1、高考专题突破五高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题高考中的圆锥曲线问题 第第 1 课时课时范围与最值问题范围与最值问题 题型一 范围问题 例 1 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率 e 3 2 ，直线 x 3y10 被以椭圆 C 的短轴 为直径的圆截得的弦长为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 M(4,0)的直线 l 交椭圆于 A，B 两个不同的点，且|MA|MB|，求的取值范围 解(1)因为原点到直线 x 3y10 的距离为1 2. 所以 1 2 2 3 2 2b2(b0)，解得 b1. 又 e2c 2 a21 b2 a2 3 4，得 a2. 所以椭圆 C
2、的方程为x 2 4 y21. (2)当直线 l 的斜率为 0 时，|MA|MB|12. 当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l：xmy4，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程 xmy4， x2 4 y21， 得(m24)y28my120. 由64m248(m24)0，得 m212， 所以 y1y2 12 m24. |MA|MB| m21|y1| m21|y2|(m21)|y1y2|12m 21 m24 12 1 3 m24 . 由 m212，得 0 3 m24 3 16，所以 39 4 0)，过 A，B 分别作 x 轴的垂线，与抛物线 y22px(p0)在第一象限分别交于 D，C
3、 两点 (1)若 ap，点 A 与抛物线 y22px 的焦点重合，求直线 CD 的斜率； (2)若 O 为坐标原点，记OCD 的面积为 S1，梯形 ABCD 的面积为 S2，求S1 S2的取值范围 解(1)由题意知 A p 2，0， 则 B p 2a，0，D p 2，p，则 C p 2a， p 22pa ， 又 ap，所以 kCD 3pp 3p 2 p 2 31. (2)设直线 CD 的方程为 ykxb(k0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由 ykxb， y22px， 得 ky22py2pb0， 所以4p28pkb0，得 kb0，y1y22pb k 0， 可知 k0，b0， 因为|C
4、D| 1k2|x1x2|a 1k2， 点 O 到直线 CD 的距离 d |b| 1k2， 所以 S11 2a 1k 2 |b| 1k2 1 2ab. 又 S21 2(y 1y2)|x1x2|1 2 2p k aap k ， 所以S1 S2 kb 2p， 因为 0kbp 2，所以 0 S1 S2b0)过点 M(2,3)，点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为1 2. (1)求 C 的方程； (2)点 N 为椭圆上任意一点，求AMN 的面积的最大值 解(1)由题意可知直线 AM 的方程为 y31 2(x2)， 即 x2y4. 当 y0 时，解得 x4， 所以 a4. 由椭圆 C：x 2 a2 y2
5、 b21(ab0)过点 M(2,3)， 可得 4 16 9 b21，解得 b 212. 所以 C 的方程为x 2 16 y2 121. (2)设与直线 AM 平行的直线方程为 x2ym. 如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N，此时AMN 的面积取得最大值 联立 x2ym， x2 16 y2 121， 可得 3(m2y)24y248， 化简可得 16y212my3m2480， 所以144m2416(3m248)0， 即 m264，解得 m8， 与 AM 距离比较远的直线方程为 x2y8， 点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离， 即 d 84 14
6、 12 5 5 ， 由两点之间的距离公式可得 |AM| 242323 5. 所以AMN 的面积的最大值为1 23 5 12 5 5 18. 命题点 2代数法求最值 例 3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，圆 O 交 x 轴于点 F1，F2，交 y 轴于点 B1，B2， 以 B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆 E 恰好经过点 1， 2 2 . (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)设经过点(2,0)的直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，求F2MN 的面积的最大值 解(1)由题意得椭圆 E 的焦点在 x 轴上 设椭圆 E 的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，
7、焦距为 2c，则 bc， a2b2c22b2，椭圆 E 的标准方程为 x2 2b2 y2 b21. 椭圆 E 经过点 1， 2 2 ， 1 2b2 1 2 b2 1，解得 b21. 椭圆 E 的标准方程为x 2 2 y21. (2)点(2,0)在椭圆 E 外，直线 l 的斜率存在 设直线 l 的斜率为 k，则直线 l：yk(x2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 由 ykx2， x2 2 y21， 消去 y，得(12k2)x28k2x8k220. x1x2 8k2 12k2，x 1x28k 22 12k2， 64k44(12k2)(8k22)0，解得 0k20，故 x3 2，于是 y 5
8、 3 2 . 点 P 的坐标是 3 2， 5 3 2. (2)由(1)可得直线 AP 的方程是 x 3y60，点 B(6,0) 设点 M 的坐标是(m,0)，则点 M 到直线 AP 的距离是|m6| 2 ， 于是|m6| 2 |m6|， 又6m6，解得 m2. 由椭圆上的点(x，y)到点 M 的距离为 d， 得 d2(x2)2y2x24x4205 9x 24 9 x9 2 215， 由于6x6， 由 f(x)4 9 x9 2 215 的图象可知， 当 x9 2时，d 取最小值，且最小值为 15. 课时精练课时精练 1设椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左顶点为 A，上顶点为 B，
9、已知直线 AB 的斜率为 1 2，|AB| 5. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l：xmy1 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，且点 O 在以 MN 为直径的圆外(其 中 O 为坐标原点)，求 m 的取值范围 解(1)由已知得 A(a,0)，B(0，b)， b a 1 2， a2b2 5， 可得 a24，b21， 则椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由 xmy1， x2 4 y21， 得(m24)y22my30. (2m)212(4m2)16m2480， y1y2 2m m24，y 1y2 3 m24， 由题意得MON 为锐角
10、，即OM ON 0， OM ON x1x2y1y20， 又 x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)1. x1x2y1y2(1m2)y1y2m(y1y2)1(1m2) 3 4m2 2m2 4m21 14m2 4m2 0， m21 4，解得 1 2m0)的焦点分别为 F1， F2，点 P(1，1)且 F1F2OP(O 为坐标原点) (1)求抛物线 C2的方程； (2)过点 O 的直线交 C1的下半部分于点 M，交 C2的左半部分于点 N，求PMN 面积的最小 值 解(1)F1(1,0)，F2 0，p 2 ，F1F2 1，p 2 ， F1F2 OP 1，p 2 (1，1)1p 2
11、0， p2，抛物线 C2的方程为 x24y. (2)设过点 O 的直线 MN 的方程为 ykx(kb0)的两个焦点，P 为 C 上的点，O 为 坐标原点 (1)若POF2为等边三角形，求 C 的离心率； (2)如果存在点 P，使得 PF1PF2，且F1PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围 解(1)连接 PF1(图略) 由POF2为等边三角形可知，在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1| 3c， 于是 2a|PF1|PF2|( 31)c， 故 C 的离心率为 ec a 31. (2)由题意可知，若满足条件的点 P(x，y)存在， 则1 2|y|2c16， y x
12、c y xc1， 即 c|y|16， x2y2c2， 又x 2 a2 y2 b21. 由及 a2b2c2得 y2b 4 c2. 又由知 y216 2 c2 ，故 b4. 由及 a2b2c2得 x2a 2 c2(c 2b2)， 所以 c2b2，从而 a2b2c22b232， 故 a4 2. 当 b4，a42时，存在满足条件的点 P. 所以 b4，a 的取值范围为4 2，) 4椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 6 3 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设斜率存在的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点， 坐标原点 O 到直线 l 的
13、距离为 3 2 ， 求AOB 面积的最大值 解(1)设椭圆的半焦距为 c，依题意知 c a 6 3 ， a 3， c 2，b1，所求椭圆方程为x 2 3 y21. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设直线 AB 的方程为 ykxm. 由已知 |m| 1k2 3 2 ，得 m23 4(k 21) 把 ykxm 代入椭圆方程，整理，得(3k21)x26kmx3m230. 36k2m24(3k21)(3m23)36k212m2120. x1x26km 3k21，x 1x23m 21 3k21 . |AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2) 36k2m2 3k212 12m21 3k2
14、1 12k 213k21m2 3k212 3k 219k21 3k212 3 12k2 9k46k213 12 9k21 k26 (k0) 3 12 2364. 当且仅当 9k21 k2，即 k 3 3 时等号成立 当 k0 时，|AB| 3，综上所述|AB|max2. 当|AB|最大时，AOB 的面积取得最大值 S1 2|AB| max 3 2 3 2 . 5已知椭圆的两个焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，且椭圆与直线 yx 3相切 (1)求椭圆的方程； (2)过 F1作两条互相垂直的直线 l1，l2，与椭圆分别交于点 P，Q 及 M，N，求四边形 PMQN 面积的最小值 解(1)设椭
15、圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 因为它与直线 yx 3只有一个公共点， 所以方程组 x2 a2 y2 b21， yx 3 只有一组解， 消去 y，整理得(a2b2)x22 3a2x3a2a2b20. 所以(2 3a2)24(a2b2)(3a2a2b2)0， 化简得 a2b23. 又焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)， 所以 a2b21，联立上式解得 a22，b21. 所以椭圆的方程为x 2 2 y21. (2)若直线 PQ 的斜率不存在(或为 0)， 则 S四边形PMQN|PQ|MN| 2 211 22 2 2 2. 若直线 PQ 的斜率存在，设为 k(k0)， 则直线 M
16、N 的斜率为1 k. 所以直线 PQ 的方程为 ykxk， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立方程得 x2 2 y21， ykxk， 化简得(2k21)x24k2x2k220， 则 x1x2 4k2 2k21，x 1x22k 22 2k21， 所以|PQ| 1k2|x1x2| 1k216k442k222k21 2k21 2 2 k21 2k21， 同理可得|MN|2 2k 21 2k2. 所以 S四边形PMQN|PQ|MN| 2 4 k212 2k22k214 k42k21 2k45k224 1 2 1 2k 2 2k45k22 4 1 2 k2 4k410k24 4 1 2 1 4k24 k210. 因为 4k24 k2102 4k24 k21018(当且仅当 k 21 时取等号)， 所以 1 4k24 k210 0， 1 18 ，所以 4 1 2 1 4k24 k210 16 9 ，2 . 综上所述，四边形 PMQN 面积的最小值为16 9 .
