1、7.2.1任意角的三角函数(一) 必备知识必备知识自主学习自主学习 1.1.三角函数的定义三角函数的定义( (坐标法坐标法) ) (1)(1)在角在角的终边上异于原点的终边上异于原点, ,任取一点任取一点P(x,y),P(x,y), 它与原点的距离是它与原点的距离是r,r,则则r= = ,r= = ,根据三角函数定义根据三角函数定义 得出角得出角的三角函数的正弦、余弦、正切的三角函数的正弦、余弦、正切. . sin = =_,cos = =_,tan = =_.sin = =_,cos = =_,tan = =_. 导思导思 1.1.在平面直角坐标系中怎样定义三角函数在平面直角坐标系中怎样定义
2、三角函数? ? 2.2.怎样求特殊角的三角函数值怎样求特殊角的三角函数值? ? MP OP y r |op| 22 xy OM OP MP OM x r y x (2)(2)本质本质: :用坐标法定义三角函数用坐标法定义三角函数, ,是根据角终边上点的坐标是根据角终边上点的坐标, ,构造直角三角形构造直角三角形, , 将陌生内容与学生已掌握的初中知识结合将陌生内容与学生已掌握的初中知识结合, ,简单易行简单易行, ,便于学生理解、掌握便于学生理解、掌握. . (3)(3)应用应用: :适用于求任意角的三角函数值适用于求任意角的三角函数值, ,特别是弧度制条件下角的三角函数值特别是弧度制条件下角
3、的三角函数值. . 【思考】【思考】 初中学习的锐角三角函数的定义是什么初中学习的锐角三角函数的定义是什么? ? 提示提示: : 如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,A,B,C,A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,则则: : sin B= = ,sin B= = , cos B= = ,cos B= = , tan B= = .tan B= = . b c a c b a 对边 斜边 邻边 斜边 对边 邻边 2.2.三角函数的定义三角函数的定义( (单位圆法单位圆法) ) 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,设设是一个任意角是一个任意角, ,它的终边与单位圆
4、交于点它的终边与单位圆交于点P(x,y),P(x,y),那那 么么:sin =_;cos =_;tan =_(x0).:sin =_;cos =_;tan =_(x0). y x y yx x 【思考】【思考】 什么是单位圆什么是单位圆? ? 提示提示: :单位圆是指圆心在原点单位圆是指圆心在原点, ,半径为单位长度的圆半径为单位长度的圆. . 3.3.三角函数值的符号三角函数值的符号 (1)(1)图形表示图形表示: : (2)(2)记忆口诀记忆口诀: :一全正、二正弦、三正切、四余弦一全正、二正弦、三正切、四余弦. . 【思考】【思考】 三角函数值在各象限的符号由什么决定三角函数值在各象限的
5、符号由什么决定? ? 提示提示: :三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的. .从从 原点到角的终边上任意一点的距离原点到角的终边上任意一点的距离r r总是正值总是正值. .因此因此, ,三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号 由角由角的终边所在象限决定的终边所在象限决定. . 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)sin (1)sin 表示表示sin sin 与与的乘积的乘积. .( () ) (2)(2)已知已知是三角形的内角是三角形
6、的内角, ,则必有则必有cos 0.cos 0.( () ) (3)(3)终边落在终边落在y y轴上的角的正切函数值为轴上的角的正切函数值为0.0.( () ) 提示提示: :(1)(1).sin .sin 表示角表示角的正弦值的正弦值, ,是一个是一个“整体整体”. . (2)(2). .当当为钝角时为钝角时,cos 0.,cos 0,sin = 0,所以所以在第一、二象限或在第一、二象限或y y轴的非负半轴上轴的非负半轴上. . 又因为又因为cos =- 0,cos =- 0a0时时,r=5a,r=5a,角角在第二象限在第二象限, , sin = = = ,sin = = = , cos
7、= = =- ,cos = = =- , 所以所以2sin +cos = - =1.2sin +cos = - =1. 22 ( 3a)4a y r 4 5 4 5 x r 3 5 3 5 8 5 3 5 当当a0a0,m0,解得解得m= .m= . 6 3 222 6 2 2 1m 2 m 1m 6 3 2 2.2.已知角已知角的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为 (y0),(y0),则则 sin sin tan =_.tan =_. 【解析】【解析】因为因为的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为 , , 所以所以 +y+y2 2=1,=1,即即y y2 2= .= . 又因为
8、又因为y0,y0,cos 1910,cos 1910.0.0. (2)(2)正正; ;因为因为 3,4 , 52,3,4 , 50,cos 40,tan 50,cos 40,tan 50.tan 50. sin 0, tan 0, 2 3 2 3 2 【解题策略】【解题策略】 判断三角函数的符号常用的方法判断三角函数的符号常用的方法 (1)(1)确定角确定角: :根据题目给出条件根据题目给出条件, ,确定角所在的象限确定角所在的象限; ; (2)(2)定符号定符号: :根据角所在象限根据角所在象限, ,结合题目的具体特点结合题目的具体特点, ,最终确定符号最终确定符号. . 【跟踪训练】【跟踪
9、训练】 若若sin sin cos 0,cos 0,则则的终边在的终边在( () ) A.A.第一或第二象限第一或第二象限 B.B.第一或第三象限第一或第三象限 C.C.第一或第四象限第一或第四象限 D.D.第二或第四象限第二或第四象限 【解析】【解析】选选D.D.因为因为sin sin cos 0,cos 0,cos 0,cos 0或或sin 0;sin 0; 若若sin 0,cos 0,cos 0,则则的终边在第二象限的终边在第二象限, , 若若sin 0,sin 0,则则的终边在第四象限的终边在第四象限, , 综上综上,的终边在第二或第四象限的终边在第二或第四象限. . 类型三三角函数概
10、念的综合应用类型三三角函数概念的综合应用( (逻辑推理、数学抽象逻辑推理、数学抽象) ) 角度角度1 1三角函数概念的理解三角函数概念的理解 【典例】【典例】如图所示如图所示, ,在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,动点动点P,QP,Q从点从点A(1,0)A(1,0)出发在单位圆出发在单位圆 上运动上运动, ,点点P P按逆时针方向每秒钟转按逆时针方向每秒钟转 弧度弧度, ,点点Q Q按顺时针方向每秒钟转按顺时针方向每秒钟转 弧度弧度, , 则则P,QP,Q两点在第两点在第2 0192 019次相遇时次相遇时, ,点点P P的坐标是的坐标是( () ) A.(0,0)A.(0
11、,0)B.(0,1)B.(0,1) C.(-1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)D.(0,-1) 11 6 6 【思路导引】【思路导引】由由P,QP,Q两点相遇两点相遇2 0192 019次次, ,可求出两点的总路程可求出两点的总路程, ,根据两点的速度可根据两点的速度可 求出两点相遇求出两点相遇2 0192 019次时所用的时间次时所用的时间, ,进而可求出点进而可求出点P P所转的弧度所转的弧度, ,即可确定点即可确定点P P 的坐标的坐标. . 【解析】【解析】选选B.B.因为点因为点P P按逆时针方向每秒钟转按逆时针方向每秒钟转 弧度弧度, ,点点Q Q按顺时针方向每秒钟按顺时针方
12、向每秒钟 转转 弧度弧度, ,两点相遇两点相遇1 1次的路程是单位圆的周长即次的路程是单位圆的周长即2,2,所以两点相遇一次用了所以两点相遇一次用了1 1 秒秒, ,因此当两点相遇因此当两点相遇2 0192 019次时次时, ,共用了共用了2 0192 019秒秒, ,所以此时点所以此时点P P所转过的角度所转过的角度 为为 . .由终边相同的角的概念可知由终边相同的角的概念可知, , 与与 的终边相同的终边相同, , 因为因为 的终边在的终边在y y轴的非负半轴上轴的非负半轴上, ,又因为又因为y y轴的非负半轴与单位圆的交点为轴的非负半轴与单位圆的交点为 (0,1),(0,1),故点故点P
13、 P的坐标为的坐标为(0,1).(0,1). 11 6 6 2019673 336 622 2019 6 2 2 【变式探究】【变式探究】 本例中本例中, ,若条件不变若条件不变, ,求求P,QP,Q两点在第两点在第2 0212 021次相遇时点次相遇时点P P的坐标呢的坐标呢? ? 【解析】【解析】根据典例知根据典例知,P,Q,P,Q两点相遇两点相遇2 0212 021次时次时, ,点点P P转过转过 , ,所以所以 与与 终边相同终边相同. .易知易知 与单位圆的交点为与单位圆的交点为 , , 即此时点即此时点P P的坐标为的坐标为 . . 20215 336 66 2021 6 5 6
14、5 6 3 1 (, ) 22 3 1 (, ) 22 角度角度2 2三角函数概念的综合应用三角函数概念的综合应用 【典例】【典例】已知角已知角的终边在直线的终边在直线y=-3xy=-3x上上, ,求求10sin + 10sin + 的值的值. . 【思路导引】【思路导引】已知角已知角的终边在一条直线上的终边在一条直线上, ,需要先讨论角的终边在直线的哪需要先讨论角的终边在直线的哪 一部分一部分, ,再在射线上任取异于原点的一点再在射线上任取异于原点的一点, ,根据三角函数的概念求解根据三角函数的概念求解. . 3 cos 【解析】【解析】由题意知由题意知,cos 0.,cos 0. 设角设角
15、的终边上任一点为的终边上任一点为P(k,-3k)(k0),P(k,-3k)(k0),则则 x=k,y=-3k,r= = |k|.x=k,y=-3k,r= = |k|. (1)(1)当当k0k0时时,r= k,r= k,是第四象限角是第四象限角, , sin = sin = 所以所以10sin + =1010sin + =10 +3 +3 =-3 +3 =0.=-3 +3 =0. 22 k( 3k) 10 10 y3k3 101r10k ,10, r10cos xk10k 3 cos 3 10 ) 10 （ 1010 10 (2)(2)当当k0k0)y=-2x(x0) 上上, ,则则sin =s
16、in =( () ) A. A. B.- B.- C. C. D.- D.- 【解析】【解析】选选D.D.角角的顶点在原点的顶点在原点, ,始边与始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合, ,终边落在射线终边落在射线y=y= -2x(x0)-2x(x0)上上, ,在在的终边上任意取一点的终边上任意取一点(1,-2),(1,-2),则则sin = =- .sin = =- . 5 5 5 5 2 5 5 2 5 5 2 14 2 5 5 2.2.圆周运动是一种常见的周期性变化现象圆周运动是一种常见的周期性变化现象, ,可表述为可表述为: :质点在以某点为圆心半径质点在以某点为圆心半径 为为r
17、 r的圆周上的运动叫的圆周上的运动叫“圆周运动圆周运动”. .如图所示如图所示, ,圆圆O O上的点以点上的点以点A A为起点沿逆时为起点沿逆时 针方向旋转到点针方向旋转到点P,P,若连接若连接OA,OP,OA,OP,形成一个角形成一个角,当角当角= = 时时, ,则则cos =cos = ( () ) A. A. B. B. C. C. D.1D.1 7 3 1 2 2 2 3 2 【解析】【解析】选选A.A.因为因为 =2+ ,=2+ ,所以所以 与与 终边相同终边相同, ,三角函数值相等三角函数值相等; ;所以所以 cos =cos =cos = .cos =cos =cos = . 7
18、 3 3 7 3 3 7 3 3 1 2 【补偿训练】【补偿训练】 点点A(x,y)A(x,y)在圆在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上沿逆时针方向匀速旋转上沿逆时针方向匀速旋转, ,每秒旋转每秒旋转弧度弧度, ,已知已知1 1秒时秒时, ,点点 A A的坐标为的坐标为(2,0),(2,0),则则3 3秒时秒时, ,点点A A的坐标为的坐标为 ( () ) A.(2cos 2,2sin 2)A.(2cos 2,2sin 2) B.(2cos ,2sin )B.(2cos ,2sin ) C.(cos 2,sin 2)C.(cos 2,sin 2) D.(4cos ,4sin )D.(4co
19、s ,4sin ) 【解析】【解析】选选A.A.由由1 1秒到秒到3 3秒秒, ,点点A A旋转的角度为旋转的角度为2,2, 又又OA=2,OA=2,所以点所以点A A的坐标为的坐标为(2cos 2,2sin 2).(2cos 2,2sin 2). 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.已知角已知角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点 , ,则则sin sin 的值为的值为( () ) A.- A.- B.- B.- C. C. D. D. 【解析】【解析】选选B.sin = =- .B.sin = =- . 31 22 （-，- ） 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1
20、 2 1 1 2 2.2.已知角已知角的终边经过点的终边经过点(-4,3),(-4,3),则则tan tan 等于等于 ( () ) A.- A.- B.- B.- C. C. D.- D.- 【解析】【解析】选选D.D.由题意可知由题意可知x=-4,y=3,x=-4,y=3,所以所以tan = =- .tan = =- . 3 5 4 5 3 4 3 4 y x 3 4 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编)(2020)(2020长春高一检测长春高一检测) )若若为第二象限角为第二象限角, ,则下列则下列 结论一定成立的是结论一定成立的是( () ) A.sin 0A.
21、sin 0B.cos 0B.cos 0 C.tan 0C.tan 0D.sin cos 0D.sin cos 0 【解析解析】选选C.C.因为因为为第二象限角为第二象限角, , 所以所以 +2k+2k,kZ,+2k+2k,kZ, 则则 +k +k,kZ,+k 0.tan 0. 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4.4.若角若角的终边落在的终边落在y=-xy=-x上上, ,则则tan tan 等于等于( () ) A.-1A.-1B.1B.1 C.-1C.-1或或1 1D.D.不能确定不能确定 【解析】【解析】选选A.A.设设P(a,-a)P(a,-a)是角是角终边上任意一点终边上任意一点
22、, ,若若a0,Pa0,P点在第四象限点在第四象限, , tan = =-1,tan = =-1,若若a0,Pa”或或“”):”): (1)sin 328(1)sin 328_0;(2)cos _0;(3)tan _0._0;(2)cos _0;(3)tan _0. 【解析解析】(1)(1)因为因为270270328328360360, ,所以所以328328在第四象限在第四象限, ,所以所以sin 328sin 3280.0. (2)(2)因为因为 , ,所以所以 在第三象限在第三象限, , 所以所以cos 0.cos 0. (3)(3)因为因为 , ,所以所以 在第二象限在第二象限, , 所以所以tan 0.tan 0. 答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3) 5 4 6 7 5 4 5 4 5 4 6 7 6 7 6 7 1 2 3 2
