1、专题四机械能守恒定律的综合应用 1多物体组成的系统机械能守恒问题 (1)多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而 言机械能往往是守恒的。 (2)关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)机械能守恒定律表达式的选取技巧 当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式 Ek1Ep1 01Ek2Ep2 或Ek 02Ep来求解。 当研究对象为两个物体组成的系统时： a若两个物体的势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考 虑应用表达式EkEp来求解。来源:学科网 ZXXK b若 A 物体的动能和势能都在增加(或减少)，B 物体的动能和势能都
2、在减少 (或增加)，可优先考虑用表达式EA 03EB来求解。 (4)机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用 机械能守恒定律分析系统的运动状态的变化及能量的变化时，经常出现下面三种 情况： 系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接。这类连接体问题应注意各物体 间不同能量形式的转化关系。 系统内两个物体通过轻绳连接。如果和外界不存在摩擦力做功等问题时， 只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒。解决此类问 题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等。 系统内两个物体通过轻杆连接。轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两 物体转动的角速度相等。 2链条类(或液柱类)
3、物体的机械能守恒问题 链条类(或液柱类)物体机械能守恒问题的分析关键是分析重心位置，进而确 定物体重力势能的变化， 解题要注意两个问题： 一是参考平面的选取； 二是链条(或 液注)的每一段重心的位置变化和重力势能变化。 3利用机械能守恒定律分析多过程问题 机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题，一般为多过程问题，难 度较大。解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械 能守恒，然后列式求解，不能盲目应用机械能守恒定律。 典型考点一多物体组成的系统机械能守恒问题 1(多选)如图所示，在两个质量分别为 m 和 2m 的小球 a 和 b 之间，用一根 轻质细杆连接，两小球可绕
4、过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平 方向放置，静止释放小球后，b 球向下转动，a 球向上转动，在转过 90的过程中， 以下说法正确的是() Ab 球的重力势能减少，动能减少 Ba 球的重力势能增大，动能增大 Ca 球和 b 球的机械能总和保持不变 Da 球和 b 球的机械能总和不断减小 答案BC 解析在 b 球向下、a 球向上转动过程中，两球均在加速转动，两球动能均 增加，同时 b 球重力势能减小，a 球重力势能增大，A 错误，B 正确；a、b 两球 组成的系统只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C 正确，D 错误。 2如图所示的滑轮光滑轻质，物体 A、B 分别系在轻绳两端并
5、跨过定滑轮， 物体 A 的质量 M12 kg， 物体 B 的质量 M21 kg， 物体 A 离地高度为 H0.5 m。 物体 A 与物体 B 从静止开始释放，取 g10 m/s2，物体 A 由静止下落 0.3 m 时的 速度为() A. 2 m/sB3 m/sC2 m/sD1 m/s 答案A 解析对 A、B 组成的系统运用机械能守恒定律得，(M1M2)gh1 2(M 1 M2)v2，代入数据解得 v 2 m/s，故 A 正确，B、C、D 错误。 3(多选)如图，滑块 a、b 的质量均为 m，a 套在固定直杆上，与光滑水平地 面相距 h，b 放在地面上，a、b 通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦，
6、a、b 可视 为质点，重力加速度大小为 g。则() Aa 落地前，轻杆对 b 一直做正功 Ba 落地时速度大小为 2gh Ca 下落过程中，其加速度大小始终不大于 g Da 落地前，当 a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为 mg 答案BD 解析设 a 沿杆方向的分速度与 a 竖直方向的合速度夹角为， 则因沿杆方向 a、b 的分速度相等，可写出等式：vacosvbsin，a 滑到最低点时，90，所 以 b 的速度为 0，又因 b 的初速度也为 0，可知此过程中 b 的动能先增大后减小， 所以轻杆对 b 先做正功后做负功，A 错误；a、b 所组成的系统机械能守恒，所以 当 a 滑到地面时，有
7、 1 2mv 2 a0mgh，解得 va 2gh，B 正确；轻杆落地前，当 a 的机械能最小时，b 的动能最大，此时轻杆对 a、b 无作用力，故 C 错误，D 正确。 4(多选)如图所示，一轻质弹簧固定在光滑杆的下端，弹簧的中心轴线与杆 重合，杆与水平面间的夹角始终为 60，质量为 m 的小球套在杆上，从距离弹簧 上端 O 点 2x0的 A 点静止释放，将弹簧压至最低点 B，压缩量为 x0，不计空气阻 力，重力加速度为 g。下列说法正确的是() A小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点 B 的过程中，其加速度一直减小 B小球运动过程中最大动能可能为 mgx0 C弹簧劲度系数大于 3mg 2x0 D弹
8、簧最大弹性势能为 3 3 2 mgx0 答案CD 解析小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点 B 的过程中，弹簧对小球的弹力 逐渐增大， 开始时弹簧的弹力小于小球的重力沿杆向下的分力， 小球做加速运动， 随着弹力的增大，合力减小，加速度减小，直到弹簧的弹力等于小球的重力沿杆 向下的分力时加速度为 0，然后，弹簧的弹力大于小球的重力沿杆向下的分力， 随着弹力的增大，合力沿杆向上增大，则加速度增大，所以小球的加速度先减小 后增大，A 错误；小球滑到 O 点时的动能为 Ek2mgx0sin60 3mgx0，小球的 合力为零时动能最大，此时弹簧处于压缩状态，位置在 O 点下方，所以小球运动 过程中最大动能大
9、于3mgx0，不可能为 mgx0，B 错误；在速度最大的位置有 mgsin60kx，得 k 3mg 2x ，因为 xx0，所以 k 3mg 2x0 ，C 正确；小球从 A 到 B 的过程， 对小球和弹簧组成的系统， 由机械能守恒定律得： 弹簧最大弹性势能 Epm mg3x0sin603 3 2 mgx0，D 正确。 5. 如图所示，半径为 r、质量不计的圆盘，盘面与地面垂直，圆心处有一垂 直于盘面的水平固定轴 O。在盘的最右边缘固定一个质量为 m 的小球 A，在 O 点 的正下方离 O 点r 2处固定一个质量也为 m 的小球 B，放开圆盘让其自由转动，不 计空气阻力，重力加速度为 g，问 A
10、球转到最低点时，其速度是多大？ 答案 2 5 5gr 解析选取初始时 A 球所在水平面为参考平面， 则初始时系统的总机械能为 E1mgr 2 当 A 球转到最低点时，设其速度为 vA，B 球的速度为 vB，则 A、B 组成的系 统的总机械能为 E2mgr1 2mv 2 A1 2mv 2 B 由于 A、 B 两球的角速度相同， 设 A 球在最低点时的角速度为， 则 vAr， vBr 2，可知 v Bv A 2 根据机械能守恒定律得 E1E2 可解得 vA2 5 5gr 即 A 球转到最低点时其速度 vA2 5 5gr。 6. 如图所示， 有一轻质杆可绕 O 点在竖直平面内自由转动， 在杆的另一端
11、和 中点各固定一个质量均为 m 的小球 A、B，杆长为 L。开始时，杆静止在水平位 置，求无初速度释放后杆转到竖直位置时，A、B 两小球的速度各是多少？(重力 加速度为 g) 答案vA2 15gL 5 vB 15gL 5 解析把 A、B 两小球和杆看成一个系统，杆对 A、B 两小球的弹力为系统 的内力，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。 以 A 球在最低点时所在的平面为参考平面，则 初状态： 系统的动能为 Ek10，重力势能为 Ep12mgL 末状态(即杆到竖直位置)： 系统的动能为 Ek21 2mv 2 A1 2mv 2 B， 重力势能为 Ep2mgL 2 由机械能守恒定律得 2m
12、gL1 2mgL 1 2mv 2 A1 2mv 2 B 又因为在自由转动过程中 A、B 两球的角速度相同，则 vA2vB 联立解得 vA2 15gL 5 ，vB 15gL 5 。 7如图所示，质量均为 m 的物体 A 和 B，通过轻绳跨过定滑轮相连。斜面 光滑，倾角为，不计绳子和滑轮之间的摩擦，重力加速度为 g。开始时 A 物体离 地的高度为 h，B 物体位于斜面的底端，用手托住 A 物体，使 A、B 两物体均静 止。现将手撤去。 (1)求 A 物体将要落地时的速度为多大？ (2)A 物体落地后，B 物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，则 B 物体在斜面 上到达的最高点离地的高度为多大？ 答案(
13、1) gh1sin(2)h1sin 2 解析(1)撤去手后，A、B 两物体同时运动，并且速率相等，由于两物体构 成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒。 设 A 物体将要落地时的速度大小为 v， 由机械能守恒定律得 mghmghsin1 2(mm)v 2， 解得 v gh1sin。 (2)A 物体落地后，B 物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，此时绳子对其没 有拉力，对 B 物体而言，只有重力做功，故机械能守恒。 设其到达的最高点离地高度为 H， 由机械能守恒定律得 1 2mv 2mg(Hhsin)， 解得 Hh1sin 2 。 典型考点二质量分布均匀的链条类(或液柱类)物体的机械能守恒问题
14、8. 如图所示， 粗细均匀的 U 形管内装有同种液体， 开始时两边液面高度差为 h，管中液柱总长为 4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面 下降的速度为(不计液体内能的变化)() A. gh 8 B. gh 6 C. gh 4 D. gh 2 答案A 解析在液柱流动过程中除受重力作用外，还受大气压力作用，但在液体流 动过程中，右侧大气压力做的正功等于左侧大气压力做的负功，所以满足机械能 守恒条件。以原来左侧液面处为重力势能的参考平面，则由机械能守恒定律得(设 高 h 的液柱质量为 m)，mgh 2mg h 4 1 2(4m)v 2，解得 v gh 8 ，A 正确。 9如图所示，
15、有一条长为 L 的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜 面倾角为， 另一半长度沿竖直方向下垂在空中， 当链条从静止开始释放后链条滑 动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大？ 答案 gL3sin 2 解析设斜面最高点所在水平面为参考平面，链条总质量为 m， 开始时左半部分的重力势能 Ep1m 2 gL 4sin， 右半部分的重力势能 Ep2m 2 gL 4， 机械能 E1Ep1Ep2m 8 gL(1sin)。 当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能 EpmgL 2， 动能 Ek1 2mv 2， 机械能 E2EpEkmg 2 L1 2mv 2。 由机械能守恒定律可得 E1E2， 所以mgL 8 (
16、1sin)mgL 2 1 2mv 2， 整理得 v gL3sin 2 。 典型考点三利用机械能守恒定律分析多过程问题 10(多选)如图所示，A、B、C、D 四选项图中的小球以及小球所在的左侧 斜面完全相同，现从同一高度 h 处由静止释放小球，使之进入右侧不同的轨道： 除去底部一小段圆弧， A 图中的轨道是一段斜面，高度大于 h；B 图中的轨道与 A 图中的轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于 h；C 图中的轨道是一个内径略 大于小球直径的管道，其上部为竖直管，下部为与斜面相连的圆弧，管的高度大 于 h；D 图中是个半圆形轨道，其直径等于 h。如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的 能量损失，则四个选项
17、图中小球进入右侧轨道后能到达 h 高度的是() 答案AC 解析对 A、C 两图，小球到右侧最高点的速度可以为零，由机械能守恒定 律可得，小球进入右侧轨道后能到达的高度仍为 h，故 A、C 正确；B 图右侧轨 道最大高度小于 h，小球到轨道最上端后做斜抛运动，小球到达最高点时仍有水 平速度，因此，小球能到达的最大高度小于 h，B 错误；D 图右侧为圆形轨道， 若小球能通过最高点，则必须具有一定速度，因此，小球沿轨道不可能到达 h 高 度，D 错误。 11如图是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M 为半径为 R1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M 的
18、下端相切处放置竖直向上的弹簧枪， 可发射速度不同的质量 m0.01 kg 的小钢 珠。假设某次发射的钢珠沿轨道内侧恰好能经过 M 的上端点水平飞出，取 g10 m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该钢珠前，弹簧的弹性势能为() A0.10 JB0.15 JC0.20 JD0.25 J 答案B 解析小钢珠恰好经过 M 的上端点时有 mgmv 2 R ，所以 v gR 10 m/s。 全过程中， 小钢珠与弹簧组成的系统机械能守恒， 根据机械能守恒定律得 EpmgR 1 2mv 20.15 J，B 正确。 12如图，把一根内壁光滑的细圆管弯成3 4圆周形状，且竖直放置，管口 A 竖直向上，管口 B 水
19、平向左，一小球从管口 A 的正上方 h1高处自由落下，经细管 恰能到达细管最高点 B 处。若小球从 A 管口正上方 h2高处自由落下，进入 A 管 口运动到 B 点后又从空中飞落进 A 口，则 h1h2为() A12B23C45D56 答案C 解析当小球从管口 A 的正上方 h1高处自由落下， 到达细管最高点 B 处时的 速度为零，则根据机械能守恒定律有(取管口 A 所在水平面为参考平面)，mgh1 mgR，解得 h1R；当从 A 管口正上方 h2高处自由落下时，根据平抛运动规律有 RvBt，R1 2gt 2，解得 vB gR 2 ，根据机械能守恒定律有 mgh2mgR1 2mv 2 B， 解
20、得 h25R 4 ，故 h1h245，C 正确。 13. 如图，光滑水平面 AB 与竖直面内的光滑半圆形固定轨道在 B 点相切， 半圆形轨道半径为 R2.5 m，一个质量 m0.5 kg 的小物块压缩弹簧，静止在 A 处，释放小物块，小物块离开弹簧后经 B 点进入轨道，经过 C 点时对轨道的压力 为其重力的 3 倍。取 g10 m/s2。求： (1)小物块经过 C 点时速度的大小； (2)弹簧对小物块的弹力做的功。 答案(1)10 m/s(2)50 J 解析(1)在 C 点，有：Nmgmv 2 C R ，N3mg， 解得：vC2 Rg10 m/s。 (2)从 A 到 C，设弹簧弹力对小物块做的
21、功为 W， 由机械能守恒定律有：W1 2mv 2 C2mgR， 代入数据解得：W50 J。 14如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段倾斜的直轨道和与之相 切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为 R。一质量为 m 的小物块从斜轨道上 某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点， 且在该最高点与轨道间的压力不能超过 5mg(g 为重力加速度)。 求物块初始位置相 对于圆形轨道底部的高度 h 的取值范围。 来源:学#科#网 答案 5 2Rh5R 解析以轨道最低点所在水平面为参考平面，设物块在圆形轨道最高点的速 度为 v，由机械能守恒定律得 mgh2mgR1 2mv 2
22、 物块在圆形轨道最高点受的力为重力 mg、轨道的压力 N。重力与压力的合力 提供向心力，有来源:学科网 ZXXK mgNmv 2 R 物块能通过最高点的条件是 N0 由式得 v gR 由式得 h5 2R 按题的要求，N5mg，由式得 v 6Rg 由式得 h5R h 的取值范围是 5 2Rh5R。 1. (多选)如图所示，一质量为 m 的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一 端固定于 O 点处，将小球拉至 A 处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动 到 O 点正下方 B 点时与 A 点间的竖直高度差为 h，速度为 v，则() A由 A 到 B 重力做的功等于 mgh B由 A 到 B 重力势
23、能减少 1 2mv 2 C由 A 到 B 弹簧弹力做功为mgh D小球到达位置 B 时弹簧的弹性势能为 mgh1 2mv 2 答案AD 解析重力做功只与初末位置的高度差有关，则由 A 至 B 重力做功为 mgh， 故 A 正确；由 A 至 B 重力做功为 mgh，则重力势能减少 mgh，小球和弹簧组成的 系统机械能守恒，设小球在 B 处时弹簧的弹性势能为 Ep，由机械能守恒定律有 mghEp1 2mv 2，故 mgh1 2mv 2，Epmgh1 2mv 2，弹簧弹力做功 W 弹Ep Ep1 2mv 2mgh，故 B、C 错误，D 正确。 2(多选)如图所示，质量均为 m 的 a、b 两球固定在
24、轻杆的两端，杆可绕水 平轴 O 在竖直面内无摩擦转动，已知两球距轴 O 的距离 L1L2，现在由水平位置 静止释放，在 a 下降过程中() Aa、b 两球角速度相等 Ba、b 两球向心加速度相等 C杆对 a、b 两球都不做功 Da、b 两球机械能之和保持不变 答案AD 解析因为 a、b 两球围绕同一个固定轴转动，所以角速度相等，A 正确。a 2r，半径不同，向心加速度不同，B 错误。a 球和 b 球组成的系统机械能守恒， D 正确。b 球的动能和势能都增加，故杆对 b 球做正功，对 a 做负功，C 错误。 3. (多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架。在 A 处固 定质量为
25、2m 的小球甲，B 处固定质量为 m 的小球乙，支架悬挂在 O 点，可绕 O 点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时 OB 竖直，放手后开始运动。 在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是() A甲球到达最低点时速度为零 B甲球机械能减少量等于乙球机械能增加量 C乙球向左摆动所能达到的最高位置应高于甲球开始运动时的高度 D当支架从左至右回摆时，甲球一定能回到起始高度 答案BCD 解析甲球和乙球组成的系统机械能守恒，可判断只有 A 错误。 4如图所示，地面上竖直放一根轻弹簧，其下端和地面固定连接，一物体从 弹簧正上方距弹簧一定高度处自由下落，则() A物体和弹簧接触时，物体的动能最大 B物
26、体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，物体的动能和弹簧弹性势能的和 不断增加 C物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，物体的动能和弹簧弹性势能的和 先增加后减少 D物体在反弹阶段动能一直增加，直到物体脱离弹簧为止 答案C 解析物体在下落过程中， 只受重力和弹簧弹力作用， 总的机械能是守恒的； 物体和弹簧接触后，受重力和向上的弹力作用，物体下落阶段，先是重力大于弹 力，然后是弹力大于重力，故物体先加速后减速，动能先增加后减少，即物体和 弹簧接触时，物体的动能未达到最大，A 错误。同理，物体在反弹阶段，未脱离 弹簧时，动能先增加后减少，D 错误。物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，先 下落后上升，物体的重力势
27、能先减少后增加，由于物体和弹簧组成的系统机械能 守恒，所以物体的动能和弹簧弹性势能的和先增加后减少，故 C 正确，B 错误。 5如图，一轻弹簧左端固定在长木块 B 的左端，右端与小木块 A 连接，且 A、B 及 B 与地面间接触面光滑。开始时，A 和 B 均静止，现同时对 A、B 施加 等大反向的水平恒力 F1和 F2。在两物体开始运动以后的整个运动过程中，对 A、 B 和弹簧组成的系统(整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度)，下列说法正确的 是() A由于 F1、F2等大反向，故系统机械能守恒 BF1、F2分别对 A、B 做正功，故系统机械能不断增加 C当弹簧弹力大小与 F1、F2大小相等时，
28、系统机械能最大 D系统机械能最大时，两物体动能都为零 答案D 解析当弹簧弹力大小与 F1、 F2大小相等时， A 和 B 受力平衡， 加速度为零， 此时速度达到最大值，故各自的动能最大。由于 F1、F2先对系统做正功，当两物 体速度减为零时，此时系统机械能最大；之后由于弹簧的弹力大于 F1、F2，两物 体再加速相向运动，F1、F2对系统做负功，系统机械能开始减少，只有 D 正确。 6如图所示，可视为质点的小球 A、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固 定在地面上横截面半径为 R 的光滑圆柱， A 的质量为 B 的两倍。 当 B 位于地面时， A 恰与圆柱轴心等高。将 A 由静止释放，B 上升的
29、最大高度是() A2RB.5R 3 C.4R 3 D.2R 3 答案C 解析设 A、B 的质量分别为 2m、m，当 A 落到地面上时，B 恰好运动到与 圆柱轴心等高处，以 A、B 整体为研究对象，则 A、B 组成的系统机械能守恒， 故有 2mgRmgR1 2(2mm)v 2，A 落到地面上以后，B 以速度 v 竖直上抛，又上 升的高度为 hv 2 2g，解得 h 1 3R，故 B 上升的总高度为 Rh 4 3R，故 C 正 确。 7(多选)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中 AB 段和 BC 段是半径为 R 的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。一质量为 m 的小球，从距离水平地面 高为 H
30、的管口 D 处由静止释放，最后能够从 A 端水平抛出落到地面上。下列说 法正确的是() A小球落到地面时相对于 A 点的水平位移大小为 2 RH2R2 B小球落到地面时相对于 A 点的水平位移大小为 2 2RH4R2 C小球能从细管 A 端水平抛出的条件是 H2R D小球能从细管 A 端水平抛出的最小高度 Hmin5 2R 答案BC 解析因为轨道光滑，所以小球从 D 点运动到 A 点的过程中机械能守恒，以 地面为参考平面，根据机械能守恒定律有 mgHmg(RR)1 2mv 2 A，解得 vA 2gH2R，从 A 端水平抛出到落到地面上，根据平抛运动规律有 2R1 2gt 2，水 平位移 xvA
31、t 2gH2R 4R g 2 2RH4R2，故 A 错误，B 正确；因为小 球能从细管 A 端水平抛出的条件是 vA0，所以要求 H2R，故 C 正确，D 错误。 8. 如图所示，物体 A、B 通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体 A、 B 的质量都为 m，开始时细绳伸直，用手托着物体 A，使弹簧处于原长且 A 离地 面的高度为 h，物体 B 静止在地面上。放手后物体 A 下落，与地面即将接触时速 度大小为 v，此时物体 B 对地面恰好无压力，则下列说法中正确的是() A弹簧的劲度系数为mg h B此时弹簧的弹性势能等于 mgh1 2mv 2 C此时物体 B 的速度大小也为 v D此时物体
32、 A 的加速度大小为 g，方向竖直向上 答案A 解析由题可知，此时弹簧所受的拉力大小等于 B 的重力大小，即 Fmg， 弹簧伸长的长度为 xh，由 Fkx 得 kmg h ，故 A 正确；A 与弹簧组成的系统机 械能守恒，则有 mgh1 2mv 2Ep，则弹簧的弹性势能 Epmgh1 2mv 2，故 B 错误； 物体 B 对地面恰好无压力，此时 B 的速度恰好为零，故 C 错误；根据牛顿第二定 律，对 A 有 Fmgma，Fmg，得 a0，故 D 错误。 9 (多选)如图所示， 小球沿水平面通过 O 点进入半径为 R 的半圆弧轨道后恰 能通过最高点 P，然后落回水平面，不计一切阻力。下列说法正
33、确的是() A小球落地点离 O 点的水平距离为 2R B小球落地时的动能为5mgR 2 C小球运动到半圆弧最高点 P 时向心力恰好为零 D若将半圆弧轨道上部的1 4圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最大 高度比 P 点高 0.5R 答案ABD 解析小球恰能通过 P 点，则在 P 点时重力提供向心力，大小为 mg，C 错 误；由题意知，在 P 点时 mgmv 2 R ，故小球经 P 点时的速度大小 v gR，由 2R 1 2gt 2、xvt 得小球落地点离 O 点的水平距离为 2R，A 正确；根据机械能守恒 得 2mgREk1 2mv 2，解得小球落地时的动能 Ek2mgR1 2mv 25
34、2mgR，B 正确； 由 mgh5 2mgR，轨道上部的 1 4圆弧截去后小球能达到的最大高度 h2.5R，比 P 点高 0.5R，D 正确。 10如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球 A 和 B，两球质量均为 m， 两球半径忽略不计，杆的长度为 L，先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球 B，使小球 B 在水平面上由静止开始向右滑动，当小球 A 沿墙下滑距离为L 2时， 下列说法正确的是(不计一切摩擦)() A杆对小球 A 做功为 1 2mgL B小球 A 和 B 的速度都为1 2 gL C小球 A、B 的速度分别为1 2 3gL和1 2 gL D杆与小球 A 和 B 组成的系统机械能减少
35、了 1 2mgL 答案C 解析当小球 A 沿墙下滑距离为 1 2L 时，设此时 A 球的速度为 v A，B 球的速 度为 vB。根据机械能守恒定律得：mgL 2 1 2mv 2 A1 2mv 2 B，两球沿杆方向上的速度相 等，则有： vAcos60vBcos30，联立两式解得：vA1 2 3gL，vB1 2 gL。对 A 使用动能 定理有：mgL 2W 杆1 2mv 2 A0，代入 A 的速度，解得 W杆1 8mgL，故 A 错误； 由以上分析得：vA1 2 3gL，vB1 2 gL，故 B 错误，C 正确；对于杆与小球 A 和 B 组成的系统而言，运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，
36、D 错误。 11(多选)质量为 M、长度为 l 的小车静止在光滑的水平面上，质量为 m 的 小物块(可视为质点)放在小车的最左端。现用一水平恒力 F 作用在小物块上，使 物块从静止开始做匀加速直线运动。物块和小车之间的摩擦力为 F1。物块滑到小 车的最右端时，小车运动的距离为 x。在这个过程中，以下结论正确的是() A物块到达小车最右端时，具有的动能为(FF1)l B物块到达小车最右端时，小车具有的动能为 F1x C摩擦力对物块所做的功为F1(lx) D物块和小车增加的机械能为 Fx 答案BC 解析由动能定理得，对小物块有：(FF1)(lx)Ek1，A 错误；对小车有 F1xEk2，B 正确；
37、摩擦力对物块所做的功为F1(lx)，C 正确；小物块和小车 增加的机械能为EEk1Ek2FlFxF1l，D 错误。 12杂技演员甲的质量为 M80 kg，乙的质量为 m60 kg。跳板轴间光滑， 质量不计。甲、乙一起表演节目，如图所示。开始时，乙站在 B 端，A 端离地面 1 m，且 OAOB。甲先从离地面 H6 m 的高处自由跳下落在 A 端。当 A 端落地 时，乙在 B 端恰好被弹起。假设甲碰到 A 端时，由于甲的技艺高超，没有能量损 失。分析过程假定甲、乙可看作质点。(取 g10 m/s2)问： (1)当 A 端落地时，甲、乙两人速度大小各为多少？ (2)若乙在 B 端的上升可以看成是竖
38、直方向， 则乙离开 B 端还能被弹起多高？ 答案(1)2 15 m/s2 15 m/s(2)3 m 解析(1)甲跳下直到 B 端弹起到最高点的过程中，甲、乙组成的系统机械能 守恒，以地面为参考平面，由机械能守恒定律有：MgH1 2Mv 2 甲1 2mv 2 乙mgh 而 v 甲v乙，h1 m 联立可解得 v 甲v乙2 15 m/s。 (2)乙上升到最高点的过程中，机械能守恒，有： 1 2mv 2 乙mgh1，解得 h13 m。 13如图所示，若将质量为 m 的小球拉到绳与水平方向成30角的位置 A 处由静止释放， 重力加速度为 g， 求小球到达最低点 C 时绳对小球的拉力是多大？ 答案 7 2
39、mg 来源:学,科,网 解析小球先做自由落体运动，到绳与水平方向再次成30角时，绳被拉 直，然后小球做圆周运动，如图所示，绳被拉直时小球下降的高度为 L，设此时 小球的速度为 v1， 根据自由落体运动的规律有 v1 2gL 将 v1分解为沿绳方向的速度 v和垂直于绳方向的速度 v， 当绳绷直的瞬间， v变为 0 vv1cos 6gL 2 绳绷直后，小球在竖直平面内做圆周运动，设小球到达最低点 C 时的速度为 v2，以最低点 C 所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律有 1 2mv 2 21 2mv 2 mgL(1cos60) 设在 C 点绳对小球的拉力为 F， 根据牛顿第二定律有 Fmgmv
40、2 2 L 联立式解得 F7 2mg。 14长为 L 的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的1 4垂在桌边， 如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，取桌面为参考平面。 (1)开始时两部分链条重力势能之和为多少？ (2)刚离开桌面时，整个链条重力势能为多少？ (3)链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？ 答案(1)mgL 32 (2)mgL 2 (3)1 4 15gL 解析(1)开始时链条的重力势能 Ep1mg 4 L 8 mgL 32 (2)刚滑离桌面时，链条的重力势能 Ep2mg L 2 mgL 2 (3)设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为 v， 根据机械能守恒定律 Ep10
41、Ep21 2mv 2 联立式得 v1 4 15gL。 15. 如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体 A 和 B，A 套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度 h0.2 m，开始时让连着 A 的 细线与水平杆的夹角137，由静止释放 B，当细线与水平杆的夹角253时， A 的速度为多大？在以后的运动过程中， A 所获得的最大速度为多大？(设 B 不会 碰到水平杆，sin370.6，sin530.8，g 取 10 m/s2) 答案1.11 m/s1.63 m/s 解析设 A、B 的质量均为 m，绳与水平杆夹角253时，A 的速度为 vA， B 的速度为 vB，此过程中 B 下降
42、的高度为 h1，由机械能守恒定律有 mgh11 2mv 2 A1 2mv 2 B 其中 h1 h sin1 h sin2，v Acos2vB 解得 vA1.11 m/s来源:Z。xx。k.Com 当390时，A 的速度最大，设为 vAm，此时 B 的速度为零，设此过程中 B 下降的高度为 h2，由机械能守恒定律有 mgh21 2mv 2 Am，其中 h2 h sin1h 解得 vAm1.63 m/s。 16如图所示，半径为 R 的光滑半圆弧轨道与高为 10R 的光滑斜轨道放在同 一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道 CD 相连，水平轨道与斜轨道间 有一段圆弧过渡。在水平轨道上，轻质弹簧被
43、 a、b 两小球挤压，处于静止状态， 同时释放两个小球，a 球恰好能通过圆弧轨道的最高点 A，b 球恰好能到达斜轨道 的最高点 B。已知 a 球质量为 m1，b 球质量为 m2，重力加速度为 g，求： (1)a 球离开弹簧时的速度大小 va； (2)b 球离开弹簧时的速度大小 vb； (3)释放小球前弹簧的弹性势能 Ep。 答案(1) 5gR(2)2 5gR (3) 5 2m 110m2 gR 解析(1)由 a 球恰好能通过 A 点知 m1gm1v 2 A R a 球从弹出到运动到 A 点，由机械能守恒定律有 1 2m 1v2a1 2m 1v2Am1g2R，得 va 5gR。 (2)对于 b
44、球，从弹出到运动到 B 点，由机械能守恒定律有 1 2m 2v2bm2g10R，得 vb 20gR2 5gR。 (3)由机械能守恒定律得 Ep1 2m 1v2a1 2m 2v2b 5 2m 110m2 gR。 17. 如图所示，竖直平面内的3 4圆弧形光滑管道的内径略大于小球直径，管道 中心线到圆心的距离为 R，A 端与圆心 O 等高，AD 为水平面，B 点在 O 点的正 下方，小球自 A 点正上方由静止释放，自由下落至 A 点时进入管道，从上端口飞 出后落在 C 点，当小球到达 B 点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的 9 倍。求： (1)释放点距 A 点的竖直高度； (2)落点 C
45、与 A 点的水平距离。 答案(1)3R(2)(2 21)R 解析(1)设小球到达 B 点的速度为 v1， 因为到达 B 点时， 管壁对小球的弹力 大小是小球重力大小的 9 倍， 所以有 9mgmgmv 2 1 R 。 设 B 点所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律得 mg(hR)1 2mv 2 1， 解得 h3R。 (2)设小球到达最高点的速度为 v2，落点 C 与 A 点的水平距离为 x。 由机械能守恒定律得 1 2mv 2 11 2mv 2 2mg2R， 由平抛运动的规律得 R1 2gt 2，Rxv2t， 解得 x(2 21)R。 18 如图所示， ABC 和 DEF 是在同一竖直平面内
46、的两条光滑轨道， 其中 ABC 的末端水平，DEF 是半径为 r0.4 m 的半圆形轨道，其直径 DF 沿竖直方向，C、 D 可看作重合。现有一可视为质点的小球从轨道 ABC 上距 C 点高为 H 的地方由 静止释放。 (1)若要使小球经C 处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动， H至少要有多高？ (2)若小球静止释放处离 C 点的高度 h 小于(1)中 H 的最小值，小球可击中与 圆心等高的 E 点，求 h。(取 g10 m/s2) 答案(1)0.2 m(2)0.1 m 解析(1)小球从 ABC 轨道下滑， 机械能守恒， 设到达 C 点时的速度大小为 v， 则：mgH1 2mv 2 小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足： mgmv 2 r 联立并代入数据得：H0.2 m。 (2)若 hHmin0.2 m，小球过 C 点后做平抛运动，设球经 C 点时的速度大小 为 vx，则击中 E 点时： 竖直方向：r1 2gt 2 水平方向：rvxt 由机械能守恒定律有：mgh1 2mv 2 x 联立并代入数据得 h0.1 m。
