1、第十章 复数 10.1.2 复数的几何意义 我们知道，实数与数轴上的点一对应.也就是说，数轴可以看成 实数的一个几何模型.那么，能否为复数找一个几何模型呢？怎样建立 起复数与几何模型中点的一 对应关系？ 实数数轴上的点 一一对应一一对应 数 形 Rbaibaz, 实部虚部i为虚数单位 复数z由实部a与 虚部b唯一确定。 复数 z=a+bi 有序实数对 （a,b） 一一对应一一对应 数 形 一一对应一一对应 点Z（a,b） 建立了平面直角坐建立了平面直角坐 标系来表示复数的标系来表示复数的 平面平面复平面复平面 y轴轴虚轴虚轴 x轴轴实轴实轴 复数z=a+bi 点Z（a,b） 一一对应一一对应
2、a b Z(a,b) x y O z=a+bi 例：复数1+2i 复数3 对应对应 对应对应 对应对应 点A（1，2） 点B（3，0） 点C（0，-1）复数-i 虚轴上的点表示的都是存虚数吗？ 提示：虚轴上的点，不都表示纯虚数.如原点O 各象限的点对应的复数，实部、虚部都不为0. 虚轴的单 位长度不 是i,而是1. 设3+i与3-i在复平面内对于的点分别为A与B，则A，B两点位置关系是 怎么样的？一般地，当a,b?R时，复数a+bi与a-bi在复平面内对应的点有什 么位置关系？ 复数z=a-bi点Z（a,-b） 对应对应 复数z=a+bi 点Z（a,b） 对应对应 关于实轴对称关于实轴对称 共
3、轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复 数互为共轭复数. 复数z的共轭复数 用表示. z Rbaibaz,复数 Rbaibaz,复数 共轭复数 复数复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应一一对应 一一对应 平面向量 =(a,b) OZ 一一对应一一对应 a b Z(a,b) x y O z=a+bi 22 ba | z | = | | OZ 0z 1. 2.两个复数的模可以比较大小. 3. 复数的模 的几何意义:复数z的模即为z 对应平面向 量 的模 ，也就是复数 z=a+bi在复平面上对应的点 Z(a,b)到原点的距离。 oz OZ 注意： 向量 的长度
4、称为复数 z=a+bi的模（或绝对值）, 复数的模用 表示. OZ z a b Z(a,b) x y O z=a+bi 例 复数z1=3+i 复数z2=3-i 1, 3 1 , 3 2 1 OZ OZ 1013 22 1 z 1013 2 2 2 z 复数z=a-bi 复数z=a+bi 22 baz 22 2 2 babaz 两个共扼复数的模相等. 即 zz 练习：练习：判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上() (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数 () (3)复数的模一定是正实数() 答案(1)(2)(3) 实数a在数轴上所对应的点 A
5、到原点O的距离. 实数绝对值的几何意义实数绝对值的几何意义: : 复数的模（或绝对值）其实是实数绝对值概念的推广 x O A a x O O z z= =a a+ +bibi y y 复数的模的几何意义复数的模的几何意义: : 复数 z=a+bi在复平面上对 应的点Z(a,b)到原点的距离. Z(Z(a a, ,b b) ) 0 0 aa aa OAa22 baOZz 一维到二维的推广 例1 设复数z1=3 + 4i在夏平面内对应的点为Z1，对应的向量为 复数z2在复平面内对应的点为Z2、对应的向量为 .已知Z1与Z2关于 虚轴对称，求z2，并判断 与 的大小关系. 1 OZ 2 OZ 1 O
6、Z 2 OZ 解： 由题意可知Z1(3， 4), 又因为Z1与Z2关于虚轴对 称，所以 Z2(-3，4). 从而有之Z2= -3 + 4i. 543 2 2 2 z因此 , 543 22 11 zOZ又因为 , 5 22 zOZ . 21 OZOZ 所以 能否再写出一个复数z3 ,使得z对应的 向量 与 的模相等？ 1 OZ 3 OZ 在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应点(1)在虚轴上； (2)在第二象限；(3)在直线yx上分别求实数m的取值范围 解： 复数z的实部为m2m2， 虚部为m23m2. (1)由题意得m2m20.解得m2或m1 (3)由已知得m2m2m23m2.m
7、2. 综上所述， (1)当m2或m1时，复数z对应的点在虚轴上； (2)当1m1时，复数z对应的点在第二象限； (3)当m2时，复数z对应的点在直线yx上. a b Z(a,b) x y O z=a+bi 例2 设复数z在复平面内对应的点为Z.说明当z分别满足下 列条件时.点Z组成的集合是什么图形.并作图表示. . 31221zz (1)由 可知向量 的长度等于2,即点Z 到原点的距离始终等于2,因此点Z组成的集合 是圆心在原点、半径为2的圆.如图(1)所示. 2z OZ (2) 不等式 等价于不等式组 又因为满足 的点Z的集合，是圆心在 原点、半径为3的圆及其内部.而满足 的点Z的集合，是圆
8、心在原点、半径为1的圆 的外部.所以满足条件的点Z组成的集合是一 个圆环(包括外边界 但不包括内边界).如图 (2)所示 31 z 3z 1 3 z z 设复数z在复平面内时应的点为Z,说明当z分别满足下列条件时.点Z组 成的集合是什么图形，并作图表示. 214131211zzzz 解： (1)以原点 为圆心、半 径为1的圆； (4) 以原点为圆心、 半径为1的圆和半 径为2的圆所夹的 圆环(不包括内外 边界). (3) 以原点 为圆心、半 径为1的圆 的外部(包 括边界)； (2)以原点为 圆心、半径 为1的圆的 内部(不包括 边界)； 参考图 示如下: 课堂小结 (1)复数zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)； 1复数的几何意义 (2)复数zabi(a，bR R)的对应向量OZ是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与 OZ相等的向量有无数个 （3） 2复数的模 (1)复数zabi(a，bR R)的模|z| ； (2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点 Z和原点间的距离 复数z=a-bi 复数 z=a+bi 互为共轭复数 （3） zz 下课了
