1、6.2等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和 考试要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体 的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次 函数、二次函数的关系 1等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示，定义表达式为 an an1d(常数)(n2，nN*)或 an1and(常数)(nN*) (2)等差中项 若三个数，a，A，b 成等差数列，则 A 叫做
2、 a 与 b 的等差中项，且有 Aab 2 . 2等差数列的有关公式 (1)通项公式：ana1(n1)d. (2)前 n 项和公式：Snna1nn1 2 d 或 Snna1an 2 . 3等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*) (2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman. (3)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列 (4)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列 (5)S2n1(2n1)an. (6)等差数列an的前 n 项和为 Sn， Sn n 为
3、等差数列 微思考 1等差数列的前 n 项和 Sn是项数 n 的二次函数吗？ 提示不一定当公差 d0 时，Snna1，不是关于 n 的二次函数 2若数列的前 n 项和为 SnAn2BnC(A0)，则这个数列一定是等差数列吗？ 提示不一定当 C0 时是等差数列. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的() (2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列() (3)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有 2an1anan2.() (4)已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数
4、)，则数列an一定是等差数 列() 题组二教材改编 2已知在等差数列an中，a23，a35，则 a9_. 答案17 解析da3a22，a9a36d56(2)17. 3已知在等差数列an中，a4a820，a712，则 d_. 答案2 解析a4a820，a13da17d20， 即 a15d10， a7a16d12， 得 d2. 4已知an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a32，且 S630，则 S9_. 答案126 解析由已知可得 a12d2， 2a15d10， 解得 a110， d6. S99a198 2 d90366126. 题组三易错自纠 5(多选)设an是等差数列，Sn是其前 n
5、项的和，且 S5S8，则下列结论正确的是 () AdS5 DS6与 S7均为 Sn的最大值 答案ABD 解析S6S5a6S5，则 a60，S7S6a7S6，则 a70，则 da7a60，S8S7a8S7， a80，则 a9S9， 由 a70，a60 知 S6，S7是 Sn中的最大值 从而 ABD 均正确 6在等差数列an中，|a3|a9|，公差 d0，a50，故 Sn取最大值时 n 的值为 5 或 6. 题型一 等差数列基本量的运算 1(多选)(2019全国改编)记 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 S40，a55，则下列选 项正确的是() Aa2a30Ban2n5 CSnn(n4)Dd2
6、 答案ABC 解析S44a1a4 2 0，a1a4a2a30，A 正确； a5a14d5， a1a4a1a13d0， 联立得 d2， a13， an3(n1)22n5，B 正确，D 错误； Sn3nnn1 2 2n24n，C 正确，故选 ABC. 2 (2020全国)记 Sn为等差数列an的前 n 项和 若 a12， a2a62， 则 S10_. 答案25 解析设等差数列an的公差为 d， 则 a2a62a16d2. 因为 a12，所以 d1. 所以 S1010(2)109 2 125. 3(2020上海)已知an是公差不为零的等差数列，且 a1a10a9，则a1a2a9 a10 _. 答案
7、27 8 解析a1a10a9，a1a19da18d， 即 a1d， a1a2a9S99a198 2 d27d， a10a19d8d，a1a2a9 a10 27 8 . 4 (2020新高考全国)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an， 则an 的前 n 项和为_ 答案3n22n 解析方法一(观察归纳法) 数列2n1的各项为 1,3,5,7,9,11,13，； 数列3n2的各项为 1,4,7,10,13，. 观察归纳可知，两个数列的公共项为 1,7,13，是首项为 1，公差为 6 的等差数列， 则 an16(n1)6n5. 故前 n 项和为 Snna1an 2 n16n5 2 3n
8、22n. 方法二(引入参变量法) 令 bn2n1，cm3m2，bncm， 则 2n13m2，即 3m2n1，m 必为奇数 令 m2t1，则 n3t2(t1,2,3，) atb3t2c2t16t5，即 an6n5. 以下同方法一 思维升华 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，n，d，an，Sn，知道其中 三个就能求出另外两个(简称“知三求二”) (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项 a1和公差 d. 题型二 等差数列的判定与证明 例 1 (2020烟台模拟)已知在数列an中，a11，an2an11(n2，nN*) (1)记 bnlog2(an1)，判断b
9、n是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列an的通项公式 解(1)bn是等差数列，理由如下：b1log2(a11)log221， 当 n2 时，bnbn1log2(an1)log2(an11)log2 an1 an11log 22a n12 an11 1， bn是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 (2)由(1)知，bn1(n1)1n， an12 n b 2n，an2n1. 若本例中已知条件改为“a12， (n2)an(n1)an12(n23n2) ”试判断 an n1 是否为等差数列，并说明理由 解数列 an n1 为等差数列，理由如下： 由已知得，(n2)an(n1)an12(n2)(
10、n1)，即 an n1 an1 n22， an1 n2 an n12，首项为 a1 111， an n1 是以 1 为首项，公差 d2 的等差数列 思维升华 判断数列an是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意 nN*，an1an是同一常数 (2)等差中项法：对任意 n2，nN*，满足 2anan1an1. (3)通项公式法：对任意 nN*，都满足 anpnq(p，q 为常数) (4)前 n 项和公式法：对任意 nN*，都满足 SnAn2Bn(A，B 为常数) 跟踪训练 1 记首项为 1 的数列an的前 n 项和为 Sn，且当 n2 时，an(2Sn1)2S2n. (1)证明：数列 1 Sn
11、是等差数列； (2)求数列an的通项公式 (1)证明当 n2 时，an(2Sn1)2S2n， 即(SnSn1)(2Sn1)2S2n，即 2S2nSn2SnSn1Sn12S2n， 故SnSn12SnSn1，故 1 Sn 1 Sn12， 易知 1 S1 1 a11，故 1 Sn是首项为 1，公差为 2 的等差数列 (2)解由(1)可知， 1 Sn2n1，故 S n 1 2n1， 所以 anSnSn1 1 2n1 1 2n3 2 2n12n3(n2)， 当 n1 时，上式不成立， 所以 an 1，n1， 2 2n12n3，n2. 题型三 等差数列性质的应用 命题点 1等差数列项的性质 例 2 (1)
12、(2021淄博模拟)设 Sn为等差数列an的前 n 项和，且 4a5a6a4，则 S9等于() A72B36C18D9 答案B 解析a6a42a5， a54， S99a1a9 2 9a536. (2)(2020临沂质检)在等差数列an中，若 a2a4a6a8a1080，则 a71 2a 8的值为() A4B6C8D10 答案C 解析a2a4a6a8a105a680， a616，又 a6a82a7， a71 2a 61 2a 8， 即 a71 2a 81 2a 68，选 C. 命题点 2等差数列和的性质 例 3 (1)已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a12 020，S2 020 2
13、020 S2 014 2 0146，则 S 2 023等于 () A2 023B2 023 C4 046D4 046 答案C 解析 Sn n 为等差数列，设公差为 d， 则S2 020 2 020 S2 014 2 0146d6，d1， 首项为S1 1 2 020， S2 023 2 0232 020(2 0231)12， S2 0232 02324 046，故选 C. (2)(2020全国)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层上层中心有一块 圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环， 向外每环依次增加 9 块 下 一层的第一环比上一层的最后一环多 9
14、块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同， 且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)() A3 699 块B3 474 块 C3 402 块D3 339 块 答案C 解析设每一层有 n 环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为 d9，首项为 a19 的 等差数列由等差数列的性质知 Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，且(S3nS2n)(S2nSn) n2d，则 9n2729，解得 n9， 则三层共有扇面形石板 S3nS272792726 2 93 402(块) 思维升华 一般地，运用等差数列的性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，等差 数列的性质是
15、解题的重要工具 跟踪训练 2(1)等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意正整数 n 都有Sn Tn 2n1 3n2，则 a11 b6b10 a5 b7b9的值为_ 答案 29 43 解析 a11 b6b10 a5 b7b9 a11a5 2b8 2a8 2b8 a8 b8， a8 b8 S281 T281 S15 T15 2151 3152 29 43. (2)设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 S61，S124，则 S18_. 答案9 解析在等差数列中，S6，S12S6，S18S12成等差数列，S61，S124，1,3，S184 成 公差为 2 的等差数列，即 S1
16、845，S189. 课时精练课时精练 1已知an是等差数列，且 a2a5a8a1148，则 a6a7等于() A12B16C20D24 答案D 解析由等差数列的性质可得 a2a5a8a112(a6a7)48，则 a6a724，故选 D. 2数列an的前 n 项和 Snn(2n1)，若 kl4(k，lN*)，则 akal等于() A4B8C16D32 答案C 解析Snn(2n1)， 数列an是公差为 4 的等差数列， kl4， akal4416. 故选 C. 3已知数列an满足 a11，an1ranr(nN*，rR，r0)，则“r1”是“数列an为 等差数列”的() A充分不必要条件B必要不充分
17、条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析当 r1 时，an1ranran1an1， 数列an为公差为 1 的等差数列，即充分性成立； an1ranr，a11，a22r，a32r2r， 若数列an为等差数列， 则 4r12r2r，r1 或 r1 2， 即必要性不成立， 综上，“r1”是“数列an为等差数列”的充分不必要条件，故选 A. 4我国南北朝时的数学著作张邱建算经有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金 以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到 者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低 的九等人所
18、得黄金() A多 8 21斤 B少 8 21斤 C多1 3斤 D少1 3斤 答案A 解析设十等人得金从高到低依次为 a1，a2，a10， 则an为等差数列， 设公差为 d，则由题意可知 a1a2a34， a8a9a103， a24 3，a 91， da9a2 7 1 21， a1a98d 8 21. 即等级较高一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多 8 21斤 5(多选)等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，当首项 a1和 d 变化时，a3a8a13是一 个定值，则下列各数也为定值的有() Aa7Ba8CS15DS16 答案BC 解析由等差中项的性质可得 a3a8a133a8为定
19、值，则 a8为定值，S1515 (a 1a15) 2 15a8 为定值，但 S1616 (a 1a16) 2 8 (a 8a9)不是定值 故选 BC. 6 (多选)已知an为等差数列， 其前 n 项和为 Sn， 且 2a13a3S6， 则以下结论正确的是() Aa100BS10最小 CS7S12DS190 答案ACD 解析2a13a3S6，2a13a16d6a115d， a19d0，即 a100，A 正确； 当 d5 时，an0， 则 Tn|a1|a2|an| a1a2a5(a6a7an) S5(SnS5)2S5Sn 2(9525)(9nn2)n29n40； 当 n5 时，an0， 则 Tn|
20、a1|a2|an| a1a2an9nn2， Tn 9nn2，n5，nN*， n29n40，n6，nN*. 12(2020沈阳模拟)已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，S22，S36. (1)求数列an的通项公式及前 n 项和 Sn； (2)是否存在正整数 n，使 Sn，Sn22n，Sn3成等差数列？若存在，求出 n；若不存在，请说 明理由 解(1)S22，S36， 2a1d2， 3a132 2 d6， 解得 a14， d6， an4(n1)(6)6n10， Sn4nnn1 2 (6)3n27n. (2)假设存在 n，使 Sn，Sn22n，Sn3成等差数列， 则 2(Sn22n)SnSn3，
21、 23(n2)27(n2)2n3n27n7(n3)3(n3)2， 解得 n5. 13已知数列an是等差数列，若 a93a110，a10a110，且数列an的前 n 项和 Sn有最大值， 那么 Sn取得最小正值时 n 等于() A20B17C19D21 答案C 解析因为 a93a110， 所以 a9a112a11a9a11a10a122(a11a10)0 ， 所以 a10a110. 因为 a10a110，a110，而 S2010(a10a11)0， 进而可得 Sn取得最小正值时 n19. 故选 C. 14已知数列an满足 a12，a23，且 an2an1(1)n，nN*，则该数列的前 9 项之
22、和为_ 答案34 解析an2an1(1)n，nN*， 当 n 为奇数时，a2n1a2n10， 则数列a2n1是常数列，a2n1a12； 当 n 为偶数时，a2n2a2n2， 则数列a2n是以 a23 为首项，2 为公差的等差数列， a1a2a9 (a1a3a9)(a2a4a8) 25 3443 2 2 34. 15(多选)设正项等差数列an满足(a1a10)22a2a920，则() Aa2a9的最大值为 10Ba2a9的最大值为 2 10 C. 1 a22 1 a29的最大值为 1 5 Da42a 4 9的最小值为 200 答案ABD 解析因为正项等差数列an满足(a1a10)22a2a920
23、， 所以(a2a9)22a2a920， 即 a22a2920. a2a9a 2 2a29 2 20 2 10，当且仅当 a2a9 10时成立，故 A 选项正确； 由于 a2a9 2 2a 2 2a29 2 10，所以a2a9 2 10，a2a92 10，当且仅当 a2a9 10时成 立，故 B 选项正确； 1 a22 1 a29 a22a29 a22a29 20 a22a29 20 a22a29 2 2 20 102 1 5，当且仅当 a 2a9 10时成立，所以 1 a22 1 a29的最 小值为1 5，故 C 选项错误； 结合的结论，有 a42a49(a22a29)22a22a294002
24、a22a294002102200，当且仅当 a2a9 10时成立，故 D 选项正确 16在等差数列an中，a3a44，a5a76. (1)求an的通项公式； (2)设bnan， 求数列bn的前 10 项和， 其中x表示不超过 x 的最大整数， 如0.90， 2.6 2. 解(1)设数列an的公差为 d，由题意有 2a15d4，a15d3， 解得 a11，d2 5， 所以an的通项公式为 an2n3 5 . (2)由(1)知，bn 2n3 5， 当 n1,2,3 时，12n3 5 2，bn1； 当 n4,5 时，22n3 5 3，bn2； 当 n6,7,8 时，32n3 5 4，bn3； 当 n9,10 时，42n3 5 5，bn4. 所以数列bn的前 10 项和为 1322334224.
