1、第第 5 节节直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 考试要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面 垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间 图形的垂直关系的简单命题. 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与平面内的任意直线都垂直，就说直线 l 与平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定定理 一条直线与一个平 面内的两条相交直 线都垂直， 则该直线 与此平面垂直 la lb abO a b l 性质定理 两直线垂直于同一 个平面， 那么这两条 直
2、线平行 a b ab 2.直线和平面所成的角 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所 成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或 在平面内，则它们所成的角是 0的角. (2)范围： 0， 2 . 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：0，. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，
3、就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定定理 一个平面经过另一个 平面的一条垂线， 则这 两个平面互相垂直 l l 性质定理 如果两个平面互相垂 直， 则在一个平面内垂 直于它们交线的直线 垂直于另一个平面 a la l l 常用结论与微点提醒 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线 线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直 于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 3.三
4、种垂直关系的转化 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)直线 l 与平面内的无数条直线都垂直，则 l.() (2)垂直于同一个平面的两平面平行.() (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.() (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.() 解析(1)直线 l 与平面内的无数条直线都垂直， 则有 l或 l 与斜交或 l或 l，故(1)错误. (2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误. (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与 另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平
5、面内，故(3)错误. (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(新教材必修第二册 P162T3 改编)设，为两个不同的平面，直线 l，则 “l”是“”成立的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析依题意，由 l，l，可以推出；反过来，由，l不能推 出 l，因此“l”是“”成立的充分不必要条件，故选 A. 答案A 3.(老教材必修 2P67 练习 T2 改编)在三棱锥 PABC 中， 点 P 在平面 ABC 中的射 影为点 O. (1)若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的_心； (2)
6、若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC 的_心. 解析(1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP，在 RtPOA，RtPOB 和 RtPOC 中，PAPBPC，所以 OAOBOC，即 O 为ABC 的外心. 图 1 (2)如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于 H，D，G.因为 PCPA， PBPC，PAPBP，所以 PC平面 PAB，又 AB平面 PAB，所以 PCAB， 因为 POAB，POPCP，所以 AB平面 PGC，又 CG平面 PGC，所以 ABCG，即 CG 为ABC 边 AB 上的高.同理可证 BD，AH 分别为ABC 边 AC， BC
7、上的高，即 O 为ABC 的垂心. 图 2 答案(1)外(2)垂 4.(2019安徽江南十校联考)已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和是两个不重合的 平面，下面给出的条件中一定能推出 m的是() A.且 mB.mn 且 n C.mn 且 nD.mn 且 解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C 正确. 答案C 5.(2020湖南湘东南五校联考)已知两个平面垂直，有下列命题： 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必
8、垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是() A.3B.2C.1D.0 解析如图， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 平面 ADD1A1 平面 ABCD，A1D平面 ADD1A1，BD平面 ABCD，但 A1D 与 BD 不垂直，故错； 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 ADD1A1平面 ABCD， l 是平面 ADD1A1内任意一条直线， l 与平面 ABCD 内和 AB 平行的所有直线垂直， 故正确； 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 平面 ADD1A1平面 ABCD， A1D平面 ADD1A1， 但 A1D 与平面 ABCD 不垂直，故错； 在正方体 ABCDA1B
9、1C1D1中，平面 ADD1A1平面 ABCD，且平面 ADD1A1 平面 ABCDAD， 过交线 AD 上的任一点作交线的垂线 l， 则 l 可能与平面 ABCD 垂直，也可能与平面 ABCD 不垂直，故错.故选 C. 答案C 6.(多选题)(2020济南调研)已知六棱锥 PABCDEF 的底面是 正六边形，PA平面 ABC，PA2AB，则下列命题中正确的 有() A.PBAD B.平面 PAB平面 PAE C.BC平面 PAE D.直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45 解析由于六边形 ABCDEF是正六边形， 于是DAB60， 因为PA平面ABC， 所以 PAAD，若 PBAD，又
10、因为 PAPBP，则 AD平面 PAB，故 AD 垂 直于平面 PAB 内的任意一条直线，因此 ADAB，这与DAB60矛盾，故假 设不成立，故 A 不正确.PA平面 ABC，PAAB，在正六边形 ABCDEF 中， ABAE，PAAEA，AB平面 PAE.又 AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAE.故 B 正确.BCAD，AD平面 PAEA，BC 与平面 PAE 不平行.故 C 不正确.在 RtPAD 中，PAAD2AB，PDA45，故 D 正确，故选 BD. 答案BD 考点一线面垂直的判定与性质 【例 1】 (2019广州一模)在五面体 ABCDEF 中，四边形 CDEF 为矩形， C
11、D2DE2AD2AB4， AC2 5， EAD 30. (1)求证：AB平面 ADE. (2)求该五面体的体积. (1)证明因为在五面体 ABCDEF 中，四边形 CDEF 为矩形， 所以 EFCD，CDDE. 因为 EF平面 ABCD，CD平面 ABCD， 所以 EF平面 ABCD. 因为 EF平面 ABFE，平面 ABFE平面 ABCDAB，所以 EFAB. 又 EFCD，所以 CDAB. 因为 CD4，AD2，AC2 5， AD2CD2AC2，所以 CDAD. 又因为 CDDE，ADDED，AD，DE平面 ADE， 所以 CD平面 ADE. 又 CDAB，所以 AB平面 ADE. (2)
12、解因为EAD30，ADDE2，所以ADE120， 则 SADE1 222 3 2 3.如图，延长 AB 到 G，使得 AB BG，连接 GF，GC，则 SGCFSADE 3，所以 VGCFADE 344 3， VBGCF1 3 32 2 3 3 ， 所以 VABCDEFVGCFADEVBGCF4 3 2 3 3 10 3 3 . 规律方法1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质 (a，a)；(4)面面垂直的性质(，a，la，ll). 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直， 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质. 因此，判定
13、定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路. 【训练 1】 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，AB AD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点. 证明： (1)CDAE； (2)PD平面 ABE. 证明(1)在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，CD平面 ABCD， PACD， 又ACCD，且 PAACA， CD平面 PAC.又 AE平面 PAC， CDAE. (2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA. E 是 PC 的中点，AEPC. 由(1)知 AECD，且 PCCDC， AE平面 PCD.又 PD平面 PCD，AEPD. P
14、A底面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB. 又ABAD，且 PAADA， AB平面 PAD，又 PD平面 PAD， ABPD. 又ABAEA，PD平面 ABE. 考点二面面垂直的判定与性质 【例 2】 (2020江西百所名校模拟)如图，几何体是由半个圆柱及1 4个圆柱拼接而 成，其中 G，H 分别为CD 与AB 的中点，四边形 ABCD 为正方形. (1)证明：平面 DFB平面 GCBH； (2)若 AB2 2，求三棱锥 EABG 的体积. (1)证明由题意知ABF 4，因为 H 为AB 的中点， 所以ABH 4，故HBF 2， 即 BFBH. 又因为 BC平面 ABF，BF平面 ABF
15、，所以 BCBF， 又因为 BCBHB，所以 BF平面 GCBH， 因为 BF平面 DFB，所以平面 DFB平面 GCBH. (2)解连接 AH，AE，BE，EG，FH，如图所示，由图知， 几何体的体积是 VEABGVAEFHGVBEFHGVFABEVHABGVAEFHGVBEFHG VEABFVGABH， 因为 AB2 2，所以 BF4，BH2， 由(1)知 BFBH，所以 FH 42222 5， 过点 A，B 分别作 FH 的垂线，垂足分别为 A1，B1，则 AA1平面 EFHG，BB1 平面 EFHG. 计算得 AA1 AFAHsin 3 4 FH 2 5 5 ， BB1BHBF FH
16、4 5 5 ， 所以 VAEFHGVBEFHG1 32 22 5 2 5 5 4 5 58 2， 又 VEABF1 3 1 22 22 22 2 8 2 3 ， VGABH1 3 1 2222 2 4 2 3 ， 所以 VEABG8 28 2 3 4 2 3 4 2. 规律方法1.证明平面和平面垂直的方法： (1)面面垂直的定义； (2)面面垂直的判 定定理. 2.已知两平面垂直时， 一般要用性质定理进行转化， 在一个平面内作交线的垂线， 转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 【训练 2】 (2019长沙模拟)在多面体 CABDE 中，ABC 为等 边三角形，四边形 ABDE 为菱形，平
17、面 ABC平面 ABDE，AB 2，DBA 3. (1)求证：ABCD； (2)求点 B 到平面 CDE 的距离. (1)证明如图，取 AB 的中点 O，连接 CO，DO，DA. ABC 为等边三角形，COAB. 四边形 ABDE 为菱形， DBA 3， DAB 为等边三角形，DOAB. 又CODOO，AB平面 DOC. DC平面 DOC，ABCD. (2)解平面 ABDE平面 ABC，COAB， 平面 ABDE平面 ABCAB，CO平面 ABC， CO平面 ABDE. OD平面 ABDE，COOD. AB2，O 为 AB 的中点，BO1. 在 RtCOD 中，ODOC 3， CD OD2OC
18、2 6. 由(1)得 ABCD，又 EDAB，EDDC， SCDE1 2CDED 1 2 62 6. 由题意可得 SBDE1 222sin 120 3. 设点 B 到平面 CDE 的距离为 h. 由 VBCDEVCBDE，得 1 3S CDEh1 3S BDECO， 即1 3 6h 1 3 3 3，解得 h 6 2 . 故点 B 到平面 CDE 的距离为 6 2 . 考点三平行与垂直的综合问题多维探究 角度 1多面体中平行与垂直关系的证明 【例 31】 (2018北京卷)如图，在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD，PAPD， PAPD，E，F 分别为
19、AD，PB 的中点. (1)求证：PEBC； (2)求证：平面 PAB平面 PCD； (3)求证：EF平面 PCD. 证明(1)因为 PAPD，E 为 AD 的中点， 所以 PEAD. 因为底面 ABCD 为矩形， 所以 BCAD. 所以 PEBC. (2)因为底面 ABCD 为矩形， 所以 ABAD. 又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，AB平面 ABCD， 所以 AB平面 PAD. 又 PD平面 PAD，所以 ABPD. 又因为 PAPD，且 PAABA， 所以 PD平面 PAB.又 PD平面 PCD， 所以平面 PAB平面 PCD. (3)如图，取 PC 中
20、点 G，连接 FG，DG. 因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点， 所以 FGBC，FG1 2BC. 因为 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， 所以 DEBC，DE1 2BC. 所以 DEFG，DEFG. 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 所以 EFDG. 又因为 EF平面 PCD，DG平面 PCD， 所以 EF平面 PCD. 规律方法1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂 直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 角度 2空间位置关系与几何体的度量计算 【例 32】 (2019浙江卷)如图，已知三棱柱 A
21、BCA1B1C1， 平面 A1ACC1平面 ABC，ABC90，BAC30，A1A A1CAC，E，F 分别是 AC，A1B1的中点. (1)证明：EFBC； (2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值. (1)证明如图，连接 A1E. 因为 A1AA1C，E 是 AC 的中点， 所以 A1EAC. 又平面 A1ACC1平面 ABC，A1E平面 A1ACC1，平面 A1ACC1平面 ABCAC， 所以 A1E平面 ABC， 又 BC平面 ABC， 则 A1EBC. 又因为 A1FAB，ABC90，故 BCA1F. 又 A1EA1FA1，A1E，A1F平面 A1EF， 所以 BC平面
22、A1EF. 又 EF平面 A1EF，因此 EFBC. (2)解如图，取 BC 的中点 G，连接 EG，GF，则四边形 EGFA1是平行四边形. 由于 A1E平面 ABC，EG平面 ABC，故 A1EEG， 所以平行四边形 EGFA1为矩形. 由(1)得 BC平面 EGFA1，又 BC平面 A1BC， 则平面 A1BC平面 EGFA1， 所以 EF 在平面 A1BC 上的射影在直线 A1G 上. 连接 A1G 交 EF 于点 O， 则EOG 是直线 EF 与平面 A1BC 所成的角(或其补角). 不妨设 AC4，则在 RtA1EG 中，A1E2 3，EG 3. 由于 O 为 A1G 的中点，故
23、EOOGA1G 2 15 2 ， 所以 cos EOGEO 2OG2EG2 2EOOG 3 5. 因此，直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值是3 5. 规律方法利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、 计算”是完整统一过程，缺一不可. (1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线 面角转化到一个三角形中求解. (2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：定义法；垂 面法.注意利用等腰、等边三角形的性质. 【训练 3】 如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所 在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点 E
24、是 CD 边的 中点，点 F，G 分别在线段 AB，BC 上，且 AF2FB，CG 2GB. (1)证明：PEFG. (2)求二面角 PADC 的正切值. (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值. (1)证明因为 PDPC 且点 E 为 CD 的中点， 所以 PEDC. 又平面 PDC平面 ABCD，且平面 PDC平面 ABCDCD，PE平面 PDC，所 以 PE平面 ABCD， 又 FG平面 ABCD，所以 PEFG. (2)解由(1)知 PE平面 ABCD，PEAD， 又 ADCD，PECDE， AD平面 PDC，ADPD， PDC 为二面角 PADC 的平面角， 在 RtPDE
25、 中，PD4，DE3， PE 169 7，tanPDCPE DE 7 3 . 故二面角 PADC 的正切值为 7 3 . (3)解如图，连接 AC，AF2FB，CG2GB，ACFG. 直线 PA 与 FG 所成角即直线 PA 与 AC 所成角PAC. 在 RtPDA 中，PA2AD2PD225，PA5. 又 PC4. AC2CD2AD236945，AC3 5. 又 cosPACPA 2AC2PC2 2PAAC 254516 253 5 9 25 5. 所以直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为9 5 25 . 直观想象立体几何中的动态问题 1.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形
26、态与变化，利用空间形式 特别是图形，理解和解决数学问题的素养. 2.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角 的范围等. 3.一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲 线的定义推断出动点的轨迹. 【例 1】 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M、N 分别是直 线 CD、 AB 上的动点， 点 P 是A1C1D 内的动点(不包括边界)， 记直线 D1P 与 MN 所成角为，若的最小值为 3，则点 P 的轨 迹是() A.圆的一部分B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分 解析把 MN 平移到平面 A1B1C1D1中，直
27、线 D1P 与 MN 所成 角为，直线 D1P 与 MN 所成角的最小值是直线 D1P 与平面 A1B1C1D1所成角， 即原问题转化为： 直线 D1P 与平面 A1B1C1D1 所成角为 3，点 P 在平面 A 1B1C1D1的投影为圆的一部分，因为点 P 是A1C1D 内 的动点(不包括边界)，所以点 P 的轨迹是椭圆的一部分.故选 B. 答案B 【例 2】 如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 2 的正方 形，PA平面 ABCD，且 PA4，M 是 PB 上的一个动点(不 与 P，B 重合)，过点 M 作平面平面 PAD，截棱锥所得图 形的面积为 y，若平面与平面 PAD 之间的距离
28、为 x，则函数 yf(x)的图象是() 解析过 M 作 MNAB，交 AB 于 N，则 MN平面 ABCD，过 N 作 NQAD，交 CD 于 Q，过 Q 作 QHPD，交 PC 于 H， 连接 MH， 则平面 MNQH 是所作的平面， 由题意得2x 2 MN 4 ， 解得 MN42x，由CQ CD QH PD. 即2x 2 QH 2 5，解得 QH 5(2x)， 过 H 作 HENQ，在 RtHEQ 中，EQ HQ2HE22x， NE2(2x)x，MHx. yf(x)（x2）（42x） 2 x24(0 x0)，则 BD x21， 因为ABDDCB，所以AB CD AD BD，即 x 6 1
29、x21， 解得 x 2，故 AB 2，BD 3，BC3. 由于 AB平面 ADC，AC平面 ADC， 所以 ABAC，又 E 为 BC 的中点， 所以由平面几何知识得 AEBC 2 3 2， 因为 BDDC，E 为 BC 的中点，所以 DEBC 2 3 2， 所以 SADE1 21 3 2 2 1 2 2 2 2 . 因为 DC平面 ABD， 所以 VABCDVCABD1 3CDS ABD 3 3 . 设点 B 到平面 ADE 的距离为 d. 则由 1 3dS ADEVBADEVABDE1 2V ABCD 3 6 ， 得 d 6 2 ， 即点 B 到平面 ADE 的距离为 6 2 . C 级创
30、新猜想 15.(多选题)(2020山东联考)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，F 是棱 A1D1上动点，下列说法正确的是() A.对任意动点 F，在平面 ADD1A1内存在与平面 CBF 平行的直 线 B.对任意动点 F，在平面 ABCD 内存在与平面 CBF 垂直的直线 C.当点 F 从 A1运动到 D1的过程中，FC 与平面 ABCD 所成的角变大 D.当点 F 从 A1运动到 D1的过程中，点 D 到平面 CBF 的距离逐渐变小 解析因为 AD 在平面 ADD1A1内，且平行平面 CBF，故 A 正确；平面 CBF 即 平面 A1D1CB，又平面 A1D1CB 与平面 ABC
31、D 相交，所以平面 ABCD 内不存在与 平面 CBF 垂直的直线，故 B 错误；F 到平面 ABCD 的距离不变且 FC 变小，FC 与平面 ABCD 所成角变大，故 C 正确；平面 CBF 即平面 A1D1CB，点 D 到平面 A1D1CB 的距离为定值，故 D 错误，故选 AC. 答案AC 16.(开放题)(2019北京卷)已知 l，m 是平面外的两条不同直线.给出下列三个论 断： lm；m；l. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： _. 解析已知 l，m 是平面外的两条不同直线，由lm 与m，不能推出 l，因为 l 可以与平行，也可以相交不垂直；由lm 与l能推出 m；由m与l可以推出lm.故正确的命题是或 . 答案若 m，l，则 lm(或若 lm，l，则 m，答案不唯一)
