1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 1 节任意角、弧度制及任意角的三角函数 知 识 梳 理 1角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 成的图形 (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 S |k360，kZ 2弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的
2、角，弧度记作 rad. (2)公式 角的弧度数公式|l r(弧长用 l 表示) 角度与弧度的换算 1 180 rad；1 rad 180 弧长公式弧长 l|r 扇形面积公式S1 2lr 1 2|r 2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3.任意角的三角函数 三角函数正弦余弦正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 y 叫做的正弦， 记作 sin x叫做的余弦， 记作cos y x叫做的正切，记作 tan 各 象 限 符 号
3、三角函数 线 有向线段MP为 正弦线 有向线段 OM 为余弦线有向线段 AT 为正切线 1象限角 2轴线角 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)小于 90的角是锐角() (2)锐角是第一象限角，反之亦然() (3)将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是 30.() (4)若 0， 2 ，则 tan sin .() (5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等() 答案(1)(2)(3)(4)(5) 解
4、析(1)锐角的取值范围是 0， 2 . (2)第一象限角不一定是锐角 (3)顺时针旋转得到的角是负角 (5)终边相同的角不一定相等 2角870的终边所在的象限是() A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 答案C 解析由8703360210，知870角和 210角的终边相同，在第三象 限 3下列与9 4 的终边相同的角的表达式中正确的是() A2k45(kZ)Bk3609 4(kZ) Ck360315(kZ)Dk5 4 (kZ) 答案C 解析与9 4 的终边相同的角可以写成 2k9 4 (kZ)， 但是角度制与弧度制不能混 用，所以只有 C 正确 4已知角的终边经过点(4，3)，则 cos
5、 () A.4 5 B.3 5 C3 5 D4 5 答案D 解析角的终边经过点(4，3)， x4，y3，r5.cos x r 4 5，故选 D. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 5 (必修 4P10A6 改编)一条弦的长等于半径， 这条弦所对的圆心角大小为_ 弧度 答案 3 解析该弦与两条半径构成等边三角形，故圆心角为 60，即 3. 6 (2021镇海中学模拟)已知扇形 AOB 的周长是 6 cm， 该扇形的中心角是 1 弧度， 则该扇形的面积为_c
6、m2. 答案2 解析设扇形的半径为 r，则由扇形的中心角为 1 弧度得扇形的弧长为 r，则扇形 的周长为 rrr6，解得 r2(cm)，则扇形的面积为 1 2lr 1 2r 2 2(cm2). 考点一角的概念及其集合表示 【例 1】 (1)若角是第二象限角，则 2是( ) A第一象限角B第二象限角 C第一或第三象限角D第二或第四象限角 (2)终边在直线 y 3x 上，且在2，2)内的角的集合为_ 答案(1)C(2) 5 3， 2 3， 3， 4 3 解析(1)是第二象限角， 22k2k，kZ， 4k 2 2k，kZ. 当 k 为偶数时， 2是第一象限角； 当 k 为奇数时， 2是第三象限角 (
7、2)如图，在坐标系中画出直线 y 3x，可以发现它与 x 轴的夹角是 3，在0，2) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 内，终边在直线 y 3x 上的角有两个： 3， 4 3；在2，0)内满足条件的角有两 个：2 3， 5 3，故满足条件的角构成的集合为 5 3， 2 3， 3， 4 3. 感悟升华(1)利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的 终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角 (2)确定 k， k
8、(kN *)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角的范围，再写出 k或 k的范围，然后根据 k 的 可能取值讨论确定 k或 k的终边所在位置 【训练 1】 (1)(一题多解)设集合 M x|xk 218045， kZ )，N x|xk 418045，kZ，那么() AMNBMN CNMDMN (2)集合 |k 4k 2，kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是() 答案(1)B(2)C 解析(1)法一由于 M x|xk 218045，kZ，45，45，135， 225， N x|xk 418045，kZ， 45， 0， 45， 90， 135， 180， 225， ， 显然有 MN，故选
9、B. 法二由于 M 中，xk 218045k9045(2k1)45，2k1 是奇数； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 而 N 中， xk 418045k4545(k1)45， k1 是整数， 因此必有 MN， 故选 B. (2)当 k2n(nZ)时，2n 42n 2，此时表示的范围与 4 2表示的范 围一样； 当 k2n1(nZ)时，2n5 4 2n3 2 ，此时表示的范围与5 4 3 2 表 示的范围一样，故选 C. 考点二弧度制及其应用 【例 2】
10、 已知一扇形的圆心角为，半径为 R，弧长为 l. (1)若60，R10 cm，求扇形的弧长 l； (2)已知扇形的周长为 10 cm，面积是 4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为 20 cm， 当扇形的圆心角为多少弧度时， 这个扇形的面积最大？ 解(1)60 3 rad，lR 310 10 3 (cm) (2)由题意得 2RR10， 1 2R 24， 解得 R1， 8 (舍去)， R4， 1 2. 故扇形圆心角为1 2. (3)由已知得，l2R20(cm) 所以 S1 2lR 1 2(202R)R10RR 2(R5)225，所以当 R5 时，S 取得最 大值 25(cm2)， 此时
11、 l10，2. 感悟升华应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问 题得到解决 (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 【训练 2】 已知一扇形的圆心角为 (0)，所在圆的半径为 R. (1)若90，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值 C (C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资
12、源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解(1)设弧长为 l，弓形面积为 S弓，则 90 2，R10，l 2105(cm)， S弓S扇S1 2510 1 210 22550(cm2) (2)扇形周长 C2Rl2RR，R C 2， S 扇1 2R 21 2 C 2 2 C 2 2 1 442 C2 2 1 44 C 2 16. 当且仅当24， 即2 时，扇形面积有最大值C 2 16. 考点三三角函数的概念 【例 3】 (1)已知角的终边过点 P(8m，6sin 30)，且 cos 4 5，则 m 的值 为() A1 2 B.1 2 C 3 2 D. 3 2 (2)(2020全国
13、卷)若为第四象限角，则() Acos 20Bcos 20Dsin 20 (3)(2018北京卷)在平面直角坐标系中， AB ， CD ， EF ， GH 是圆 x2y21 上的四段弧 (如图)，点 P 在其中一段上，角以 Ox 为始边，OP 为终边若 tan cos 0， 4m2 64m29 1 25， 即 m1 2，故选 B. (2)是第四象限角，sin 0，sin 22sin cos 0，故选 D. (3)设点 P 的坐标为(x，y)，tan cos sin ，利用三角函数的定义可得y xxy， 所以1x0，0ybcBbac CacbDcab (3)满足 cos 1 2的角的集合为_ 答案
14、(1)C(2)A (3) |2k2 32k 4 3，kZ 解析(1)由|OP|21 4y 21，得 y23 4，y 3 2 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 y 3 2 时，sin 3 2 ，tan 3， 此时，sin tan 3 2. 当 y 3 2 时，sin 3 2 ，tan 3， 此时，sin tan 3 2. (2)当 2， 3 4 时，sin 2 2 ，1 ，cos 2 2 ，0 ，tan (，1)， 所以 sin cos tan ，
15、 即 abc，故选 A. (3)作直线 x1 2交单位圆于 C，D 两点，连接 OC，OD，则 OC 与 OD 围成的区 域 ( 图 中 阴 影 部 分 ) 即 为 角 终 边 的 范 围 ， 故 满 足 条 件 的 角 的 集 合 为 |2k2 32k 4 3，kZ. 基础巩固题组 一、选择题 1已知角的终边经过点 P(4，m)，且 sin 3 5，则 m( ) A3B3C.16 3 D3 答案B 解析sin m 16m2 3 5，易知 m0，解得 m3. 2(2021北京东城区综合练习)九章算术成书于公元一世纪，是中国古代乃至 东方的第一部自成体系的数学专著书中记载这样一个问题“今有宛田，
16、下周三 十步，径十六步问为田几何？”(一步1.5 米)意思是现有扇形田，弧长为 45 米，直径为 24 米，那么扇形田的面积为() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A135 平方米B270 平方米 C540 平方米D1 080 平方米 答案B 解析根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为 S1 2lr 1 245 24 2 270(平方米) 3已知点 P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边所在的象限为() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限
17、 答案B 解析由题意知 tan 0，cos 0，是第二象限角 4给出下列四个命题： 3 4 是第二象限角；4 3 是第三象限角；400是第四象限角；315是 第一象限角 其中正确的命题有() A1 个B2 个C3 个D4 个 答案C 解析3 4 是第三象限角， 故错误.4 3 3， 从而 4 3 是第三象限角， 正确 40036040，从而正确31536045，从而正确 5点 P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2 3 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐 标为() A. 1 2， 3 2B. 3 2 ，1 2 C. 1 2， 3 2D. 3 2 ，1 2 答案A 解析由三角函数定义可知Q
18、点的坐标(x， y)满足xcos 2 3 1 2， ysin 2 3 3 2 . 6若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 () A. 3 B. 2 C. 3D2 答案C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析设圆半径为 r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3rr， 3. 7设是第三象限角，且|cos 2|cos 2，则 2是( ) A第一象限角B第二象限角 C第三象限角D第四象限角 答案B 解析由是第三象限角，知 2为第二或
19、第四象限角， |cos 2|cos 2，cos 20，综上知 2为第二象限角 8已知角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线 y2x 上，则 cos 2() A4 5 B3 5 C.3 5 D.4 5 答案B 解析由题意知 tan 2，即 sin 2cos，将其代入 sin2cos21 中可得 cos21 5，故 cos 22cos 213 5. 二、填空题 9.已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)， 则角用集合可表示 为_ 答案|2k 42k 5 6 ，kZ 解析在0，2)内，终边落在阴影部分角的集合为 4， 5 6， 所以，所求角的集合为 |2k 42k
20、 5 6 ，kZ . 10已知扇形的圆心角为 6，面积为 3，则扇形的弧长等于_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案 3 解析设扇形半径为 r，弧长为 l，则 l r 6， 1 2lr 3， 解得 l 3， r2. 11函数 y 2sin x1的定义域为_ 答案 2k 6，2k 5 6 (kZ) 解析2sin x10， sin x1 2. 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示) x 2k 6，2k 5 6 (kZ) 12在平面直角坐
21、标系 xOy 中，以 Ox 为始边的角的终边经过点 3 5， 4 5 ，则 sin _，tan 2_ 答案 4 5 24 7 解析 3 5 2 4 5 2 1，点 3 5， 4 5 在单位圆 x2y21 上，由三角函数的定义知 sin 4 5，cos 3 5，tan 4 3，tan 2 2tan 1tan2 24 3 1 4 3 2 24 7 . 13(2020台州评估测试)如图，过点 A(1，0)，B 0，1 2 两点的直线与单位圆 x2 y21 在第二象限的交点为 C，则点 C 的坐标为_； sin AOC9 4 _ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待
22、你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案 3 5， 4 5 7 2 10 解析因为 tan CAO1 2， 所以 sinCAO 5 5 ， cos CAO2 5 5 ， 所以 sinAOC sin(2CAO)sin 2CAO2sinCAOcosCAO4 5， 所以 cosAOC 3 5， 由三角函数的定义可知点 C 3 5， 4 5 ，所以 sin AOC9 4 sin AOC 4 2 2 (sin AOCcosAOC)7 2 10 . 14 若是第二象限角， 则 sin(cos )的符号为_， cos(sin )的符号为_
23、答案负正 解析是第二象限角， 1cos 0， 0sin 1， sin(cos )0. 能力提升题组 15设是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且 cos 1 5x，则 tan ( ) A.4 3 B.3 4 C3 4 D4 3 答案D 解析因为是第二象限角，所以 cos 1 5x0，即 x0. 又 cos 1 5x x x216， 解得 x3，所以 tan 4 x 4 3. 16已知圆 O：x2y24 与 y 轴正半轴的交点为 M，点 M 沿圆 O 顺时针运动 2弧 长到达点 N，以 ON 为终边的角记为，则 tan () A1B1C2D2 答案B 解析圆的半径为 2， 2的弧长对应的
24、圆心角为 4，故以 ON 为终边的角为2k 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4，kZ，故 tan 1. 17(2021上海徐汇区诊断)已知 t0，设点 P t 2 2 t ，1 是角终边上一点，当|OP | 最小时，cos 的值是() A 5 5 B. 5 5 C.2 5 5 D2 5 5 答案D 解析|OP | t 2 2 t 2 1 t2 4 4 t221 2 t2 4 4 t23 5， 当且仅当t 2 4 4 t2时取等号，t0，则实数 a 的取
25、 值范围是_ 答案(2，3 解析cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或 y 轴的非负半轴 上 3a90， a20， 2a3. 19某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点 O 旋转， 当时间 t0 时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合，将 A，B 两点的距离 d(单位： cm)表示成 t(单 位：s)的函数，则 d_(其中 t0，60)；d 的最大值为_cm. 答案10sint 60 10 解析根据题意得AOB t 602 t 30，故 d25sin AOB 2 10sin t 60(t0， 60)t0，60， t 60 0，当 t30 时，d 最
26、大为 10 cm. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 20.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时 圆上一点 P 的位置在(0，0)，圆在 x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1) 时，OP 的坐标为_ 答案(2sin 2，1cos 2) 解析如图， 作 CQx 轴， PQCQ, Q 为垂足 根据题意得劣弧DP 2， 故DCP 2，则在PCQ 中，PCQ2 2， |CQ|cos 2 2 sin 2，|PQ|sin 2 2 cos 2， 所以 P 点的横坐标为 2|CQ|2sin 2，P 点的纵坐标为 1|PQ|1cos 2，所 以 P 点的坐标为(2sin 2，1cos 2)，故OP (2sin 2，1cos 2)
