1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 2 节同角三角函数的基本关系式与诱导公式 知 识 梳 理 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21 (2)商数关系：sin cos tan_ 2三角函数的诱导公式 1特殊角的三角函数值 0 6 4 3 2 3 2 sin 0 1 2 2 2 3 2 101 cos 1 3 2 2 2 1 2 010 tan 0 3 3 13不存在0不存在 2.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇”与“偶”
2、指的是诱导公 式 k 2中的整数 k 是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化， 若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变“符号看象限” 指的是在 k 2中，将看成锐角时 k 2所在的象限 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)sin()sin 成立的条件是为锐角() (2)六组诱导公式中的角可以是任意角() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 2
3、的 奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化() (4)若 sin(k)1 3(kZ)，则 sin 1 3.( ) 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)对于R，sin()sin 都成立 (4)当 k 为奇数时，sin 1 3，当 k 为偶数时，sin 1 3. 2sin 600的值为() A1 2 B 3 2 C.1 2 D. 3 2 答案B 解析sin 600sin(360240)sin 240sin(18060)sin 60 3 2 . 3已知 sin 23 5， 2，则 tan () A.3 4 B3 4 C4 3 D.4 3 答案C 解析sin 2cos 3 5，又 2，则 sin
4、 1cos24 5，则 tan sin cos 4 3，故选 C. 4已知 sin cos 4 3， 0， 4 ，则 sin cos 的值为() A. 2 3 B 2 3 C.1 3 D1 3 答案B 解析sin cos 4 3，12sin cos 16 9 ， sin cos 7 18. 又(sin cos )212sin cos 2 9， 又 0， 4 ，sin cos 2 3 . 5(必修 4P22B3 改编)已知 tan 2，则sin cos sin cos 的值为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资
5、源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案3 解析原式tan 1 tan 1 21 213. 6(2020嘉兴期末)已知 P sin 5 6 ，cos 5 6 是角的终边上一点，则 cos _；角的最小正值是_ 答案 1 2 5 3 解析P sin 5 6 ，cos 5 6 是角的终边上一点，所以 cos sin 5 6 1 2，sin cos 5 6 3 2 ，所以2k5 3 (kZ)，所以当 k0 时，角取最小正值 5 3 . 考点一同角三角函数基本关系式的应用 【例 1】 (1)(2021浙江教育绿色评价联盟适考)已知为第二象限角，且 3sin cos 0，则 sin
6、 () A. 10 10 B.3 10 10 C 10 10 D3 10 10 (2)已知 sin cos 1 8，且 5 4 3 2 ，则 cos sin 的值为() A 3 2 B. 3 2 C3 4 D.3 4 (3)若 tan 3 4，则 cos 22sin 2( ) A.64 25 B.48 25 C1D.16 25 答案(1)A(2)B(3)A 解析(1)由 3sin cos ，两边平方得 9sin21sin2，则 sin 10 10 ，又 为第二角限角，所以 sin 0，则 sin 10 10 ，故选 A. (2)5 4 3 2 ， cos 0，sin sin ， cos sin
7、 0. 又(cos sin )212sin cos 121 8 3 4， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 cos sin 3 2 . (3)tan 3 4，则 cos 22sin 2cos 22sin 2 cos2sin2 14tan 1tan2 64 25. 感悟升华(1)利用 sin2cos21 可以实现角的正弦、 余弦的互化， 利用sin cos tan 可以实现角的弦切互化 (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos ，sin c
8、os ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二 (3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2. 【训练 1】 (1)已知 sin cos 2，(0，)，则 tan () A1B 2 2 C. 2 2 D1 (2)若 3sin cos 0，则 1 cos22sin cos 的值为( ) A.10 3 B.5 3 C.2 3 D2 (3)已知 sin 1 3，0，则 tan _， sin 2cos 2_ 答案(1)A(2)A(3) 2 4 2 3 3 解析(1)由 sin cos 2， sin2cos21
9、， 得：2cos22 2cos 10， 即( 2cos 1)20，cos 2 2 . 又(0，)，3 4 ，tan tan 3 4 1. (2)3sin cos 0cos 0tan 1 3 ， 1 cos22sin cos cos2sin2 cos22sin cos 1tan2 12tan 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1 1 3 2 12 3 10 3 . (3)因为 0，所以 tan sin cos sin2 cos2 sin2 1sin2 2
10、4 ，又 0 2 2，所以 sin 20， cos 2 0 ， 所以 sin 2 cos 2 sin 2cos 2 2 12sin 2cos 2 1sin 2 3 3 . 考点二诱导公式的应用 【例 2】 (1)化简：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)； (2)设 f() 2sin（）cos（）cos（） 1sin2cos 3 2 sin2 2 (12sin 0)， 求 f 23 6的 值 解(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050 sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)si
11、n(2360 330) sin 120cos 210cos 300sin 330 sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30 cos 60sin 30 3 2 3 2 1 2 1 21. (2)f()（2sin ） （cos ）cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos （12sin ） sin （12sin ） 1 tan ， f 23 6 1 tan 23 6 1 tan 4 6 1 tan 6 3. 感悟升华(1)诱导公式的两个应用 求值：负化正，大化小，化到锐角为终了 化简：统一角
12、，统一名，同角名少为终了 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)含 2整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2的整数倍的三角函数式中可直接将 2的整数倍去掉后再进行运算，如 cos(5)cos()cos . 【训练 2】 (1)已知 Asin（k） sin cos（k） cos (kZ)，则 A 的值构成的集 合是() A1，1，2，2B1，1 C2，2D1，1，0，2，2 (2)化简：tan（）cos（2）sin 3 2 co
13、s（）sin（） _ 答案(1)C(2)1 解析(1)当 k 为偶数时，Asin sin cos cos 2； k 为奇数时，Asin sin cos cos 2. (2)原式 tan cos （cos ） cos（）sin（） tan cos cos cos sin sin cos cos sin 1. 考点三诱导公式、同角三角函数关系式的综合 应用 【例 3】 (1)已知 tan 6 3 3 ，则 tan 5 6_ (2)已知 cos 5 121 3，且 2，则 cos 12() A.2 2 3 B.1 3 C1 3 D2 2 3 (3)若 1 sin 1 cos 3，则 sin cos
14、( ) A1 3 B.1 3 C1 3或 1 D.1 3或1 答案(1) 3 3 (2)D(3)A 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1) 5 6 6， tan 5 6 tan 6 tan 6 3 3 . (2)因为 5 12 12 2， 所以 cos 12sin 2 12 sin 5 12. 因为 2，所以 7 12 5 120，所以 2 5 12 12， 所以 sin 5 121cos2 5 12 1 1 3 2 2 2 3 . (3)由已知得
15、 sin cos 3sin cos ， 12sin cos 3sin2cos2， (sin cos 1)(3sin cos 1)0， sin cos 1 2sin 2 1 2， sin cos 1 3. 感悟升华(1)常见的互余的角： 3与 6； 3与 6； 4与 4等 (2)常见的互补的角： 3与 2 3 ； 4与 3 4 等 【 训练3】(1) 已知sin 3 1 2 ，则cos 6 _ _. (2)设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)sin x，当 0 x时，f(x)0，则 f 23 6 () 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分
16、享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A.1 2 B. 3 2 C0D1 2 (3)设 aR，b0，2若对任意实数 x 都有 sin 3x 3 sin(axb)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为() A1B2C3D4 答案(1)1 2 (2)A(3)B 解析(1) 3 6 2， cos 6cos 2 3 sin 31 2. (2)由 f(x)f(x)sin x， 得 f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)， 所以 f 23 6 f 11 6 2 f 11 6 f 5 6f 5 6sin5 6. 因为当 0
17、 x时，f(x)0. 所以 f 23 6 01 2 1 2. (3)sin 3x 3 sin 3x 32sin 3x5 3 ， (a， b) 3，5 3 ， 又 sin 3x 3 sin 3x 3 sin 3x4 3 ， (a， b) 3，4 3 ， 注意到 b0，2，只有这两组故选 B. 基础巩固题组 一、选择题 1. 12sin（2）cos（2）() Asin 2cos 2Bsin 2cos 2 C(sin 2cos 2)Dcos 2sin 2 答案A 解析12sin（2）cos（2） 12sin 2cos 2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加
18、入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 （sin 2cos 2）2|sin 2cos 2|sin 2cos 2. 2cos 121 3，则 sin 5 12() A.1 3 B.2 2 3 C1 3 D2 2 3 答案A 解析sin 5 12sin 2 12 cos 12 1 3. 3(2021湖州中学质检一)若 cos()1 2，则( ) Asin() 3 2 Bsin 2 3 2 Ccos()1 2 Dcos()1 2 答案D 解析由 cos()1 2得 cos 1 2，则 sin 3 2 ，sin()sin 3 2 ， 选项 A
19、错误；sin 2cos 1 2，选项 B 错误；cos()cos 1 2，选 项 C 错误，选项 D 正确，故选 D. 4已知 tan 1 2，且 ，3 2 ，则 sin () A 5 5 B. 5 5 C.2 5 5 D2 5 5 答案A 解析tan 1 20，且 ，3 2 ，sin 0， sin2 sin2 sin2cos2 tan2 tan21 1 4 1 41 1 5， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 sin 5 5 . 5已知 sin 5 5
20、 ，则 sin4cos4的值为() A1 5 B3 5 C.1 5 D.3 5 答案B 解析sin4cos4sin2cos22sin213 5. 6向量 a 1 3，tan ，b(cos ，1)，且 ab，则 cos 2() A1 3 B.1 3 C 2 3 D2 2 3 答案A 解析a 1 3，tan ，b(cos ，1)，且 ab， 1 31tan cos 0，sin 1 3， cos 2sin 1 3. 7已知 tan 3，则12sin cos sin2cos2 的值是() A.1 2 B2C1 2 D2 答案B 解析原式sin 2cos22sin cos sin2cos2 （sin c
21、os ）2 （sin cos ） （sin cos ） sin cos sin cos tan 1 tan 1 31 312. 8已知函数 f(x)asin(x)bcos(x)，且 f(4)3，则 f(2 019)的值为() A1B1C3D3 答案D 解析f(4)asin(4)bcos(4) asinbcos 3， f(2 019)asin(2 019)bcos(2 019) asin()bcos()asin bcos 3. 二、填空题 9sin 750_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 4
22、83122854 期待你的加入与分享 答案 1 2 解析sin 750sin(72030)sin 301 2. 10(2021上海长宁区质检)已知 sin 4 5，则 cos 2 _ 答案4 5 解析由诱导公式知 cos 2 sin 4 5，故填 4 5. 11化简： sin2（）cos（）cos（2） tan（）sin3 2sin（2） _ 答案1 解析原式sin 2（cos ）cos tan cos3（sin ） sin2cos2 sin2cos21. 12已知为钝角，sin 43 4，则 sin 4_ 答案 7 4 解析因为为钝角，所以 cos 4 7 4 ， 所以 sin 4cos 2
23、 4 cos 4 7 4 . 13已知是第四象限角，且 sin 4 3 5，则 tan 4 _ 答案4 3 解析由题意，得 cos 4 4 5，tan 4 3 4. tan 4 tan 4 2 1 tan 4 4 3. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 14若 20，sin cos 1 5，则 (1)sin cos _； (2)sin cos _ 答案(1)12 25 (2)7 5 解析(1)将 sin cos 1 5两边同时平方可得， sin22sin
24、 cos cos2 1 25， 即 2sin cos 24 25，sin cos 12 25. (2)由(1)得(sin cos )212sin cos 49 25. 20，sin 0， sin cos 0，sin cos 7 5. 能力提升题组 15若 sin ，cos 是方程 4x22mxm0 的两根，则 m 的值为() A1 5B1 5C1 5D1 5 答案B 解析由题意知 sin cos m 2 ，sin cos m 4 . 又(sin cos ) 2 12sin cos ， m 2 4 1m 2 ，解得 m1 5. 又4m216m0，m0 或 m4，m1 5. 16已知 sin()
25、3cos(2)，| 2，则( ) A 6 B 3 C. 6 D. 3 答案D 解析sin() 3cos(2)， sin 3cos ， tan 3，| 2， 3. 17sin21sin22sin290_；cos21cos22cos290 _ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案 91 2 89 2 解析sin21sin22sin290sin21sin22sin244sin245 cos244cos243cos21sin290(sin21cos21)(si
26、n22cos22) (sin244cos244)sin245sin290441 2 191 2 .cos21cos22 cos29090(sin21sin22sin290)89 2 . 18(2020绍兴一中适应性考试)若 sin 21 3，则 cos _，cos 2 cos _ 答案 1 3 4 9 解析由 sin 21 3得 cos 1 3， 故由倍角公式得 cos 2cos 2cos 2cos 14 9. 19已知 cos 6a，则 cos 5 6 sin 2 3 _ 答案0 解析cos 5 6 cos 6 cos 6a. sin 2 3 sin 2 6 cos 6a， cos 5 6
27、sin 2 3 0. 20已知：f() sin（）cos（）cos 2 cos（）sin（2）tan（）. (1)化简 f()的结果为_； (2)若角的终边在第二象限且 sin 3 5，则 f()_ 答案(1)cos (2)4 5 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1)f() sin（）cos（）cos 2 cos（）sin（2）tan（） sin （cos ）sin cos sin tan cos . (2)由题意知 cos 1sin24 5，f() cos 4 5.
