1、第6章幂函数、指数函数和对数函数 6.1幂函数 必备知识必备知识自主学习自主学习 1.1.幂函数的概念幂函数的概念 一般地一般地, ,我们把形如我们把形如_的函数称为幂函数的函数称为幂函数, ,其中其中_是自变量是自变量,_,_是常数是常数. . 导思导思 1.1.除了一次函数、二次函数、反比例函数外还有哪些常见函数除了一次函数、二次函数、反比例函数外还有哪些常见函数? ? 2.2.幂函数有哪些特征幂函数有哪些特征? ? y=xy=x x x 2.2.常见幂函数的图象与性质常见幂函数的图象与性质 解析式解析式y=xy=xy=xy=x2 2y=xy=x3 3 y= y= y= y= 图象图象 定
2、义域定义域 R RR RR R_ 值域值域 R R_R R_ 奇偶性奇偶性_函数函数_函数函数_函数函数_函数函数 _ 函数函数 x|x0 x|x00,+)0,+) 0,+)0,+)y|y0y|y00,+)0,+) 奇奇偶偶奇奇奇奇 非奇非偶非奇非偶 1 x 1 2 x 解析式解析式y=xy=xy=xy=x2 2y=xy=x3 3 y= y= y= y= 增区间增区间 _无无_ 减区间减区间无无_无无 _ _ 无无 定点定点 _ 1 x 1 2 x R R0,+)0,+)R R0,+)0,+) (-,0)(-,0) (-,0),(-,0), (0,+)(0,+) (1,1)(1,1) (1)(
3、1)本质本质: :幂函数的图象是函数的图形表示幂函数的图象是函数的图形表示, ,幂函数的性质是根据函数图象总结幂函数的性质是根据函数图象总结 得到的得到的. . (2)(2)应用应用: :求定义域求定义域; ;求值域求值域; ;比较大小比较大小; ;求单调区间求单调区间. . 【思考】【思考】 在区间在区间(0,+)(0,+)上上, ,幂函数有怎样的单调性幂函数有怎样的单调性? ? 提示提示: :幂函数在区间幂函数在区间(0,+)(0,+)上上, ,当当00时时,y=x,y=x 是增函数 是增函数; ;当当01,01,0cbaA.dcbaB.dcabB.dcab C.abcdC.abcdD.a
4、bdcD.abdc 【解析】【解析】选选C.C.在第一象限内在第一象限内,x=1,x=1的右侧部分的图象的右侧部分的图象, ,图象由下至上图象由下至上, ,幂指数增大幂指数增大, , 所以所以abcd.abcd. 3.3.已知幂函数已知幂函数f(x)=(mf(x)=(m2 2-2m+1) -2m+1) 的图象不过原点的图象不过原点, ,则则m m的值为的值为 ( () ) A.0A.0B.-1B.-1C.2C.2D.0D.0或或2 2 【解析】【解析】选选A.A.由幂函数定义可知由幂函数定义可知m m2 2-2m+1=1,-2m+1=1, 所以所以m=0m=0或或m=2;m=2; 当当m=0m
5、=0时时,f(x)=x,f(x)=x-2 -2, ,定义域为 定义域为(-,0)(0,+);(-,0)(0,+); 当当m=2m=2时时,f(x)=x,f(x)=x4 4定义域为定义域为R;R; 又因为又因为f(x)=(mf(x)=(m2 2-2m+1) -2m+1) 的图象不过原点的图象不过原点; ; 所以所以m m2 2+m-20,+m-20,所以所以m=0.m=0. 2 mm 2 x 2 mm 2 x 【解题策略】【解题策略】 解决幂函数图象问题应把握的两个原则解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)(1)依据图象高低判断幂指数大小依据图象高低判断幂指数大小, ,相关结论为相关结论为:
6、 :在在(0,1)(0,1)上上, ,指数越大指数越大, ,幂函数图幂函数图 象越靠近象越靠近x x轴轴( (简记为指大图低简记为指大图低););在在(1,+)(1,+)上上, ,指数越大指数越大, ,幂函数图象越远离幂函数图象越远离x x轴轴 ( (简记为指大图高简记为指大图高).). (2)(2)依据图象确定幂指数依据图象确定幂指数与与0,10,1的大小关系的大小关系, ,即根据幂函数在第一象限内的图即根据幂函数在第一象限内的图 象象( (类似于类似于y=xy=x-1 -1或 或y= y= 或或y=xy=x3 3) )来判断来判断. . 1 2 x 【补偿训练】【补偿训练】 在同一坐标系内
7、在同一坐标系内, ,函数函数y=xy=xa a(a0)(a0)和和y=ax- y=ax- 的图象可能是的图象可能是( () ) 1 a 【解析】【解析】选选C.C.选项选项A A中中, ,幂函数的指数幂函数的指数a0,a1,a1,则直线则直线y=ax- y=ax- 应为增函数应为增函数,B,B错误错误; ; 选项选项D D中中, ,幂函数的指数幂函数的指数a0,a0,- 0,直线直线y=ax- y=ax- 在在y y轴上的截距为正轴上的截距为正,D,D错误错误. . 1 a 1 a 1 a 1 a 类型三幂函数性质的综合应用类型三幂函数性质的综合应用( (数学抽象、逻辑推理数学抽象、逻辑推理)
8、 ) 角度角度1 1比较大小比较大小 【典例】【典例】比较下列各组中幂值的大小比较下列各组中幂值的大小: : (1)0.21(1)0.213 3,0.23,0.233 3;(2) ;(2) 【思路导引】【思路导引】构造幂函数构造幂函数, ,借助其单调性求解借助其单调性求解. . 11 22 1.2 ,0.9, 1.1. 【解析】【解析】(1)(1)因为函数因为函数y=xy=x3 3是增函数是增函数, ,且且0.210.23,0.210.23, 所以所以0.210.213 30.23 1.1,1.2 1.1,且且y= y= 在在0,+)0,+)上单调递增上单调递增, , 所以所以 即即 111
9、222 10 0.91.11.1 . 9 （） ， 10 9 1 2 x 111 222 10 1.21.1 9 （）， 11 22 1.20.91.1. 【变式探究】【变式探究】 把本例的各组数据更换如下把本例的各组数据更换如下, ,再比较其大小关系再比较其大小关系: : 【解析】【解析】(1)(1)因为幂函数因为幂函数y=xy=x0.5 0.5在 在0,+)0,+)上是单调递增的上是单调递增的, ,又又 所以所以 (2)(2)因为幂函数因为幂函数y=xy=x-1 -1在 在(-,0)(-,0)上是单调递减的上是单调递减的, ,又又 所以所以 0.50.511 2123 12. 5335 （
10、 ）（ ）与（ ）；（ ）（）与（） 21 53 ， 0.50.5 21 . 53 （ ） （ ） 23 35 ， 1 2 3 （） 1 3 . 5 （） 角度角度2 2幂函数性质的综合应用幂函数性质的综合应用 【典例】【典例】已知幂函数已知幂函数y=xy=x3m-9 3m-9(mN (mN* *) )的图象关于的图象关于y y轴对称且在轴对称且在(0,+)(0,+)上单调递减上单调递减, , 求满足求满足 的的a a的取值范围的取值范围. . 【思路导引】【思路导引】根据函数的图象关于根据函数的图象关于y y轴对称且在轴对称且在(0,+)(0,+)上单调递减及上单调递减及mNmN* *求出求
11、出 m m的值的值, ,代入不等式解不等式即可代入不等式解不等式即可, ,解不等式时注意幂函数的定义域解不等式时注意幂函数的定义域. . m 3 a1 （） m 3 32a （） 【解析】【解析】因为函数在因为函数在(0,+)(0,+)上单调递减上单调递减, , 所以所以3m-90,3m-90,解得解得m3.m3-2a0a+13-2a0或或3-2aa+103-2aa+10或或a+103-2a,a+103-2a,解得解得 或或a-1.a00时时,y=x,y=x 是增函数 是增函数; ;当当0 答案答案: : 3 2 2 （） 3 2 3. （） 3 2 x 23， 3 2 2 （） 3 2 3.
12、 （） 2.2.函数函数f(x)=xf(x)=x2 2(x0)(x0)的奇偶性为的奇偶性为 ( () ) A.A.奇函数奇函数 B.B.偶函数偶函数 C.C.既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 D.D.非奇非偶函数非奇非偶函数 【解析】【解析】选选D.D.因为函数因为函数f(x)=xf(x)=x2 2(x0)(x0)的定义域为的定义域为(-,0),(-,0),不关于原点对称不关于原点对称, , 所以函数所以函数f(x)=xf(x)=x2 2(x0)(x0)为非奇非偶函数为非奇非偶函数. . 3.3.已知幂函数已知幂函数f(x)=(mf(x)=(m2 2-3m+3)x-3m+3)xm+1
13、m+1为偶函数 为偶函数, ,则则m=m= ( () ) A.1A.1B.2B.2C.1C.1或或2 2D.3D.3 【解析】【解析】选选A.A.因为幂函数因为幂函数f(x)=(mf(x)=(m2 2-3m+3)x-3m+3)xm+1 m+1为偶函数 为偶函数, ,所以所以m m2 2-3m+3=1,-3m+3=1,即即m m2 2- - 3m+2=0,3m+2=0,解得解得m=1m=1或或m=2.m=2.当当m=1m=1时时, ,幂函数幂函数f(x)=xf(x)=x2 2为偶函数为偶函数, ,满足条件满足条件. .当当m=2m=2时时, ,幂幂 函数函数f(x)=xf(x)=x3 3为奇函数
14、为奇函数, ,不满足条件不满足条件. . 【补偿训练】【补偿训练】 已知幂函数已知幂函数f(x)= (mZ)f(x)= (mZ)的图象与的图象与x x轴轴,y,y轴都无交点轴都无交点, ,且关于原点对称且关于原点对称, ,则则 函数函数f(x)f(x)的解析式是的解析式是_._. 【解析】【解析】因为函数的图象与因为函数的图象与x x轴轴,y,y轴都无交点轴都无交点, , 所以所以m m2 2-10,-10,解得解得-1m1;-1m”或或“”)”) 【解析】【解析】因为因为y= y= 为为0,+)0,+)上的增函数上的增函数, , 且且2.32.4,2.32.4,所以所以 答案答案: : f(a-1)f(2-a)f(a-1)的实数的实数a a的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】(1)(1)由题得由题得 =8=8m=1m=1或或m=-2(m=-2(舍舍).). (2)(2)由题得由题得f(x)=f(x)=x x3 3, ,f(x)f(x)在在R R上为增函数上为增函数, , 由由f(2-a)f(a-1)f(2-a)f(a-1)可得可得2-aa-12-aa-1a .a . 2 mm 1 x 2 mm 1 2 3 2
