1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 6 节幂函数、指数函数、对数函数 知 识 梳 理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)常见的 5 种幂函数的性质 2.指数函数及其性质 (1)概念：函数 yax(a0 且 a1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定 义域是 R，a 是底数. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380
2、 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)指数函数的图象与性质 a10a0 时，y1； 当 x0 时，0y1 当 x1； 当 x0 时，0y0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定 义域是(0，). (2)对数函数的图象与性质 a10a1 时，y0； 当 0 x1 时，y1 时，y0； 当 0 x0 在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数 4.反函数 指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数，它 们的图象关于直线 yx 对称. 本资料分享自新人教版高中数学资
3、源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1.幂函数满足三个条件：(1)幂底是单自变量；(2)指数为常数；(3)系数为 1.类似地 指数函数、对数函数也分别满足三个条件. 2.(1)幂函数图象的分布规律：作一直线 xt1，与幂函数交点在上面的幂函数的 指数大； (2)指数函数图象的分布规律：作一直线 xt0，与指数函数交点在上面的指数函 数的底数大； (3)对数函数图象的分布规律：作一直线 yk0，与对数函数交点在右边的对数函 数的底数大. 诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误. (1)幂
4、函数 yx0与常值函数 y1 图象相同.() (2)函数 y2x 1 3是幂函数.( ) (3)y2x 1 是指数函数，yloga(x21)(a0，且 a1)是对数函数.() (4)函数 yln x1 x1与 yln(x1)ln(x1)的定义域相同.( ) 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)错误，y1 的图象去掉点(0，1)才是 yx0的图象； (2)错误，因为 x 1 3的系数不是 1； (3)错误，y2x 11 22 x，2x前面的系数不为 1， yloga(x21)(a0 且 a1)，真数为 x21 而不是单自变量 x. (4)错误，yln x1 x1的定义域为(，1)(1，)，
5、而 yln(x1)ln(x1)的定义域为(1，)， 故函数的定义域不同. 2.(2019浙江卷)在同一直角坐标系中，函数 y 1 ax，ylog a x1 2 (a0，且 a1) 的图象可能是() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案D 解析当 0a1 时，函数 yax的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递增， 于是函数 y 1 ax的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递减，函数 ylog a x1 2 的图象 过定点 1 2，0，在 1 2，上单
6、调递增. 显然 A，B，C，D 四个选项都不符合. 故选 D. 3.(一题多解)已知函数 yloga(xc)(a， c 为常数， 其中 a0， 且 a1) 的图象如图，则下列结论成立的是() A.a1，c1 B.a1，0c1 C.0a1 D.0a1，0c1 答案D 解析法一由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以 0a0，即 logac0，所以 0c0，且 a1 时，函数 f(x)ax 32 必过定点_，其值域为_. 答案(3，1)(2，) 解析函数 f(x)ax 32 的图象是将函数 yax 的图象向右平移 3 个单位，再向 下平移 2 个单位得到的.故函数 f(x)ax 32 必过定点(3
7、，1)，其值域为(2， ). 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 考点一幂函数 【1】(1)已知 1，1 2，1，2，3.若幂函数 f(x)x为奇函数，且在(0， 【2】)上递减，则_. (2)已知幂函数 f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于 y 轴对称，且在(0， )上是减函数，则 n 的值为() A.3B.1C.2D.1 或 2 答案(1)1(2)B 解析(1)由 f(x)为奇函数，所以1，1，3，又在(0，)上为递减可知 1. (2)幂
8、函数 f(x)(n22n2)xn23n 在(0，)上是减函数， n22n21， n23n0， n1， 又 n1 时，f(x)x 2 的图象关于 y 轴对称，故 n1. 感悟升华(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性； (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性 进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【训练 1】 (1)已知幂函数 f(x)kx的图象过点 1 2， 2 2 ，则 k() A.1 2 B.1C.3 2 D.2 (2)已知 a2 4 3，b3 2 3，c25 1 3，则( ) A.bacB.abc C.bcaD.ca(m
9、2m1)1 2，则实数 m 的取值范围是( ) A. ， 51 2B. 51 2 ， C.(1，2)D. 51 2 ，2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案(1)C(2)A(3)D 解析(1)由幂函数的定义知 k1.又 f 1 2 2 2 ， 所以 1 2 2 2 ，解得1 2，从而 k 3 2. (2)因为 a2 4 34 2 3，b3 2 3，c5 2 3，又 yx 2 3在(0，)上是增函数，所以 cab. (3)因为函数 yx 1 2的定义域
10、为0，)， 且在定义域内为增函数， 所以不等式等价于 2m10， m2m10， 2m1m2m1. 解得 m1 2， m 51 2 或 m 51 2 ， 1m2， 即 51 2 m0， 12a16 4a 1，解得 a1， 即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值为 1. (3)由 f(x)的值域是(0，)知，ax24x3 的值域为 R，则必有 a0. 感悟升华(1)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义 域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区 间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. (2)比较指数式的大小的方法是：能化成同底数
11、的先化成同底数幂，再利用单调 性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；当底数 a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. 【训练 2】 (1)(2021杭州二中检测)已知 0ab(1a) b B.(1a)b(1a)b 2 C.(1a)a(1b)bD.(1a)a(1b)b (2)设函数 f(x) x1 3，x8， 2ex 8，x8，则使得 f(x)3 成立的 x 的取值范围是_. (3)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是_. 答案(1)D(2)(，27(3)1，1 解析(1)因为 0ab1，所以 01b1a(1a)b(1b)b，故选 D.
12、(2)当 x8 时，f(x)x 1 33，x27，即 8x27； 当 x8 时，f(x)2ex 83 恒成立，故 x0，得 x22x0，解得 x2， 所以函数的定义域为(，0)(2，)， 结合图象可得函数的单调递减区间为(2，)， 单调递增区间为(，0). (2)令 g(x)ax2x， 则函数 g(x)的图象为开口向上、对称轴为 x 1 2a的抛物线， 当 0a0， 即 1 2a4， g（4）16a40， 此不等式组无解. 当 a1 时，要使函数 f(x)在区间2，4上是增函数， 则 g(x)ax2x 在2，4上单调递增，且 g(x)min0， 即 1 2a2， g（2）4a20， 解得 a1
13、 2， 又 a1，所以 a1， 综上可得 a1. 实数 a 的取值范围为(1，). 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 感悟升华(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进 行. (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函 数的单调性来求解.在利用单调性时， 一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影 响，及真数必须为正的限制条件. 【训练
14、 3】 (1)(2019天津卷)已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为() A.acbB.abc C.bcaD.cab (2)(一题多解)当 0 x1 2时，4 xlogax，则 a 的取值范围是( ) A. 0， 2 2B. 2 2 ，1 C.(1， 2)D.( 2，2) (3)(2021浙江名校冲刺卷)已知实数 x1，x2分别满足 x1e 1 1x1，(x2e)ln x2e，则 x1x2_. 答案(1)A(2)B(3)e 解析(1)因为 ylog5x 是增函数， 所以 alog52log0.50.51.因为 y0.5x是减函数，所以 0.50
15、.51c 0.50.20.501，即 0.5c1.所以 acb.故选 A. (2)法一由题意得，当 0a1 时，要使得 4xlogax 0 x1 2 ，即当 0 x1 2时，函 数 y4x的图象在函数 ylogax 图象的下方.如图所示，又当 x1 2时，4 1 22，即函 数 y4x的图象过点 1 2，2.把点 1 2，2代入 ylogax，得 a 2 2 .若函数 y4x的图 象在函数 ylogax 图象的下方，则需 2 2 a1 时，不符合题意，舍去. 所以实数 a 的取值范围是 2 2 ，1 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本
16、资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 法二当 0 x1 2时，14 x2，要使 4xlogax， 必须 2logax， 0a1， logaa2logax，即 0a1， a2x 对 0 x1 2恒成立， 0a1， a21 2， 解得 2 2 a1. (3)由 x1e 1 1x10，两边同时取对数得 ln x1 1 x11，又由(x 2e)ln x2e，得 ln x2 e ex21 x2 ex2，即 1ln x 2 x2 ex2，故 ln e x2 1 e x21 .因为函数 yln x 在(0， )上单调递增，而 y 1 x1在(0，)上单调递减，
17、故 ln x 1 x1只有唯一实 根，因此，x1 e x2，所以 x 1x2e. 基础巩固题组 一、选择题 1.(2020上海嘉定区调研)“函数 f(x)(xR)存在反函数”是“函数 f(x)在 R 上为增 函数”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案B 解析函数 f(x)(xR)存在反函数，至少还有可能函数 f(x)在 R 上为减函数，充分 性不成立； 根据反函数的定义可知必要性显然成立， “函数 f(x)(xR)存在反函数” 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中
18、数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 是“函数 f(x)在 R 上为增函数”的必要不充分条件，故选 B. 2.已知 x，yR，且 xy0，若 ab1，则一定有() A.logaxlogbyB.sinaxsinby C.aybxD.axby 答案D 解析当 xy0，ab1 时，由指数函数的性质易得 axayby，故选 D. 3.(一题多解)(2019全国卷)若 ab，则() A.ln(ab)0B.3a0D.|a|b| 答案C 解析法一由函数 yln x 的图象(图略)知，当 0ab1 时，ln(ab)b 时，3a3b，故 B 不正确； 因为函数 yx3在 R 上单调递增
19、，所以当 ab 时，a3b3，即 a3b30，故 C 正确； 当 ba0 时，|a|b|，故 D 不正确.故选 C. 法二当 a0.3，b0.4 时，ln(ab)3b，|a|a2(a0，且 a1)，则函数 f(x)loga(x1)的图象大致是 () 答案C 解析因为 a 2a2(a0 且 a1)， 所以 0a1， 则函数 f(x)loga(x1)的图象可以 看作是由函数 ylogax 的图象向右平移一个单位长度得到的，观察各选项，只有 C 选项符合，故选 C. 5.若函数 f(x)logax(0a1)在a，2a上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 的值为 本资料分享自新人教版高中数学资源大全
20、QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 () A.1 4 B. 2 2 C. 2 4 D.1 2 答案C 解析因为 0a1，所以 f(x)在a，2a上是减函数.所以 f(x)maxf(a)logaa1， f(x)minf(2a)loga(2a)1loga2，由题意知 13(1loga2)，即 loga22 3， 所以 a 2 4 . 6.(2020温州适考)定义在 R 上的函数 yf(x)满足|f(x)|2|x 1|， 且 yf(x1)为奇函 数，则 yf(x)的图象可能是() 答案D 解析因为
21、yf(x1)为奇函数，所以 f(x1)f(x1)，所以函数 f(x)的图象 关于点(1，0)成中心对称，排除 A，B；又因为|f(1.5)|2|1.5 1|20.5 2，所以排 除 C，故选 D. 7.已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)xf(x).若 ag(log25.1)，bg(20.8)，c g(3)，则 a，b，c 的大小关系为() A.abcB.cbaC.bacD.bc0 时，f(x)0， 从而 g(x)xf(x)是 R 上的偶函数，且在0，)上是增函数， ag(log25.1)g(log25.1)， 20.82，又 45.18，则 2log25.13， 所以 020.8
22、log25.13， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 g(20.8)g(log25.1)g(3)， 所以 bab0 B.若 ln aln ba3b，则 0ab0 D.若 ln aln b3ba，则 0a0，b0，所以 ln aaln b3bln bb，设 f(x)ln xx，则易得函数 f(x)ln xx 在(0，)上单调递增，所以 ab0，C 正确. 二、填空题 10.函数 f(x)lg(4x2x 111)的最小值是_. 答案1 解析令 2xt，t0，
23、则 4x2x 111t22t11(t1)21010.所以 lg(4x 2x 111)1， 即所求函数的最小值为 1. 11.方程 2x2x 的解的个数是_. 答案1 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析方程的解可看作函数 y2x和 y2x 的图象交点的横坐标，分别作出这 两个函数图象(如图). 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 12.函数 f(x)loga(ax3)在1，3上单调递增，则 a 的取值范围是_. 答案(3，) 解析由于 a0，
24、且 a1， uax3 为增函数， 若函数 f(x)为增函数，则 ylogau 必为增函数， a1. 又 uax3 在1，3上恒为正， a30，a3. 13.设 f(x)lg 2 1xa是奇函数，则使 f(x)0 的 x 的取值范围是_. 答案(1，0) 解析由 f(x)是奇函数可得 a1， f(x)lg1x 1x，定义域为(1，1). 由 f(x)0，可得 01x 1x1，1x2bB.ab2D.ab2 答案B 解析由指数和对数的运算性质可得 2alog2a4b2log4b22blog2b. 令 f(x)2xlog2x，则 f(x)在(0，)上单调递增. 又22blog2b22blog2b122
25、blog2(2b)， 2alog2a22blog2(2b)，即 f(a)f(2b)，a2. 若互不相等的实数 a，b，c 满足 f(a)f(b)f(c)，则 2a2b2c的取值范围是() A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7) 答案B 解析画出函数 f(x)的图象如图所示. 不妨设 abc，则 a0. 由 f(a)f(b)，得 12a2b1，则 2a2b2. 又 f(a)f(b)f(c)， 结合图象，得 05c1，则 4c5. 162c32.故 182a2b2c34. 17.(2021嵊州适考)已知函数 f(x)|ln x|x，若 f(x1)f(x2)，其中 x1
26、x2，则() A.x1x22 C.1 x1 1 x22 答案D 解析根据题意不妨设 0 x11x2，则由 f(x1)f(x2)，得ln x1x1ln x2x2，即 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 ln x2ln x1ln(x1x2)x1x20，所以 0 x1x22 x1x2，所以 1 x1 1 x2 x1x2 x1x2 2 x1x22，故选 D. 18.已知函数 f(x)loga(8ax)(a0，且 a1)，若 f(x)1 在区间1，2上恒成立， 则实数 a 的取值范围是_. 答案 1，8 3 解析当 a1 时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由 f(x)1 在区间1，2 上恒成立， 则 f(x)minloga(82a)1， 解之得 1a8 3. 若 0a1 在区间1，2上恒成立， 则 f(x)minloga(8a)1，且 82a0. a4，且 a1，0 2 2x12，11 2 2x11， f(x)的值域为(1，1).
