区间( (数学抽象、直观想象数学抽象、直观想象) ) 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020龙岩高一检测龙岩高一检测) )图中
8、是定义在区间图中是定义在区间-5,5-5,5上的函数上的函数y=f(x),y=f(x),则下列关则下列关 于函数于函数f(x)f(x)的说法错误的是的说法错误的是( () ) A.A.函数在区间函数在区间-5,-3-5,-3上是增函数上是增函数 B.B.函数在区间函数在区间1,41,4上是增函数上是增函数 C.C.函数在区间函数在区间-3,14,5-3,14,5上是减函数上是减函数 D.D.函数在区间函数在区间-5,5-5,5上没有单调性上没有单调性 2.(20202.(2020海淀高一检测海淀高一检测) )下列函数中下列函数中, ,在区间在区间(0,1)(0,1)上是增函数的是上是增函数的是
9、( () ) A.y=|x|-2A.y=|x|-2B.y=|x-3|B.y=|x-3| C.y= C.y= D.y=-xD.y=-x2 2 3.(20203.(2020周口高一检测周口高一检测) )函数函数y=|x|(1-x)y=|x|(1-x)在区间在区间A A上是减函数上是减函数, ,那么区间那么区间A A是是 ( () ) A.(-,0)A.(-,0)B. B. C.0,+)C.0,+)D.(-,0), D.(-,0), 1 x 1 0, 2 1 ( ,) 2 【解析】【解析】1.1.选选C.C.若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时, ,不能用
10、不能用“” 连接连接. . 2.2.选选A.A.根据题意根据题意, ,依次分析选项依次分析选项: : 对于对于A,y=|x|-2= A,y=|x|-2= 在区间在区间(0,1)(0,1)上是增函数上是增函数, ,符合题意符合题意; ; 对于对于B,y=|x-3|= B,y=|x-3|= 在区间在区间(0,1)(0,1)上是减函数上是减函数, ,不符合题意不符合题意; ; 对于对于C,y= ,C,y= ,在区间在区间(0,1)(0,1)上是减函数上是减函数, ,不符合题意不符合题意; ; 对于对于D,y=-xD,y=-x2 2, ,在区间在区间(0,1)(0,1)上是减函数上是减函数, ,不符合
11、题意不符合题意. . x2,x0 x2,x0 ， ， x3,x3 3x,x3 ， 1 x 3.3.选选D.y=|x|(1-x)= D.y=|x|(1-x)= 再结合二次函数图象可知函数再结合二次函数图象可知函数y=|x|(1-x)y=|x|(1-x)的减区间是的减区间是(-,0), (-,0), 2 2 xx,x0 xx ,x0 ， ， 1 ( ,). 2 【解题策略】【解题策略】 图象法求函数单调区间的步骤图象法求函数单调区间的步骤 (1)(1)作图作图: :作出函数的图象作出函数的图象. . (2)(2)结论结论: :上升图象对应增区间上升图象对应增区间, ,下降图象对应减区间下降图象对应
12、减区间. . 【补偿训练】【补偿训练】 画出函数画出函数y=|x|(x-2)y=|x|(x-2)的图象的图象, ,并指出函数的单调区间并指出函数的单调区间. . 【解析】【解析】y=|x|(x-2)=y=|x|(x-2)= 函数的图象如图所示函数的图象如图所示. . 由函数的图象知由函数的图象知: :函数的增区间为函数的增区间为(-,0)(-,0)和和1,+),1,+),减区间为减区间为0,1).0,1). 2 2 2 2 x2xx11,x0, x2xx11,x0, 类型二利用定义证明函数的单调性类型二利用定义证明函数的单调性( (数学抽象、逻辑推理数学抽象、逻辑推理) ) 【典例】【典例】证
13、明函数证明函数f(x)= f(x)= 在区间在区间(2,+)(2,+)上是减函数上是减函数. . 四步四步内容内容 理解理解 题意题意 条件条件: :函数函数f(x)= ,x(2,+)f(x)= ,x(2,+)结论结论: :函数函数f(x)f(x)在区间在区间(2,+)(2,+)上是减函数上是减函数 思路思路 探求探求 任取任取x x1 1,x,x2 2(2,+),(2,+),且且x x1 1xf(x)f(x2 2) ) 函数函数f(x)f(x)在区间在区间(2,+)(2,+)上是减函数上是减函数 2 1 x4 2 1 x4 四步四步内容内容 书写书写 表达表达 设设x x1 1,x,x2 2
14、为区间为区间(2,+)(2,+)上的任意两个值上的任意两个值, ,且且x x1 1xx2 2 , , 因为因为2x2x1 1x0, 0, 所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).所以函数所以函数f(x)= f(x)= 在在 区间区间(2,+)(2,+)上是减函数上是减函数. . 注意书写的规范性注意书写的规范性: : x x1 1,x,x2 2取值任意且分大小取值任意且分大小; ; 变形是解题关键变形是解题关键. . 题后题后 反思反思 利用定义法证明函数单调性的关键是作差之后的变形利用定义法证明函数单调性的关键是作差
15、之后的变形, ,且变形的结果是几个因式乘积的形式且变形的结果是几个因式乘积的形式. . 12 22 12 22 21 22 2121 22 1122 11 f xf x x4x4 xx . x4x xxxx x4x44 22 12 x4,x4, 2 1 x4 【解题策略】【解题策略】 利用定义证明函数单调性的步骤利用定义证明函数单调性的步骤 【跟踪训练】【跟踪训练】 (2020(2020哈尔滨高一检测哈尔滨高一检测) )求证求证: :函数函数f(x)=- -1f(x)=- -1在区间在区间(-,0)(-,0)上是增函数上是增函数. . 【证明】【证明】设设x x1 1,x,x2 2为为(-,0
16、)(-,0)上的任意两个值上的任意两个值, ,且且x x1 1xx2 2, , f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)= 因为因为x x1 1xx2 20,0,所以所以x x1 1-x-x2 20,x0,0, 所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)0f(x)0时时, ,函数函数y= y= 与与y=f(x)y=f(x)的单调性相反的单调性相反, ,对于对于f(x)0f(x)0c0时时, ,函数函数f(x)f(x)与与cf(x)cf(x)具有相同的单调性具有相同的单调性; ; 当当c0c0,a0,函数函数y=x+ y=x+ 的图
17、象如图的图象如图1 1所示所示, , a x a x 则函数则函数y=x+ y=x+ 的增区间是的增区间是(-,- (-,- 和和 ,+), ,+),减区间是减区间是(- ,0)(- ,0)和和 (0, ).(0, ). (2)(2)若若a0,a-1f(2x-4)-1的实数的实数x x的取值范围是的取值范围是( () ) A.(3,+)A.(3,+)B.(-,3)B.(-,3) C.2,3)C.2,3)D.0,3)D.0,3) 【思路导引】【思路导引】从定义域从定义域, ,单调性两个方面列不等式求范围单调性两个方面列不等式求范围. . 【解析】【解析】选选C.C.因为因为f(2)=-1,f(2
18、)=-1, 所以由所以由f(2x-4)-1f(2x-4)-1得得,f(2x-4)f(2),f(2x-4)f(2), 又因为又因为f(x)f(x)在在0,+)0,+)上是减函数上是减函数, , 所以所以02x-42,02x-42,解得解得2x3,2x-1f(2x-4)-1的实数的实数x x的取值范围是的取值范围是2,3).2,3). 【变式训练】【变式训练】本例的条件若改为本例的条件若改为“增函数增函数”, ,试求试求x x的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】因为因为f(2)=-1,f(2)=-1, 所以由所以由f(2x-4)-1,f(2x-4)-1,得得f(2x-4)f(2),f(2x
19、-4)f(2), 又又f(x)f(x)在在0,+)0,+)上是增函数上是增函数, , 所以所以2x-42,2x-42,解得解得x3.x3. 角度角度2 2分段函数的单调性分段函数的单调性 【典例】【典例】(2020(2020宜春高一检测宜春高一检测) )已知函数已知函数f(x)=f(x)= 是增函数是增函数, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._. 【思路导引】【思路导引】分别考查分别考查x1,x1,x1,x1,分界点三个方面的因素求范围分界点三个方面的因素求范围. . 2 a1 x1,x1, 1 axax1,x1 2 【解析】【解析】因为函数因为函数f(x)= f(x)= 在在
20、(-,+)(-,+)上是增函数上是增函数, , 又函数又函数y= axy= ax2 2-ax-1-ax-1的对称轴为的对称轴为x=1,x=1, 所以所以 解得解得- a0.- a0,f(2m+1)+f(1-m)0,则则m m的的 取值范围是取值范围是( () ) A.(-,-1)A.(-,-1)B.(-,-2)B.(-,-2) C.(-1,+)C.(-1,+)D.(-2,+)D.(-2,+) 【解析】【解析】选选D.D.因为因为f(x)=x|x|= f(x)=x|x|= 所以所以f(x)f(x)在在R R上是增函数上是增函数, ,且且f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x), 所以由所以
21、由f(2m+1)+f(1-m)0f(2m+1)+f(1-m)0得得,f(2m+1)f(m-1),f(2m+1)f(m-1),所以所以2m+1m-1,2m+1m-1,解得解得m-2,m-2, 所以所以m m的取值范围为的取值范围为(-2,+).(-2,+). 2 2 xx0 xx0 ， ， 2.2.定义域在定义域在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足对任意的满足对任意的x x1 1,x,x2 2R,R,且且x x1 1xx2 2, ,都有都有(x(x1 1-x-x2 2)f(x)f(x1 1)-)- f(xf(x2 2)0,)0,则有则有 ( () ) A.f(-2)f(1)f(3)A.f
22、(-2)f(1)f(3)B.f(1)f(-2)f(3)B.f(1)f(-2)f(3) C.f(3)f(-2)f(1)C.f(3)f(-2)f(1)D.f(3)f(1)f(-2)D.f(3)f(1)0,)0,当当x x1 1xx2 2时时,x,x1 1-x-x2 20,0,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即 f(xf(x1 1)f(x)xx2 2时时,x,x1 1-x-x2 20,0,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).可得函数可得函数f(x)f(x)是在是在R R上的增上的增 函数函数,
23、, 所以所以f(-2)f(1)f(3).f(-2)f(1)f(3). 3.3.已知函数已知函数f(x)= f(x)= 是定义在是定义在R R上的减函数上的减函数, ,则实数则实数a a的取值范的取值范 围是围是_._. 【解析】【解析】根据题意根据题意, ,函数函数f(x)= f(x)= 是是R R上的减函数上的减函数, , 必有必有 1,1,且且a-40,a-40 x0时时, ,恒有恒有f(x)1.f(x)1. (1)(1)求证求证:f(x):f(x)是增函数是增函数. . (2)(2)若若f(3)=4,f(3)=4,解不等式解不等式f(af(a2 2+a-5)2.+a-5)2. 【思路导引
24、】【思路导引】(1)(1)按照单调性的定义按照单调性的定义, ,构造构造f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1),),再判断符号再判断符号. . (2)(2)将将2 2化为化为f(xf(x0 0) )的形式的形式, ,再利用单调性解不等式再利用单调性解不等式. . 【解析】【解析】(1)(1)设设x x1 1,x,x2 2是任意两个实数是任意两个实数, , 且且x x1 1x0,0, 所以所以f(xf(x2 2-x-x1 1)1,f(x)1,f(x2 2)-f(x)-f(x1 1)=f(x)=f(x2 2-x-x1 1)+x)+x1 1)-f(x)-f(x1 1)=f(x)=f(x2 2
25、-x-x1 1)+f(x)+f(x1 1)-1-)-1- f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2-x-x1 1)-10,)-10, 即即f(xf(x2 2)f(x)f(x1 1),),所以所以f(x)f(x)是是R R上的增函数上的增函数. . (2)(2)因为因为m,nR,m,nR,不妨设不妨设m=n=1,m=n=1, 所以所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1,f(1+1)=f(1)+f(1)-1,即即f(2)=2f(1)-1,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)-f(2)=2f(1)-1,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)- 1+f(
26、1)-1=3f(1)-2=4,1+f(1)-1=3f(1)-2=4,所以所以f(1)=2.f(1)=2. 所以所以f(af(a2 2+a-5)f(1),+a-5)f(1),因为因为f(x)f(x)为增函数为增函数, , 所以所以a a2 2+a-51,+a-51,得得-3a2,-3a2, 即即a(-3,2).a(-3,2). 【解题策略】【解题策略】关于抽象函数的单调性证明关于抽象函数的单调性证明 (1)(1)证明抽象函数的单调性的根本还是单调性的定义证明抽象函数的单调性的根本还是单调性的定义, ,要围绕构造定义式展开思要围绕构造定义式展开思 维维. . (2)(2)构造定义式的依据是已知的抽
27、象函数的性质关系式构造定义式的依据是已知的抽象函数的性质关系式, ,需要灵活进行自变量的需要灵活进行自变量的 赋值、拆分、组合赋值、拆分、组合, ,直到构造出直到构造出f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2),),再利用已知条件展开化简再利用已知条件展开化简. . 【跟踪训练】【跟踪训练】若若f(x)f(x)的定义域为的定义域为(0,+),(0,+),当当0 x10 x1时时,f(x)0,f(x)0,x,y0, 满足满足f( ) =f(x)-f(y).f( ) =f(x)-f(y). (1)(1)证明函数证明函数f(x)f(x)是增函数是增函数. . (2)(2)若若f(6)=1,f(6
28、)=1,解不等式解不等式f(x+3)-f( )2.f(x+3)-f( )2. x y 1 3 【解析】【解析】(1)(1)因为当因为当0 x10 x1时时,f(x)0,f(x)0, x x1 1,x,x2 2(0,+),x(0,+),x1 1xx2 2, ,则则0 1,0 1, f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=f( )0,)=f( )0,所以所以f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),), 所以函数所以函数f(x)f(x)是增函数是增函数. . 1 2 x x 1 2 x x (2)(2)因为因为f(6)=1,f(6)=1,所以所以2=1+1=f(6)+f(6),2=1+1
29、=f(6)+f(6), 所以不等式所以不等式f(x+3)-f( )2,f(x+3)-f( )2, 等价为不等式等价为不等式f(x+3)-f( )f(6)+f(6).f(x+3)-f( )f(6)+f(6). 所以所以f(3x+9)-f(6)f(6),f(3x+9)-f(6)f(6), 即即f( )f(6),f( )f(6), 因为因为f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,所以所以 解得解得-3x9,-3x9,即不等式的解集为即不等式的解集为(-3,9).(-3,9). 1 3 1 3 x3 2 x3 0, 2 x3 6, 2 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1
30、.函数函数y=|x|-1y=|x|-1的减区间为的减区间为( () ) A.(0,+)A.(0,+)B.(-,0)B.(-,0) C.(-,-1)C.(-,-1)D.(-1,+)D.(-1,+) 【解析】【解析】选选B.B.当当x0 x0时时,y=|x|-1=x-1,y=|x|-1=x-1, 此时函数为增函数此时函数为增函数, , 当当x0 x1C.k1D.k1D.k0D.k-10时时, , 由由y= y= 可知可知, ,在区间在区间(-,0),(0,+)(-,0),(0,+)上是减函数上是减函数, ,不合题意不合题意; ; 当当k-10k-10时时, ,由由y= y= 可知可知, ,在区间在
31、区间(-,0),(0,+)(-,0),(0,+)上是增函数上是增函数, ,故故k1.k1. k1 x k1 x k1 x 4.4.若若f(x)f(x)是减函数是减函数, ,且且f(3x-2)f(3),f(3x-2)3,3x-23, 解得解得x .x . 答案答案: : 5 3 5 ( ,) 3 5.5.函数函数f(x)=2xf(x)=2x2 2-3|x|-3|x|的增区间是的增区间是_._. 【解析】【解析】函数函数f(x)=2xf(x)=2x2 2-3|x|= -3|x|= 的图象如图所示的图象如图所示, , 故它的增区间为故它的增区间为 答案答案: : 2 2 2x3x,x0 2x3x,x0 ， 33 0). 44 ， ， 33 0) 44 ， ，
