1、-1- 11.2平面的基本事实与推论 -2- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习 -3- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 一、点、线、面之间的位置关系及表示 1.思考 (1)“直线l不在平面内”就是说“直线l与平面平行”对吗? 提示:不对,直线l不在平面内说明直线l与平面平行或者直线l与平 面相交. (2)若Aa,a,是否可以推出A? 提示:根据直线在平面内定义可知,若Aa,a,则A. -4- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 2.填空 -5- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习
2、课堂篇探究学习课前篇自主预习 -6- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 3.做一做 如图所示,平面ABEF记作平面,平面ABCD记作平面,根据图形填 写: (1)A,B,E,C,D. (2)=AB. (3)A,B,C,D,E,F. (4)AB,AB,CD,CD,BF,BF. -7- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 二、平面的基本性质 1.思考 (1)经过空间中的三点,能作出几个平面? 提示:当三点共线时,能作出无数个平面,当三点不共线时,只能过该 三点作出唯一的平面. (2)两个平面的交线可能是一条线段吗? 提示
3、:不可能.由公理3知,两个平面的交线是一条直线. -8- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 2. -9- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 3.做一做 (1)如果直线a平面,直线b平面,Ma,Nb,且Ml,Nl,那么( ) A.l B.lC.l=M D.l=N 解析:因为Ma,Nb,a,b,所以M,N,根据基本性质1可知l. 故选A. 答案:A (2)若两个不重合的平面有公共点,则公共点有( ) A.1个 B.2个 C.1个或无数个 D.无数个且在同一条直线上 解析:利用基本性质3可知若两个平面有一个公共点,则它们
4、就一定 有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个 在同一直线上的交点. 答案:D -10- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 (3)已知直线m平面,Pm,Qm,则() A.P,QB.P,Q C.P,QD.Q 解析:Qm,m,Q. Pm,有可能P,也可能有P. 答案:D -11- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 三、平面基本性质的推论 1.思考 (1)对于基本性质2及平面基本性质的三个推论你是怎样理解的? 提示:基本性质2和平面基本性质的三个推论可作为确定平面的依 据,还可作为判定两个平面重合的依
5、据.“确定”和“有且只有一个”是 同义词.“有”说明存在性,“只有一个”说明唯一性.数学中的“只有一 个”并不保证符合条件的图形一定存在,所以不能用“只有一个”来 代替“有且只有一个”.符合某一条件的图形既存在,而且只能有一个, 就说明这个图形是完全确定的. (2)经过空间任意三点能确定一个平面吗? 提示:不一定.只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面. -12- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 2.填空 -13- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 3.做一做 (1)三点可确定平面的个数是() A.0B.1 C
6、.2D.1或无数个 解析:当这三点共线时,可确定无数个平面;当这三点不共线时,可确 定一个平面. 答案:D (2)三条直线两两相交,可确定平面的个数是. 解析:当三条直线共点时可确定三个或一个平面,当三条直线不共 点时可确定一个平面. 答案:1或3 -14- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 文字、图形、符号三种语言的转化文字、图形、符号三种语言的转化 例1用符号语言表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面,相交于一点P,且平面与平面交于PA,平面与平 面交于PB,平面与平面交于PC; 解:符号语言表示:
7、=P,=PA,=PB,=PC. 图形表示:如图所示. (2)平面ABD与平面BCD交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC. 解:符号语言表示:平面ABD平面BCD=BD,平面ABC平面 ADC=AC. 图形表示:如图所示. -15- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 变式训练1(1)若点M在直线a上,a在平面内,则M,a,间的关系可记 为. 解:Ma,a,M (2)如图,填入相应的符号:A平面ABC,A平面 BCD,BD平面ABC,平面ABC平面ACD=. 解:AC -16- 11.2平面的基本事实与推论
8、 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 (3)根据下列条件画出图形:平面平面=MN,ABC的三个顶点 满足条件AMN,B,BMN,C,CMN. 解:如图所示. -17- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 证明多线共面问题证明多线共面问题 例2求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四 条直线共面. 证明:如图所示, 因为ab,可知直线a与b确定一个平面, 设为. 因为la=A,lb=B,所以Aa,Bb,则A,B. 又因为Al,Bl,所以由公
9、理1可知l. 因为bc,所以由公理2可知直线b与c确定一个平面,同理可知l. 因为平面和平面都包含着直线b与l,且lb=B,而由公理2的推论2 知：经过两条相交直线,有且只有一个平面,所以平面与平面重 合,所以直线a,b,c和l共面. -18- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 变式训练2过直线l外一点P,引两条直线PA,PB和直线l分别交于A,B 两点,求证:三条直线PA,PB,l共面. 证明:如图所示,PAPB=P, 过PA,PB确定一个平面.A,B. Al,Bl,l. PA,PB,l共面. -19-
10、11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 证明多点共线问题证明多点共线问题 例3已知ABC在平面外,AB=P,AC=R,BC=Q,如图.求 证:P,Q,R三点共线. 证明:方法一：AB=P,PAB,P平面. 又AB平面ABC,P平面ABC. 由基本事实3可知: 点P在平面ABC与平面的交线上, 同理可证Q,R也在平面ABC与平面的交线上. P,Q,R三点共线. -20- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 方法二:APAR=A,
11、直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB=P,AC=R, 平面APR平面=PR. B面APR,C面APR,BC面APR. 又Q面APR,Q, QPR.P,Q,R三点共线. -21- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 反思感悟证明:点线共面的常用方法 (1)归一法:先由部分元素确定一个平面,再证其余元素也在这个平 面内,其中第一步要应用基本事实1,第二步要应用基本事实2. (2)重合法:应用基本事实2,先由部分元素分别确定平面,然后应用 基本事1证明这几个平面重合. -22- 11.2平面的基本事实与推论
12、课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 变式训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面 BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:C1,O,M三点共线. 证明:由AA1CC1,则AA1与CC1确定一个平面A1C. A1C平面A1C,而OA1C,O平面A1C. 又A1C平面BC1D=O, O平面BC1D. 点O在平面BC1D与平面A1C的交线上. 又ACBD=M,M平面BC1D且M平面A1C. 又C1平面BC1D且C1平面A1C, 平面A1C平面BC1D=C1M, OC1M,即C1,O,M三点共线. -23- 11.
13、2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 证明三线共点问题证明三线共点问题 例4(1)在空间四边形ABCD的各边AB,BC,CD,DA上依次取点 E,F,G,H,若EH,FG所在直线相交于点P,则 ( ) A.点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上 C.点P必在平面BCD外 D.点P必在平面ABC内 答案:B -24- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 (2)如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在
14、 AD上,且有DFFC=DHHA=23,求证:EF,GH,BD交于一点. 解:如图可知,平面ABD平面BCD=BD. 所以FHGE且GH,EF交于点O. 因为GH平面ABD,OGH. 所以O平面ABD. 因为EF平面BCD,OEF, 所以O平面BCD.所以OBD.所以EF,GH,BD交于一点. -25- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 反思感悟证明:三线共点的常用方法 先说明两条直线共面且交于一点,再说明这个点在两个平面内.于 是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点. -26- 11.2平面的基本事
15、实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 延伸探究(1)例4(2)中将“证明EF,GH,BD交于一点” 改为“判断 E,F,G,H四点是否共面并证明”. 解:因为DFFC=DHHA=23, 所以FHAC且FH= AC. 因为E,G分别为BC,AB的中点, 所以GEAC且GE= AC,故GEHF且GEHF. 所以E,F,G,H四点共面且组成梯形. (2)例4(2)中如果将条件改为在AB,BC,CD,DA上分别取点G,E,F,H并 且满足GH与EF相交于一点O,结论如何? 解: EF,GH,BD交于点O. 证明:因为GH与EF相交于一点O
16、,GH在平面ABD内,EF在平面BCD 内,所以O在两平面的交线上,而平面ABD与平面BCD交于直线BD, 所以O在BD上,即EF,GH,BD交于点O. -27- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 交线交线问题问题 例5如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一 点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列点、直线的平面与正 方体表面的交线. (1)过点G及直线AC; 解:(1)画法:连接GA交A1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接 MN,AC,则MA,CN,MN,AC为
17、所求平面与正方体表面的交线.如图 所示. -28- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 解:(2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连 接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则 D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图所示. 分析找出两个平面的两个公共点,则过这两个公共点的直线为两平 面的交线. (2)过三点E,F,D1. -29- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探
18、究五思维辨析当堂检测 反思感悟1.画两平面的交线时,关键是找到这两个平面的两个公共 点,这两个公共点的连线便是.在找公共点的过程中往往要借助于 基本事实2和基本事实3,一般是用基本性质1找到,再用基本性质3 证明. 2.注意:(1)在平面几何中,凡是所引的辅助线都要画成虚线. (2)在立体几何中,被遮挡的部分画成虚线,没被遮挡的部分则画成 实线.在学习时,一定要正确添加辅助线,否则将影响空间立体感的 形成,不利于空间想象力的培养. -30- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 分类讨论思想的应用 典例三个平面
19、将空间分成几部分?请画出图形. 分析平面具有无限延展性,任一平面都将空间分为两部分.可先对 两个平面在空间中的位置分类讨论,再让第三个平面以不同的情况 介入,分类解决. 解:(1)当平面、平面、平面互相平行(即)时,将空间分成 4部分,如图所示. -31- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 (2)当平面与平面平行,平面与它们相交(即,与其相交)时,将 空间分成6部分,如图所示. (3)当平面、平面、平面都相交,且三条交线重合时,将空间分成 6部分,如图所示. -32- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自
20、主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 (4)当平面、平面、平面都相交,且三条交线共点,但互不重合时, 将空间分成8部分,如图所示. (5)当平面、平面、平面两两相交,且三条交线平行时,将空间分 成7部分,如图所示. -33- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 1.点P在直线l上,而直线l在平面内,用符号表示为 ( ) A.PlB.Pl C.PlD.Pl 解析:点与线之间是元素与集合的关系,用表示; 线与面之间是集合与集合的关系,用表示. 答案:D -34- 11
21、.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 2.下面是一些命题的叙述语(A,B表示点,a表示直线,表示平面): (1)A,B,AB; (2) A,A,=A; (3) A,a,Aa; (4) Aa,a,A. 其中命题和叙述方法都正确的个数是() A.0B.1C.2D.3 解析: (3)正确. (1)错,其中的AB应为AB. (2)错,其中,应该交 于一条过A点的直线. (4)错,因为点A可能是直线a与平面的交点. 答案:B -35- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究
22、三探究四探究五思维辨析当堂检测 3.(1)空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定 个平面. 解析:可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个平面. 答案:4 (2)空间5点,其中有4点共面,它们没有任何3点共线,这5个点最多可 以确定个平面. 解析:可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面. 答案:7 -36- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列叙述正确的是 .(填序号) 直线AC1平面CC1B1B; 设正方形ABCD与A1B1C1D1
23、的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C 平面BB1D1D=OO1; 点A,O,C只能确定一个平面; 由点A,C1,B1确定的平面是ADC1B1; 由点A,C1,B1确定的平面和由点A,C1, D确定的平面是同一平面. 答案: -37- 11.2平面的基本事实与推论 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析当堂检测 5.判断下列说法是否正确,并说明理由: (1)一点和一条直线确定一个平面; (2)经过一点的两条直线确定一个平面; (3)两两相交的三条直线确定一个平面; (4)首尾依次相接的四条线段在同一平面内. 解:(1)不正确.如果点在直线上,这时有无数个平面. (2)正确.经过同一点的两条直线是相交直线,有且只有一个平面. (3)不正确.三条直线可能交于同一点,也可能有三个不同交点,可以 确定1个或3个平面. (4)不正确.四边形中三点可确定一个平面,而第四点不一定在此平 面内,因此,这四条线段不一定在同一平面内.
