1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 6 节离散型随机变量的均值与方差 知 识 梳 理 1离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 Xx1x2xixn Pp1p2pipn (1)均值 称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望， 它反映 了离散型随机变量取值的平均水平 (2)方差 称 D(X) n i1_(xiE(X) 2pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程
2、度，其算术平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差 2均值与方差的性质 (1)E(aXb)aE(X)b (2)D(aXb)a2D(X)(a，b 为常数) 3两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p) (2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p) 1D(X)E(X2)E(X)2； 2已知随机变量 X 的均值、方差，求 X 的线性函数 YaXb 的均值、方差和标 准差，可用均值、方差的性质求解； 3 如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)， 可直接利用它们的均值、 方差公式求解 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误
3、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)期望值就是算术平均数，与概率无关() (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量() (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或 标准差越小，则偏离变量平均程度越小() (4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回 事() 答案(1)(2)(3)(4) 解析均值即期望值，刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离 散型随机变量的取值偏离期望值的
4、平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不 正确 2(选修 23P68T1 改编)已知 X 的分布列为 X101 P 1 2 1 3 1 6 设 Y2X3，则 E(Y)的值为() A.7 3 B4C1D1 答案A 解析E(X)1 2 1 6 1 3， E(Y)E(2X3)2E(X)32 33 7 3. 3(2021宁波期末)已知随机变量 X 的分布列是() X123 P 1 3 ab 若 E(X)11 6 ，则 D(X)的值是() A.17 36 B.17 18 C.23 9 D.23 18 答案A 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享
5、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析由题意得 1 3ab1， E（X）11 32a3b 11 6 ， 解得 a1 2， b1 6， 则 D(X)E(X2)E(X)211 34 1 29 1 6 11 6 2 17 36，故选 A. 4一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 D(X)_ 答案1.96 解析有放回地抽取，是一个二项分布模型，则 X B(100，0.02)，所以 D(X)np(1p)1000.020.981.96. 5设非零常数 d 是等差数列 x1，x
6、2，x3，x19的公差，随机变量等可能地取 值 x1，x2，x3，x19，则方差 D()_ 答案30d2 解析E()x10，D()d 2 19(9 28212021292)30d2. 6已知口袋中装有 n(n1)个红球和 2 个黄球，从中任取 2 个球(取到每个球是等 可能的)，随机变量 X 表示取到黄球的个数，X 的分布列为： X012 Pa 2 3 b 则随机变量 X 的数学期望为_，方差为_ 答案1 1 3 解析由已知得C 1 2C1n C2n2 2 3，且 n1，解得 n2，所以 C22 C24b，即 b 1 6，由 a 2 3 1 6 1 得 a1 6，则随机变量 X 的数学期望 E
7、(X)0 1 61 2 32 1 61，方差 D(X) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (01)21 6(11) 22 3(21) 21 6 1 3. 考点一一般分布列的均值与方差 【例 1】 (1)(2021金丽衢十二校二联)设 0a0，b0.且 E(X)2，则 b_，D(2X1)_ (2)(2021浙江五校联考)两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别 为2 3和 1 2，两个零件是否加工为一等品相互独立，设两人加工的零件中为一等品的 个数
8、为，则 E()_；若31，则 D()_ 答案(1)1 4 24(2)7 6 17 4 解析(1)依题意得1 2b 1 41，解得 b 1 4，所以 E(X)0 1 22 1 4a 1 4 1 2 a 42，解得 a6，所以 D(X)4 1 20 1 416 1 46，所以 D(2X1)4D(X) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 24. (2)因为随机变量的所有可能取值为 0，1，2，则由两人加工相互独立得 P(0) 12 3 11 2 1 6，P(2)
9、 2 3 1 2 1 3，P(1)1 1 6 1 3 1 2，故 E()0 1 6 11 22 1 3 7 6，E( 2)021 61 21 22 21 3 11 6 ，所以 D()32D()9E(2) (E)217 4 . 感悟升华具有线性关系的 YaXb 的两个随机变量 X，Y 的期望、方差的计算 公式为 E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X) 【训练 2】 (1)随机变量 X 的分布列如下： X201 P 1 2 1 3 p 则 p_；若 Y2X3，则 E(Y)_ (2)随机变量 X 的分布列如表所示，若 E(X)1 3，则 D(3X2)( ) X101 P 1 6 ab A
10、.9B7C5D3 答案(1)1 6 4 3 (2)C 解析(1)由已知，得1 2 1 3p1，所以 p 1 6， 且 E(X)21 20 1 31 1 6 5 6， E(Y)E(2X3)2E(X)32 5 6 34 3. (2)由 X 的分布列得1 6ab1 ，E(X)(1)1 60a1b 1 3 ，联立 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 ， 解得 a1 3， b1 2， 则 D(X)1 6 11 3 2 1 3 01 3 2 1 2 11 3 2 5
11、9， 则 D(3X 2)325 95，故选 C. 考点三两点分布、二项分布的均值与方差 【例 3】 (1)若离散型随机变量 X 的分布列为 X10 P2aa 则常数 a_，X 的数学期望 E(X)_ (2)(2021浙江三校三联)一个盒子中有大小形状完全相同的 m 个红球和 4 个白球， 现从盒子中有放回的摸取 6 次，每次随机摸出一个球，设摸到红球的个数为 X.若 E(X)4，则 m_，D(X)_ 答案(1)1 3 2 3 (2)8 4 3 解析(1)由 2aa1 得 a1 3，X 的数学期望 E(X)1 2 30 1 3 2 3. (2)由题意得取出的红球个数 XB 6， m m4 ， 则
12、 E(X)6 m m44， 解得 m8， 则 D(X)6 8 84 1 8 84 4 3. 感悟升华(1)利用两点分布、二项分布的期望与方差公式可减少计算量 (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二 项分布，这时，可以综合应用 E(ab)aE()b 以及 E()np 求出 E(ab)， 同样还可求出 D(ab) 【训练 3】 (1)(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p， 各成员的支付方式相互独立设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， D(X)2.4，P(X4)P(X6)，则 p() A0.7B0.6C0.4D0.3 (
13、2)(2021浙江名师预测卷四)某考生参加 2019 年高校自主招生面试，该考生共需 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 要回答难度相同的三道题，每题回答正确的可能性均为2 3，每答对一题得 30 分， 答错一题扣 10 分，则该考生得分的均值、方差分别为() A60 分，600B50 分，3 200 3 C50 分，600D60 分，3 200 3 答案(1)B(2)B 解析(1)由题意知，该群体的 10 位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布， 所以
14、 D(X)10p(1p)2.4，所以 p0.6 或 p0.4.由 P(X4)P(X6)，得 C410p4(1p)6C610p6(1p)4，即(1p)20.5，所以 p0.6. (2)由题意可知答对的题数 X 服从二项分布， 即 XB 3，2 3 ， 则 E(X)np2， D(X) np(1p)2 3，令为考生的得分，则30X10(3X)40X30，所以 E() E(40X30)40E(X)3050，D()D(40X30)402D(X)3 200 3 ，故选 B. 基础巩固题组 一、选择题 1(2021浙江名师预测二)设 a 为非负实数，随机变量 X 的分布列为 X012 P 1 5 am 若
15、E(X)1，则 a，m 的值分别是() Aa3 5，m 1 5 Ba1 5，m 3 5 Ca2 5，m 2 5 Da1 5，m 1 5 答案A 解析由题意可得4 5am.因为 E(X)a2m1，所以 m 1 5，a 3 5，故选 A. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2(2021浙江名校协作体模拟)随机变量的分布列如下表所示，若 E()1 3，则 D(31)() 101 P 1 2 ab A.4B5C6D7 答案B 解析由题意得 1 2ab1， E（）
16、11 2b 1 3， 解得 a1 3， b1 6， 则 E(2)12 1 2 1 6 2 3，则 D()E( 2)E()22 3 1 3 2 5 9，所以 D(31)9D()5. 3设 X 是离散型随机变量，P(Xx1)2 3，P(Xx 2)1 3，且 x 1x2，若 E(X)4 3， D(X)2 9，则 x 1x2() A.5 3 B.7 3 C.11 3 D3 答案D 解析由已知得 2 3x 11 3x 24 3， 2 3 x14 3 2 1 3 x24 3 2 2 9， 解得 x11， x22 或 x15 3， x22 3， 因为 x1x2，所以 x11， x22，所以 x 1x2123
17、. 4(2021浙江名师预测卷一)一个由 10 人组成的购物团，在一次购物中每人独立 使用微信支付的概率均为 0.6，若设为 10 人中使用微信支付的人数，则() AE()6，D()1.6BE()6，D()2.4 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 CE()4，D()1.6DE()4，D()2，4 答案B 解析因为B(10，0，6)，故 E()100.66，D()100.60.42.4，故 选 B. 5已知随机变量 X8，若 XB(10，0.6)，则 E(
18、)，D()分别是() A6，2.4B2，2.4C2，5.6D6，5.6 答案B 解析由已知随机变量 X8，所以有8X. 因此，求得 E()8E(X)8100.62， D()(1)2D(X)100.60.42.4. 6某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子， 每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为() A100B200C300D400 答案B 解析设没有发芽的种子有粒，则B(1 000，0.1)，且 X2，E(X)E(2) 2E()21 0000.1200. 7已知口袋中有 5 只球，编号分别为 1，2，3，4，5，从中任取 3
19、 只球，以 X 表 示取出的球的最大号码，则 X 的数学期望 E(X)的值是() A4B4.5C4.75D5 答案B 解析由题意知，X 可以取 3，4，5，P(X3) 1 C35 1 10， P(X4)C 2 3 C35 3 10，P(X5) C24 C35 6 10 3 5， 所以 E(X)3 1 104 3 105 3 54.5. 8袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个，从中任取 2 个都是白球的概率为 5 12. 现甲、乙两人轮流从袋中取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次取出 1 个球，取后不放回，直到其中有一人取出白球时终止用 X 表示取球终止时取 球的总次数，则 X 的数学期望
20、E(X)() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A.9 7 B.10 7 C.11 7 D.12 7 答案B 解析易得袋中白球的个数为 6.则由题意得，X 的可能取值为 1，2，3，4.P(X1) 6 9 2 3；P(X2) 36 98 1 4；P(X3) 326 987 1 14；P(X4) 3216 9876 1 84. 所以 E(X)12 32 1 43 1 144 1 84 10 7 . 二、填空题 9某同学参加投篮训练，已知每投篮一次，球投进的
21、概率均为 p，设该同学投篮 4 次，进球个数为，已知 D()1，则 E()_ 答案2 解析由题意得该同学投篮进球个数B(4，p)，则 D()4p(1p)1，解得 p 1 2，则 E()4p2. 10(2021浙江名师预测卷五)随机变量的分布列如下 123 p 1 5 mn 若 E()2，则 D()_ 答案 2 5 解析由已知得 1 5mn1， 1 52m3n2， 解得 m3 5， n1 5， D()E()121 5E() 223 5E()3 21 5 2 5. 11(2015上海卷)赌博有陷阱某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 1，2， 3，4，5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其
22、赌金(单位：元)；随后放 回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其 奖金(单位：元)若随机变量1和2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 E(1)E(2)_(元) 答案0.2 解析赌金的分布列为 112345 P 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 所以 E(1)1 5(12345)3. 奖金的分布列为 21.42.84.25.6 P 4 C25 2 5 3 C25 3 10
23、2 C25 1 5 1 C25 1 10 所以 E(2)1.4 2 51 3 102 1 53 1 1042.8，E(1)E(2)0.2. 12(2021台州评估测试)某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过 6 个红绿灯 路口如果他恰好遇见 2 次红灯，则这 2 次红灯的不同的分布情形共有_ 种； 如果他在每个路口遇见红灯的概率均为1 3， 用表示他遇到红灯的次数， 则 E() _(用数字作答) 答案152 解析由题设和组合定义可知，2 次红灯的不同的分布情形共有 C2615(种)又 随机变量满足二项分布 B 6，1 3 ，则有 E()61 32. 13 (2021金华校期末调研)一个口袋里装
24、有大小相同的 5 个小球， 其中红色 2 个， 其余 3 个颜色各不相同现从中任意取出 3 个小球，其中恰有 2 个小球颜色相同 的概率是_；若变量 X 为取出的 3 个小球中红球的个数，则 X 的数学期望 E(X)_ 答案 3 10 6 5 解析基本事件总数为 C3510，其中恰有 2 个小球颜色相同的基本事件个数为 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C22C133，所以其中恰有 2 个小球颜色相同的概率 P 3 10.若变量 X 为取出的 3 个 小
25、球中红球的个数，则 X 的所有可能取值为 0，1，2，且 P(X0)C 3 3 C35 1 10，P(X 1)C 1 2C23 C35 3 5，P(X2) C22C13 C35 3 10，则 E(X)0 1 101 3 52 3 10 6 5. 14(2021绍兴一中适应性考试)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品， 制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再 次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、 丙三件产品合格的概率依次为 0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三 件产品合格的概率依次为 0.6，0.5，0.75
26、，则第一次烧制后恰有一件产品合格的概 率为_；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为，则随机变量的期 望为_ 答案0.380.9 解析分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 A1，A2，A3，设事件 E 表示 第一次烧制后恰好有一件合格，则 P(E)P(A1A 2A 3)P(A 1A2A 3)P(A 1A 2A3) 0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38.因为每件工艺品经过两次 烧制后合格的概率均为 p0.3，所以B(3，0.3)，故 E()np30.30.9. 能力提升题组 15从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有 放回地摸取
27、5 次，设摸得白球数为 X，已知 E(X)3，则 D(X)() A.8 5 B.6 5 C.4 5 D.2 5 答案B 解析由题意，XB 5， 3 m3 ， 又 E(X)53 m33，m2， 则 XB 5，3 5 ，故 D(X)53 5 13 5 6 5. 16袋中装有大小完全相同，标号分别为 1，2，3，9 的九个球现从袋中随 机取出 3 个球设为这 3 个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为 3，4， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 5，则有
28、两组相邻的标号 3，4 和 4，5，此时的值是 2)，则随机变量的均值 E() () A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 答案D 解析依题意得，的所有可能取值是 0，1，2. 且 P(0)C 3 7 C39 5 12，P(1) C27A22 C39 1 2， P(2)C 1 7 C39 1 12， 因此 E()0 5 121 1 22 1 12 2 3. 17(2021湖州适应性考试)已知 a，bR，随机变量满足 P(x)axb(x 1，0，1)若 E()1 3，则E() 2D()( ) A.1 3 B.2 3 C1D.4 3 答案B 解析由题意得 P(1)P(0)P(1)abba
29、b3b1，解得 b1 3，则 E()1 a1 3 01 31 a1 3 2a1 3，解得 a 1 6，所以 P( 1)1 6，P(0) 1 3，P(1) 1 2，则 D() 11 3 2 1 6 01 3 2 1 3 11 3 2 1 2 5 9，则E() 2D() 1 3 2 5 9 2 3，故选 B. 18(2021浙江名校新高考研究联盟三联)某商场做促销抽奖活动，规则如下：商 家在箱中装入大小相同的 20 个球，其中 6 个红球、14 个黑球，参加活动的人每 人都有放回地取球 2 次，每次从中任取一球，每个红球兑换 20 元，每个黑球兑换 5 元，则每位参与者获奖的期望是() A15.5
30、 元B31 元C9.5 元D19 元 答案D 解析设每位参与者获奖的钱为，则的所有可能取值为 10，25，40，且 P( 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 10)14 2 202 196 400，P(25) 2146 202 168 400，P(40) 62 202 36 400，E()10 196 400 25168 40040 36 40019.故选 D. 19(2021金华一中模拟)有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有 3 个小球，乙盒子中 装有 5 个
31、小球， 每次随机取一个盒子并从中取一个球， 则甲盒子中的球被取完时， 乙盒子中恰剩下 2 个球的概率为_；当取完一个盒子中的球时，另一个盒 子恰剩下个球，则的期望为_ 答案 5 32 175 64 解 析甲 盒 子 中 的 球 被 取 完 时 ， 乙 盒 子 中 恰 剩 下 2 个 球 的 概 率 P C35 11 2 2 1 2 3 11 2 5 32；由题意，知的可能取值为 1，2，3，4，5，因为 P( 1)C26 1 2 7 C46 1 2 7 15 64，P(2)C 2 5 1 2 6 C45 1 2 6 15 64， P(3)C24 1 2 5 1 2 5 7 32，P(4)C 2
32、 3 1 2 4 3 16，P(5) 1 2 3 1 8，所以 E() 115 642 15 643 7 324 3 165 1 8 175 64 . 20 某同学手里有三个球， 依次投向编号为的三个盒子， 每次投一个球 假 定该同学将球投进号盒子的概率为2 3， 投进号和号盒子的概率均为 p(0p1)， 且三个球是否投进是相互独立的记为该同学将球投进盒子的个数若 P(0) 1 12，则随机变量的均值 E()_，方差 D()_ 答案 5 3 13 18 解析由 P(0) 12 3 (1p)(1p) 1 12， 0p1，得 p1 2， 从而 P(1)2 3 1 2 2 12 3 C12 1 2 2 1 3， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 P(2)2 3C 1 2 1 2 2 12 3 1 2 2 5 12. P(3)2 3 1 2 2 1 6， 所以 E()0 1 121 1 32 5 123 1 6 5 3， D() 05 3 2 1 12 15 3 2 1 3 25 3 2 5 12 35 3 2 1 6 78 108 13 18.
