1、1 1.2.4二面角二面角 课后篇巩固提升 基础达标练 1.已知 ABCD 是正方形,E 是 AB 的中点,将DAE 和CBE 分别沿 DE,CE 折起,使 AE 与 BE 重合,A,B 两点重合后记为点 P,那么二面角 P-CD-E 的大小为() A.30B.45C.60D.90 答案 A 2.如图,设 AB 为圆锥 PO 的底面直径,PA 为母线,点 C 在底面圆周上,若PAB 是边长为 2 的正三角形, 且 COAB,则二面角 P-AC-B 的正弦值是() A. 6B. 42 7 C. 7 7 D. 7 解析 如图,取 AC 的中点 D,连接 OD,PD, PO底面,POAC, 2 OA
2、=OC,D 为 AC 的中点,ODAC, 又 POOD=O,AC平面 POD,则 ACPD, PDO 为二面角 P-AC-B 的平面角. PAB 是边长为 2 的正三角形, PO= 3,OA=OC=1,OD= 2 2 ,则 PD= ( 3)2+ ( 2 2 ) 2 ? 14 2 . sinPDO=PO PD ? 3 14 2 ? 42 7 . 故选 B. 答案 B 3.正方形 ABCD 所在平面外一点 P,PA平面 ABCD,若 PA=AB,则平面 PAB 与平面 PCD 所成的角为 () A.30B.45C.60D.90 解析如图所示,建立空间直角坐标系,设 PA=AB=1, 则 A(0,0
3、,0),D(0,1,0),P(0,0,1). 于是? ? ?=(0,1,0),取 PD 的中点 E,则 E 0,1 2, 1 2 , ? ? ?= 0,1 2 , 1 2 ,易知? ? ?是平面 PAB 的法向量,? ?是平面 PCD 的法向量, cos= 2 2 , 平面 PAB 与平面 PCD 所成的角为 45. 3 答案 B 4.请根据所给的图形,把空白之处填写完整. (1)直线与平面平行的性质定理(请用符号语言作答). 如图,已知:a, 求证:. (2)平面与平面垂直的性质定理的证明. 如图,已知:,ABCD=B,=CD, 求证:AB. 证明:在内引直线,垂足为 B,则是二面角的平面角
4、,由,知,又 ABCD,BE 和 CD是内的两条直线,所以 AB. 解(1)已知:a,a,=b, 求证:ab. 故答案为 a,=b;ab. (2)如图,已知:,ABCD=B, =CD,AB,ABCD, 求证:AB. 证明:在内引直线 BECD,垂足为 B, 则ABE 是二面角-CD-的平面角, 由,知 ABBE,又 ABCD, 4 BE 和 CD 是内的两条相交直线,所以 AB. 故答案为 AB,ABCD,BECD,ABE,-CD-,ABBE,相交. 5.已知正ABC 与正BCD 所在平面垂直,则二面角 A-BD-C 的正弦值为. 解析取 BC 中点 O,连接 AO,DO,建立如图所示的空间直
5、角坐标系. 设 BC=1,则 A 0,0, 3 2 ,B 0,-1 2,0 ,D 3 2 ,0,0 . 所以? ? ?= 0,0, 3 2 , ? ? ?= 0,1 2, 3 2 ,? ? ?= 3 2 , 1 2,0 . 由于? ? ?= 0,0, 3 2 为平面 BCD 的一个法向量, 设平面 ABD 的法向量为 n=(x,y,z), 则 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0,所以 1 2 ? + 3 2 ? ? 0, 3 2 ? + 1 2? ? 0, 取 x=1,则 y=- 3,z=1,所以 n=(1,- 3,1), 所以 cos= 5 5 ,所以 sin=2 5 5. 答案2 5
6、 5 6.在空间中,已知平面过(3,0,0)和(0,4,0)及 z 轴上一点(0,0,a)(a0),如果平面与平面 xOy 所成的角为 45,则 a=. 5 解析平面 xOy 的法向量 n=(0,0,1),设平面的法向量为 u=(x,y,z), 则 -3? + 4? ? 0, -3? + ? ? 0, 即 3x=4y=az,取 z=1, 则 u= ? 3, ? 4,1 . 而 cos= 1 ?2 9 +?2 16+1 ? 2 2 ,又a0, a=12 5 . 答案12 5 7. 如图所示,已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且 PA平面 ABCD,PA=AD=AC,点 F 为
7、 PC 的 中点,求二面角 C-BF-D 的正切值. 解如图所示,设 AC 与 BD 交于 O, 连接 OF,以 O为坐标原点,OB,OC,OF 所在直线分别为 x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz. 6 设 PA=AD=AC=1,则 BD= 3, 所以 O(0,0,0),B 3 2 ,0,0 ,F 0,0,1 2 ,C 0,1 2,0 ,? ? ?= 0,1 2,0 ,易知? ? ?为平面 BDF 的一个法向量. 由? ? ?= - 3 2 , 1 2,0 ,? ? ?= 3 2 ,0,-1 2 ,可得平面 BCF 的一个法向量为 n=(1, 3, 3),所 以 cos= 21
8、7 ,sin=2 7 7 ,所以 tan=2 3 3 . 8. 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,DAB=60,AB=2AD,PD底面 ABCD. (1)证明:PABD; (2)设 PD=AD,求二面角 A - PB - C 的余弦值. (1)证明因为DAB=60,AB=2AD,由余弦定理得 BD= 3AD. 从而 BD2+AD2=AB2,故 BDAD. 又 PD底面 ABCD,可得 BDPD, 所以 BD平面 PAD.故 PABD. (2)解如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz. 则 A(1
9、,0,0),B(0, 3,0),C(-1, 3,0),P(0,0,1). ? ? ?=(-1, 3,0),? ?=(0, 3,-1),? ?=(-1,0,0). 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z), 7 则 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0, 即 -? +3? ? 0, 3?-? ? 0, 因此可取 n=( 3,1, 3). 设平面 PBC 的法向量为 m=(a,b,c),则 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0, 即 3?-? ? 0, -? ? 0, 可取 m=(0,-1,- 3),cos= -4 2 7=- 2 7 7 . 由图形知二面角 A -PB -C 大小为
10、钝角, 故二面角 A -PB -C 的余弦值为-2 7 7 . 9. 正方体 ABCD-ABCD的棱长等于 2,E,F 分别是 BD,AC 的中点.求: (1)直线 AB和平面 ACD所成角的正弦值; (2)二面角 B-CD-A 的余弦值. 解如图建立空间直角坐标系 Dxyz, 正方体的棱长等于 2,E,F 分别是 BD,AC 的中点, A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,2),B(2,2,2),E(1,1,2),F(1,1,0). 8 (1)? ?=(-2,0,2),? ?=(-2,2,0),? ?=(0,2,2),设 n=(x,y,z)是平面 ACD的一个法向
11、量, 则由 ? ? ? 0, ? ? ? ? 0, (?,?,?)(-2,0,2) ? 0, (?,?,?)(-2,2,0) ? 0, ? ? ?, ? ? ?, 取 x=1,得平面 ACD的一个法向量 n=(1,1,1), 设直线 AB和平面 ACD所成角的大小为,则 sin =|? ?| |?|? ?| ? |(1,1,1)(0,2,2)| 3 8 ? 6 3 , 直线 AB和平面 ACD所成角的正弦值是 6 3 . (2)? ?=(2,2,0),?=(0,2,-2), 设 m=(x0,y0,z0)是平面 BCD的一个法向量, 则由 ? ? ? 0, ? ? ? 0 得 ?0? -?0,
12、?0? ?0, 取 y0=1 得平面 BCD的一个法向量 m=(-1,1,1), 由 cos = ? |?|?| ? (1,1,1)(-1,1,1) 3 3 ? 1 3, 由图形知二面角 B-CD-A 的大小为锐角. 故二面角 B-CD-A 的余弦值是1 3. 能力提升练 1.二面角的棱上有 A,B 两点,直线 AC,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于 AB.已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 17,则该二面角的大小为() A.150B.45C.60D.120 解析由条件知,? ? ? ?=0,? ? ?=0, ? ? ? ? ? ? + ? ? ? + ? ? ?.
13、| ? ?|2=|? ?|2+|? ?|2+|? ?|2+2? ? ?+2? ? ?+2? ? ? 9 =62+42+82+268cos =(2 17)2, cos=-1 2,即=120, 二面角的大小为 60,故选 C. 答案 C 2.设三棱锥 V-ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱 VA 上的点(不含端点).记直线 PB 与直线 AC 所成的角为,直线 PB 与平面 ABC 所成的角为,二面角 P-AC-B 的平面角为,则() A.,B., C.,D.,因为 tan =? ? ? ? ?=tan ,所以.故选 B. 答案 B 3.如图,将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使
14、得 C 点至 C,E 点在线段 AC上,若二面角 A-BD-E 与二面 角 E-BD-C的大小分别为 30和 45,则? ?=( ) 10 A.1 2 B. 6 6 C. 2 2 D. 6 3 解析取 BD 的中点 O,连接 AO,EO,C O, 菱形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得 C 点至 C,E 点在线段 AC上, COBD,AOBD,OC=OA, BD平面 AOC, EOBD, 二面角 A-BD-E 与二面角 E-BD-C的大小分别为 30和 45, AOE=30,EOC=45, OC=OA,OCE=OAE, 由正弦定理得 ? sin? ? ? sin?, ? sin? ? ?
15、sin?, ? sin? ? ? sin?, ? ? ? sin30 sin45 ? 1 2 2 2 ? 2 2 . 故选 C. 11 答案 C 4.如图所示,将边长为 a 的正三角形 ABC,沿 BC 边上的高线 AD 将ABC 折起.若折起后 B,C间距离为 ? 2,则二面角 B-AD-C的大小为 . 答案 60 5.如图,在矩形 ABCD 中,E 为线段 BC 上一动点,现将ABE 沿 AE 折起得到ABE,当二面角 B-AE-D 的平面角为 120,点 B在平面 ABC 上的投影为 K,当 E 从 B 运动到 C,则点 K 所形成轨迹 是. 解析过 K 作 KOAE,连接 OB, 二面
16、角 B-AE-D 的平面角为 120, BOK=60, KO=1 2BO, 从而原问题就转化为 BOAE,K 为 BO 中点, 求 K 的轨迹长度,如下图, BOAE,O 在以 AB为直径的圆上,取 AB中点 J,则 JKBK, 所以 K点的轨迹是以 BJ 为直径的圆上的一段弧. 12 答案一段圆弧 6.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC底面 ABCD,四边形 ABCD 是直角梯形,ABAD,AB CD,AB=2AD=2CD=2,E 是 PB 的中点. 若二面角 P-AC-E 的余弦值为 3 3 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 解如图,作 CFDA,交 AB 于点 F,以
17、 C 为原点,? ? ?,? ?,? ?分别为 x轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直 角坐标系, 则 C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0). 设 P(0,0,a)(a0),则 E 1 2,- 1 2 , ? 2 , ? ? ?=(1,1,0),? ?=(0,0,a),? ?= 1 2,- 1 2, ? 2 , 取 m=(1,-1,0),则 m? ? ?=m? ?=0,所以 m 为平面 PAC 的一个法向量. 设 n=(x,y,z)为平面 EAC 的一个法向量,则 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0, 即 ? + ? ? 0, ?-? + ? ? 0,取 x=a, 可得
18、 n=(a,-a,-2), 依题意,|cos|=|?| |?|?| ? 2? 2 2?2+4 ? 3 3 , 13 则 a=1(负值舍去). 于是 n=(1,-1,-2),? ? ?=(1,1,-1). 设直线 PA 与平面 EAC 所成的角为, 则 sin =|cos|= 2 3 , 即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 2 3 . 7. 如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,平面 ABEF 为正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角 D- AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60. (1)证明:平面 ABEF平面 EFDC; (2)求二面角 E-BC-A
19、的余弦值. (1)证明由已知可得 AFDF,AFFE,所以 AF平面 EFDC,又 AF平面 ABEF,故平面 ABEF平面 EFDC. (2)解过 D 作 DGEF,垂足为 G,由(1)知 DG平面 ABEF.以 G 为坐标原点,? ? ?的方向为 x 轴正方 向,|? ? ?|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 Gxyz.由(1)知DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角, 故DFE=60,则 DF=2,DG= 3, 可得 A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, 3). 由已知 ABEF,所以 AB平面 EFDC,又平面 ABCD平面 EFDC=CD,故
20、 ABCD,CDEF,由 BEAF,可得 BE平面 EFDC, 14 所以CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角,CEF=60, 从而可得 C(-2,0, 3). 所以? ? ?=(1,0, 3),? ?=(0,4,0),? ?=(-3,-4, 3),? ?=(-4,0,0). 设 n=(x,y,z)是平面 BCE 的法向量,则 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0, 即 ? +3? ? 0, 4? ? 0, 所以可取 n=(3,0,- 3).设 m=(x1,y1,z1)是平面 ABCD 的法向量,则 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0. 同理可取 m=(0, 3,4),则 cos
21、= ? |?|?|=- 2 19 19 . 由图形知二面角 E-BC-A 为钝角, 故二面角 E-BC-A 的余弦值为-2 19 19 . 8. 如图,在四棱锥 E-ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,BE=BC,AEBE,M 为 CE 上一点,且 BM面 ACE. (1)求证:AEBC; (2)若点 N 为线段 AB 的中点,求证:MN面 ADE; (3)若 BE=4,CE=4 2,且二面角 A-BC-E 的大小为 45,求三棱锥 C-ABE 的体积. (1)证明BM平面 ACE,AE平面 ACE,BMAE. AEBE,BMBE=B, AE平面 BCE. BC平面 BCE, 15
22、AEBC. (2)证明取 DE 中点 P,连接 PM,AP, BC=BE,BMAE, M 为 CE 的中点, MP1 2DCAN,且 MP=AN, APMN 为平行四边形, MNAP. MN平面 ADE,AP平面 ADE, MN平面 ADE. (3)解由 BE=BC=4,CE=4 2得 BCBE. BCAE,AEBE=E, BC平面 ABE. ABE 为二面角 A-BC-E 的平面角. ABE=45.AE=BE=4. 三棱锥 C-ABE 的体积1 3 1 24 24=32 3 . 9. 16 如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形,点 E 在棱 AA1上,BEEC1
23、. (1)证明:BE平面 EB1C1; (2)若 AE=A1E,求二面角 B-EC-C1的正弦值. (1)证明由已知得,B1C1平面 ABB1A1,BE平面 ABB1A1,故 B1C1BE.又 BEEC1,所以 BE平面 EB1C1. (2)解由(1)知BEB1=90.由题设知 RtABERtA1B1E,所以AEB=45, 故 AE=AB,AA1=2AB. 以 D 为坐标原点,? ? ?的方向为 x轴正方向,|? ?|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz, 则 C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),? ? ?=(1,0,0),? ?=(1,-1
24、,1),1?=(0,0,2). 设平面 EBC 的法向量为 n=(x,y,z),则 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0, 即 ? ? 0, ?-? + ? ? 0, 所以可取 n=(0,-1,-1). 设平面 ECC1的法向量为 m=(x,y,z),则 17 1 ? ? 0, ? ? ? ? 0, 即 2? ? 0, ?-? + ? ? 0, 所以可取 m=(1,1,0). 于是 cos= ? |?|?|=- 1 2. 所以,二面角 B-EC-C1的正弦值为 3 2 . 10.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D 中,已知上下两底面为正方形,且边长均为 1,侧棱 AA1=2,E 为
25、BC 中 点,F 为 CD 中点,G 为 BB1上一个动点. (1)确定 G 点的位置,使得 D1E平面 AFG; (2)当 D1E平面 AFG 时,求二面角 G-AF-E 的平面角的余弦值. 解(1)如图, 分别以 DA,DC,DD1所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz, 则 D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2). 因为 E为 BC 中点,F 为 CD 中点,所以 E 1 2,1,0 ,F 0, 1 2,0 . 由题意得 D1EAF,D1EAG,设 G(1,1,t). 18 又1? ?= 1 2,1,-2 ,? ? ?=
26、 -1,1 2,0 ,? ? ?=(0,1,t). 因为 D1E平面 AFG,则 1? ? ? ? 0, 1? ? ? ? 0, 得 1-2t=0,t=1 2.BG= 1 2, 即 G 为 BB1的四等分点. (2)由题意知,平面 AFE 的一个法向量为 m=(0,0,1), 设平面 AFG 的法向量 n=(x,y,z). 则 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0, 得 -? + 1 2? ? 0, ? + 1 2? ? 0, 取 x=-1,得 n=(-1,-2,4). cos= ? |?|?| ? 4 21 21 . 由图形知二面角 G-AF-E 的大小为锐角. 二面角 G-AF-E 的
27、平面角的余弦值为4 21 21 . 素养培优练 1. 如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,直线 PC平面 ABC,E,F 分别是 PA,PC 的中点. (1)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明; 19 (2)设(1)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D,且点 Q 满足 ? ? ? 1 2? ? ?,记直线 PQ 与平面 ABC 所成的 角为,异面直线 PQ 与 EF 所成的角为,二面角 E-l-C 的大小为,求证:sin =sin sin . (1)解直线 l平面 PAC,证明如下: 连接
28、 EF,因为 E,F 分别是 PA,PC 的中点, 所以 EFAC. 又 EF平面 ABC,且 AC平面 ABC, 所以 EF平面 ABC. 而 EF平面 BEF,且平面 BEF平面 ABC=l,所以 EFl. 因为 l平面 PAC,EF平面 PAC, 所以直线 l平面 PAC. (2)证明如图,由 ? ? ? 1 2? ? ?,作 DQCP,且 DQ=1 2CP. 连接 PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交线 l 即为直线 BD. 以点 C为原点,向量? ? ?,? ?,? ?所在直线分别为 x、y、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设 CA=a,CB=b,CP=2c,则有 C(
29、0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),E 1 2?,0,? ,F(0,0,c). 于是? ? ? ? 1 2?,0,0 ,? ? ?=(-a,-b,c),? ?=(0,-b,c), 所以 cos = |? ? ? ?| |? ? ?|? ? | ? a a2+b2+c2 , 20 从而 sin = 1-cos2? ? ?2+?2 ?2+?2+?2 . 又取平面 ABC 的一个法向量为 m=(0,0,1),可得 sin = |? ? ?| |?|? ? | ? ? ?2+?2+?2 , 设平面 BEF 的一个法向量为 n=(x,y,z), 所以由
30、 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0,可得 1 2? ? 0, -? + ? ? 0. 取 n=(0,c,b). 于是|cos |= |?| |?|?| ? ? ?2+?2 , 从而 sin = 1-cos2? ? ? ?2+?2 . 故 sin sin = ?2+?2 ?2+?2+?2 ? ?2+?2 ? ? ?2+?2+?2 =sin ,即 sin =sin sin . 2.图 1 是由矩形 ADEB,RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形,其中 AB=1,BE=BF=2, FBC=60.将其沿 AB,BC 折起使得 BE 与 BF 重合,连接 DG,如图 2. (1)证明
31、:图 2 中的 A,C,G,D 四点共面,且平面 ABC平面 BCGE; (2)求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小. (1)证明由已知得 ADBE,CGBE,所以 ADCG, 故 AD,CG 确定一个平面,从而 A,C,G,D 四点共面. 由已知得 ABBE,ABBC,故 AB平面 BCGE. 又因为 AB平面 ABC, 21 所以平面 ABC平面 BCGE. (2)解作 EHBC,垂足为 H. 因为 EH平面 BCGE,平面 BCGE平面 ABC,所以 EH平面 ABC. 由已知,菱形 BCGE 的边长为 2,EBC=60,可求得 BH=1,EH= 3. 以 H 为坐标原点,? ? ?的方向为 x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz, 则 A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0, 3),? ? ?=(1,0, 3),? ?=(2,-1,0). 设平面 ACGD 的法向量为 n=(x,y,z), 则 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0, 即 ? +3? ? 0, 2?-? ? 0. 所以可取 n=(3,6,- 3). 又平面 BCGE 的法向量可取为 m=(0,1,0), 所以 cos= ? |?|?| ? 3 2 . 由图形知二面角 B-CG-A 大小为锐角. 因此二面角 B-CG-A 的大小为 30.
