1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 8 节空间角 知 识 梳 理 1线面角与二面角的概念 (1)线面角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面 所成的角，当一条直线垂直于平面时，规定它们所成的角是直角 (2)二面角 以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两 条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 2求异面直线所成的角 (1)(几何法)通过作平行线化为三角形求解 (2)(向量法)设 a，
2、b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则 a 与 b 的夹角l1与 l2所成的角 范围(0，)0， 2 求法cos ab |a|b| cos |cos |ab| |a|b| 3.求直线与平面所成的角 (1)(几何法)通过直线在平面上的射影求解，其步骤为“一作、二证、三计算” (2)(向量法)设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 n，直线 l 与平面所成的 角为，则 sin |cosa，n|an| |a|n| 4求二面角的大小 (1)(几何法)通过一个面的垂线或垂面先作出二面角的平面角，然后加以证明和计 算 (2)(向量法)如图，AB，CD 是二面角l的两个面内与棱 l 垂直的直线
3、，则 二面角的大小_AB ， CD 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角 的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角 (或其补角) 1 异面直线所成的角与其方向向量的夹角： 当异面直线的方向向量的夹角为锐角 或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角 2线面角的正弦值等于直线的方向向量 a 与平面的法向量 n 所成角的余弦值的
4、 绝对值，即 sin |cosa，n|，不要误记为 cos |cosa，n|. 3二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平 面，的法向量 n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察出向量的方向，从而确 定二面角与向量 n1，n2的夹角是相等，还是互补 4最小角定理：平面的一条斜线与平面内所有直线的夹角中，斜线与它在平面内 的射影的夹角最小 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角() (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角() (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角() (4)两异面
5、直线夹角的范围是 0， 2 ，直线与平面所成角的范围是 0， 2 ，二面角 的范围是0，() 答案(1)(2)(3)(4) 2 (选修 21P104 练习 2 改编)已知两平面的法向量分别为 m(0，1，0)，n(0， 1，1)，则两平面所成的二面角为() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A45B135 C45或 135D90 答案C 解析cosm，n mn |m|n| 1 1 2 2 2 ，即m，n45. 两平面所成二面角为 45或 18045135
6、. 3(2021河北、山西、河南三省联考)在三棱锥 PABC 中，ABC 和PBC 均 为等边三角形，且二面角 PBCA 的大小为 120，则异面直线 PB 和 AC 所成 角的余弦值为() A.5 8 B.3 4 C.7 8 D.1 4 答案A 解析如图，取 BC 的中点 O，连接 OP，OA，因为ABC 和PBC 均为等边三 角形，所以 AOBC，POBC，所以 BC平面 PAO，即平面 PAO平面 ABC. 且POA 就是其二面角 PBCA 的平面角，即POA120，建立空间直角坐 标系如图所示 设 AB2， 则 A( 3， 0， 0)， C(0， 1， 0)， B(0， 1， 0)，
7、P 3 2 ，0，3 2 ， 所以AC ( 3，1，0)，PB 3 2 ，1，3 2 ，cosAC ， PB5 8，所以异面 直线 PB 与 AC 所成角的余弦值为5 8. 4如图，把边长为 4 的正三角形 ABC 沿中线 AD 折起，使得二面角 CADE 的大小为 60，则异面直线 AC 与 DE 所成角的余弦值为() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A1 4 B.1 4 C1 3 D.1 3 答案B 解析如图，取 AB 的中点 F，连接 DF，EF
8、，因为 D，F 分别是线段 BC，AB 的 中点，所以 DFAC，所以EDF(或其补角)是异面直线 AC 与 DE 所成的角由 正三角形的性质可得 ADBC，所以CDE 就是二面角 CADE 的平面角，所 以CDE60.又 CDDE，所以CDE 是正三角形作 EGCD，垂足为 G， 作 FHBD，垂足为 H，连接 EH，易知 EGDEsin 602 3 2 3， DGDEcos 6021 21，DH 1 2BD 1 221，HGDHDG2，FH 1 2AD 1 2 3 2 AC1 2 3 2 4 3.由勾股定理得 EH HG2EG2 22（ 3）2 7，EF EH2FH2 （ 7）2（ 3）2
9、 10.在EDF 中，由余弦定理得 cosEDF2 222（ 10）2 222 1 4， 所以异面直线AC与DE所成角的余弦值为 1 4， 故选 B. 5已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面的方向向量和法向量，若 cosm，n 1 2，则 l 与所成的角为_ 答案30 解析设 l 与所成角为，cosm，n1 2， sin | cosm，n| 1 2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 090，30. 6过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA平面
10、 ABCD，若 ABPA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为_ 答案45 解析如图，建立空间直角坐标系，设 ABPA1，则 A(0，0，0)，D(0，1，0)， P(0，0，1)，由题意，AD平面 PAB，设 E 为 PD 的中点，连接 AE，则 AEPD， 又易知 CD平面 PAD，AE平面 PAD， CDAE，又 PDCDD，从而 AE平面 PCD. 所以AD (0， 1， 0)， AE 0，1 2， 1 2 分别是平面 PAB， 平面 PCD 的法向量， 且 AD ， AE 45. 故平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角为 45. 考点一求异面直线所成的角 【例 1】
11、如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，E 是 PC 的中点已知 AB2，AD2 2，PA2.求： (1)PCD 的面积 (2)(一题多解)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小 解(1)因为 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD， 所以 PACD.又底面 ABCD 为矩形，所以 ADCD，PAADA， 所以 CD平面 PAD， 又 PD平面 PAD， 从而 CDPD.因为 PD 22（2 2）2 2 3，CD2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 48
12、3122854 期待你的加入与分享 所以PCD 的面积为1 222 32 3. (2)法一如图 1，取 PB 中点 F，连接 EF，AF，则 EFBC，从而AEF(或其 补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角 图 1 在AEF 中，由于 EF 2，AF 2，AE1 2PC2.所以 AF 2EF2AE2，AFE 2， 则AEF 是等腰直角三角形，所以AEF 4. 因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 4. 法二如图 2，建立空间直角坐标系，则 B(2，0，0)，C(2，2 2，0)，P(0，0， 2)，E(1，2，1)，AE (1, 2，1)，BC (0，2 2，0) 图 2 设A
13、E 与BC的夹角为，则 cos AE BC |AE |BC| 4 22 2 2 2 ，所以 4. 由此可知异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 4. 感悟升华(1)几何法求异面直线所成的角关键是根据定义构成三角形求解 (2)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：选好基底或建立空间直角坐标 系；求出两直线的方向向量 v1，v2；代入公式|cosv1，v2|v1v2| |v1|v2|求解； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 取锐角或直角 【训练 1】
14、 (一题多解)如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1 2AB，E，F 分别为 BC，BB1的中点，M，N 分别为 AA1，A1C1的中点，则直线 MN 与 EF 所 成角的余弦值为() A.3 5 B.1 2 C. 3 2 D.4 5 答案B 解析法一如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接 AC1， CB1，C1B，易得 MNAC1，EFCB1C1B， 那么AC1B或AC1B的补角即直线 MN 与 EF 所成的角 设 AA1 2AB 2a， 则 AC1C1B 3a， 连接 AB，则 AB a2（2 2a）23a， 由余弦定理得 cos AC1B（ 3a） 2（ 3a）2
15、（3a）2 2（ 3a）（ 3a） 1 2. 故直线 MN 与 EF 所成角的余弦值为1 2. 法二如图，连接 AC1，C1B，CB1， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 设 C1B，CB1交于点 O，取 AB 的中点 D，连接 CD，OD， 则 MNAC1OD，EFCB1， 那么DOC 或其补角即直线 MN 与 EF 所成的角 设 AA1 2AB 2a，则 AC1CB1 3a，于是 ODOC 3a 2 ， 又 CD 3a 2 ，于是OCD 为正三角形，
16、 故直线 MN 与 EF 所成角的余弦值为1 2. 法三取 AB 的中点 O，连接 CO，则 COAB，以 O 为坐标原点，OB 所在直线 为 x 轴，OC 所在直线为 y 轴，过点 O 且平行于 CC1的直线为 z 轴，建立如图所 示的空间直角坐标系设 AB2，则 AA12 2， A(1，0，0)，A1(1，0，2 2)，M(1，0， 2)，C(0，3，0)，C1(0，3，2 2)， N 1 2， 3 2 ，2 2 ，B(1，0，0)，E 1 2， 3 2 ，0 ，B1(1，0，2 2)，F(1，0， 2)，MN 1 2， 3 2 ， 2 ， EF 1 2， 3 2 ， 2 ， 所以 cos
17、 MN ， EF MN EF |MN |EF | 3 2 3 3 1 2，故直线 MN 与 EF 所成角的余弦值为 1 2. 考点二求直线与平面所成的角 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 【例 2】 (2020浙江卷)如图，在三棱台 ABCDEF 中，平面 ACFD平面 ABC， ACBACD45，DC2BC. (1)证明：EFDB； (2)求直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值 (1)证明如图(1)， 图(1) 过点 D 作 DOAC，交直线 A
18、C 于点 O，连接 OB. 由ACD45，DOAC，得 CD 2CO. 由平面 ACFD平面 ABC，平面 ACFD平面 ABCAC，DO平面 ACFD，得 DO平面 ABC， 又 BC平面 ABC， 所以 DOBC. 由ACB45， BC1 2CD 2 2 CO，得 BOBC. 又 BODOO，BO，DO平面 BDO， 所以 BC平面 BDO，又 DB平面 BDO，故 BCDB. 由 ABCDEF 为三棱台，得 BCEF，所以 EFDB. (2)解法一如图(1)，过点 O 作 OHBD，交直线 BD 于点 H，连接 CH.由 ABC DEF 为三棱台，得 DFCO，所以直线 DF 与平面 D
19、BC 所成角等于直线 CO 与 平面 DBC 所成角 由 BC平面 BDO，OH平面 BDO，得 OHBC，又 BDBCB，故 OH平面 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 DBC， 所以OCH 为直线 CO 与平面 DBC 所成角 设 CD2 2， 则 DOOC2，BOBC 2，得 BD 6，OH2 3 3，所以 sinOCHOH OC 3 3 . 因此，直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值为 3 3 . 法二由 ABCDEF 为三棱台，得 DFC
20、O，所以直线 DF 与平面 DBC 所成角 等于直线 CO 与平面 DBC 所成角，记为. 如图(2)，以 O 为原点，分别以射线 OC，OD 为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角 坐标系 Oxyz. 图(2) 设 CD2 2， 由题意知各点坐标如下： O(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，2) 因此OC (0，2，0)，BC (1，1，0)，CD (0，2，2) 设平面 DBC 的一个法向量为 n(x，y，z)， 由 nBC 0， nCD 0， 即 xy0， 2y2z0，可取 n(1，1，1)， 所以 sin |cosOC ，n| |OC n| |OC |n| 3
21、 3 . 因此，直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值为 3 3 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 感悟升华求线面角的方法： (1)几何法求线面角的步骤是“一作、二证、三计算” ，转化为三角形求解 (2)向量法(或坐标法)求线面角，分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向 量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)，注意范围是 0， 2 . 【训练 2】 如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为边长为 2 的菱形， ADC60，PC
22、CD，E 为 PC 的中点，PC1，PA 7. (1)求证：PA平面 BDE； (2)(一题多解)求直线 BE 与平面 PBD 所成的角的正弦值 (1)证明连接 AC，交 BD 于点 O，连接 EO，则 EOPA， 因为 PA平面 BDE，EO平面 BDE， 所以 PA平面 BDE. (2)解法一取 AB 的中点 F，连接 PF，FC，AC，作 PHCF 于点 H， 则由 ACCB，得 ABPF，ABFC， 因为 PFFCF，所以 AB平面 PFC，则 ABPH， 因为 ACABA，所以 PH平面 ABC. 在PAB 中，AB2，PAPB 7，得 PF 6， 又 PC1，FC 3，于是可求得
23、PH 6 3 ， 因为 SBDC1 22 3 3，PH 6 3 ， PCCD，所以在 RtDPC 中，PD 5， 又 PB 7，BD2 3，所以 PD2PB2BD2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 PBPD，所以 SPBD 35 2 ， 由 VPBDCVCPBD，得点 C 到平面 PBD 的距离为2 2 35， 则点 E 到平面 PBD 的距离为 2 35， 又在PBC 中，易求得 EB 21 2 . 设直线 BE 与平面 PBD 所成的角为，
24、 则 sin 2 35 EB 2 30 105 . 所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为2 30 105 . 法二建立如图所示的空间直角坐标系， 则易知 A(1，0，0)，B(0，3，0)，C(1，0，0)，D(0， 3，0)， 由 PA 7， PC1， PD 5， 得 P 3 2， 3 6 ， 6 3 ，则 E 5 4， 3 12， 6 6 ， 则BE 5 4， 13 3 12 ， 6 6 ， PB 3 2， 7 3 6 ， 6 3 ，BD (0，2 3，0)， 所以可求得平面 PBD 的一个法向量为 m(2 2，0，3 3)， 设直线 BE 与平面 PBD 所成的角为， 则 s
25、in | BE m |BE |m|2 30 105 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 即直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为2 30 105 . 考点三求二面角 【例 3】 (2021台州评估测试)如图，ABC 与等边三角形 ABD 所在的平面相互 垂直，DEBC，M 为线段 AD 的中点，直线 AE 与平面 CBM 交于点 N，BCBA 2DE2，ABC90. (1)求证：平面 CBMN平面 ADE； (2)求二面角 BCNA 的余弦值 (
26、1)证明因为平面 ABC平面 ABD，且两平面交于 AB，ABC90，BC平面 ABC， 所以 BC平面 ABD，所以 BCAD. 又因为ABD 为等边三角形，M 为线段 AD 的中点， 所以 BMAD. 因为 BCBMB，所以 AD平面 CBMN. 又因为 AD平面 ADE，所以平面 CBMN平面 ADE. (2)解因为 DEBC，DE平面 CBMN，且 BC平面 CBMN， 所以 DE平面 CBMN. 因为平面 ADE平面 CBMNMN， 所以 DEBCMN，所以 N 为 AE 的中点 取 AB 的中点 O，连接 OD， 因为ABD 为等边三角形，所以 ODAB， 故以 O 为坐标原点，O
27、B 所在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，OD 所在直 线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则 A(1，0，0)，C(1，2，0)， N 1 2， 1 2， 3 2 ，D(0，0， 3)， 所以AC (2，2，0)，AN 1 2， 1 2， 3 2 . 设平面 ACN 的法向量为 n1(x，y，z)， 由 AC n10， AN n10，可得 2x2y0， 1 2x 1 2y 3 2 z0， 取 x1
28、，则 y1，z0， 所以平面 ACN 的一个法向量 n1(1，1，0)， 由(1)得 AD平面 CBMN， 所以平面 CBMN 的一个法向量 n2AD (1，0， 3) 设二面角 BCNA 的平面角为. 所以 cos n1n2 |n1|n2| 1 2 2 2 4 ， 由图知二面角 BCNA 为锐角， 所以二面角 BCNA 的余弦值为 2 4 . 感悟升华(1)几何法求二面角的步骤是“一作、二证、三计算”注意利用二面 角一个平面的垂线、垂面找(作)平面角 (2)利用向量计算二面角大小的常用方法： 找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个 平面的法向量的夹角得到二面角的
29、大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大 小 找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂 足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 【训练 3】 (2021嘉兴测试)如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABCA1B1C1 中，侧面 AA1C1C底面 ABC，底面ABC 是边长为 2 的正三角形，A1AA1C， A1AA1C. (1)求证：A1C1B1C； (2)求二面角 B1
30、A1CC1的正弦值 (1)证明如图，取 A1C1的中点 D，连接 B1D，CD， C1CA1AA1C， CDA1C1， 底面ABC 是边长为 2 的正三角形， ABBC2，A1B1B1C12，B1DA1C1， 又 B1DCDD，B1D平面 B1CD，CD平面 B1CD， A1C1平面 B1CD，A1C1B1C. (2)解法一如图，过点 D 作 DEA1C 于点 E，连接 B1E. 侧面 AA1C1C底面 ABC， 侧面 AA1C1C平面 A1B1C1，又 B1DA1C1， 侧面 AA1C1C平面 A1B1C1A1C1， B1D平面 A1CC1，B1DA1C，DEB1DD， A1C平面 B1DE
31、，B1EA1C， B1ED 为所求二面角的平面角 A1B1B1C1A1C12，B1D 3， 又ED1 2CC 1 2 2 ，tan B1EDB1D ED 3 2 2 6， sinB1ED 42 7 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 二面角 B1A1CC1的正弦值为 42 7 . 法二如图，连接 OB，取 AC 的中点 O，以 O 为坐标原点，射线 OB，OC，OA1 分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 O(0，0，0)， B( 3，
32、0，0)，A1(0，0，1)，B1( 3，1，1)，C1(0，2，1)，C(0，1，0)， A1B1 ( 3，1，0)，A1C (0，1，1) 设 m(x，y，z)为平面 A1B1C 的法向量， mA1B1 3xy0， mA1C yz0， 令 y 3，得 m(1，3， 3)， 又OB ( 3，0，0)为平面 A1CC1的一个法向量， cos m， OB mOB |m|OB | 7 7 ， 由图易知所求二面角为锐角， 二面角 B1A1CC1的正弦值为 42 7 . 空间向量在立体几何中的应用 【例题】 (满分 15 分)(2018浙江卷)如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B， C
33、1C 均垂直于平面 ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2. (1)证明：AB1平面 A1B1C1； (2)求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 审题路线图 法一(向量法) 法二(几何法) (1) 在AB1A1中， 在AB1C1中 勾股 定理 AB1A1B1， AB1B1C1 线面垂直 判定定理 AB1平面 A1B1C1 (2) 由(1)结论 平面 A1B1C1平面 ABB1 垂面法 直线
34、AC1与平面 ABB1的夹角C1AD 在A1B1C1中，由三 边计算 cosC1A1B1 在 RtADC1中计算 C1D 在 RtADC1中计算 sinC1AD 结论 满分解答 法一(1)证明如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴 的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz. 由题意知各点坐标如下： A(0， 3，0)，B(1，0，0)，A1(0， 3，4)，B1(1，0，2)，C1(0，3，1) 3 分 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期
35、待你的加入与分享 因此AB1 (1，3，2)，A1B1 (1，3，2)，A1C1 (0，2 3，3).5 分 由AB1 A1B1 0 得 AB1A1B1. 由AB1 A1C1 0 得 AB1A1C1. 又 A1B1A1C1A1， 所以 AB1平面 A1B1C1.7 分 (2)解设直线 AC1与平面 ABB1所成的角为. 由(1)可知AC1 (0，2 3，1)，AB (1，3，0)，BB1 (0，0，2).9 分 设平面 ABB1的法向量 n(x，y，z) 由 nAB 0， nBB1 0， 即 x 3y0， 2z0， 可取 n( 3，1，0) 12 分 所以 sin |cosAC1 ，n| |A
36、C1 n| |AC1 |n| 39 13 . 因此，直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是 39 13 . 15 分 构建模板 利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” 建立空间直角坐标系，写出点的坐标 用向量表示几何元素 通过向量运算，得出结论 用向量表示几何元素 设求平面的法向量 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 代入线面角的向量公式，结论 法二(1)证明由 AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB 得 AB1A1B1 2 2，所以
37、 A1B21AB21AA21， 由 AB1A1B1.3 分 由 BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC 得 B1C1 5， 由 ABBC2，ABC120得 AC2 3， 由 CC1AC，得 AC1 13，所以 AB21B1C21AC21， 故 AB1B1C1，6 分 又 A1B1B1C1B1， 因此 AB1平面 A1B1C1.7 分 (2)解如图，过点 C1作 C1DA1B1，交直线 A1B1于点 D，连接 AD. 9 分 由 AB1平面 A1B1C1，AB1平面 ABB1，得 平面 A1B1C1平面 ABB1， 由 C1DA1B1得 C1D平面 ABB1， 所以C1AD 是 AC
38、1与平面 ABB1所成的角.12 分 由 B1C1 5，A1B12 2，A1C1 21得 cosC1A1B1 6 7，sinC 1A1B1 1 7，所 以 C1D 3，故 sinC1ADC1D AC1 39 13 . 因此，直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是 39 13 . 15 分 构建模板 利用勾股定理，计算证明 AB1A1B1 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 证明 AB1B1C1 由线面垂直判定定理得结论 (几何法求线面角的步骤：“一
39、作，二证，三计算”) 作出线面角 论证线面角 计算线面角(的正弦值) 【训练】 (一题多解)(2017浙江卷)如图，已知四棱锥 PABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E 为 PD 的中点 (1)证明：CE平面 PAB； (2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值 法一过 P 作 PHCD， 交 CD 的延长线于点 H.不妨设 AD2，BCAD，CDAD，则易求 DH1 2， 过 P 作底面的垂线，垂足为 O，连接 OB，OH，易得 OHBC，且 OP，OB，OH 两两垂直故可以 O 为原点，以 OH，OB，OP 所在直线分别为
40、 x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系，如图所示 (1)证明由 PCAD2DC2CB，E 为 PD 的中点，则可得： 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 D 1，1 2，0， C 1，3 2，0， P 0，0， 3 2， A 1，1 2，0， B 0，3 2，0， E 1 2， 1 4， 3 4 ， 则CE 1 2， 5 4， 3 4 ，PA 1，1 2， 3 2 ，PB 0，3 2， 3 2 . 设平面 PAB 的法向量为 n(x，y，z)， 则
41、nPA x1 2y 3 2 z0， nPB 3 2y 3 2 z0. 令 y1，则 x1， y1， z 3， n(1，1， 3)， CE n1 21 5 4 1 3 4 30. 又CE平面 PAB，CE平面 PAB. (2)解由(1)得PC 1，3 2， 3 2 ，PB 0，3 2， 3 2 ，CE 1 2， 5 4， 3 4 . 设平面 PBC 的法向量 m(x，y，z)， 则 mPB 3 2y 3 2 z0， mPC x3 2y 3 2 z0. 令 y1，则 x0， y1， z 3， m(0，1， 3) 设直线 CE 与平面 PBC 所成的角为，则 sin |cosm， CE |mCE |
42、 |m|CE | 1 2 4 2 2 8 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2 8 . 法二(1)证明如图， 设 PA 中点为 F，连接 EF，FB. 因为 E，F 分别为 PD，PA 中点， 所以 EFAD 且 EF1 2AD， 又因为 BCAD，BC1 2AD， 所以 EFBC 且 EFBC， 即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CEBF. 又因为 CE平面 PAB，BF平面 PAB， 因此 CE
43、平面 PAB. (2)解分别取 BC，AD 的中点为 M，N， 连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ. 因为 E，F，N 分别是 PD，PA，AD 的中点， 所以 Q 为 EF 中点， 在平行四边形 BCEF 中，MQCE. 由PAD 为等腰直角三角形得 PNAD. 由 DCAD，N 是 AD 的中点得 BNAD. 因为 PNBNN，所以 AD平面 PBN. 由 BCAD 得 BC平面 PBN， 因为 BC平面 PBC，所以平面 PBC平面 PBN. 过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，则 QH平面 PBC.连接 MH，则 MH 是 MQ 在 平面 PBC 上的射影，所以QMH 是直
44、线 CE 与平面 PBC 所成的角设 CD1. 在PCD 中，由 PC2，CD1，PD 2得 CE 2， 在PBN 中，由 PNBN1，PB 3得 QH1 4， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 在 RtMQH 中，QH1 4，MQ 2， 所以 sinQMH 2 8 ， 所以直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 2 8 . 基础巩固题组 一、选择题 1(2021济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1， CACC12C
45、B，则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为() A. 5 5 B. 5 3 C.2 5 5 D.3 5 答案A 解析不妨令 CB1，则 CACC12，可得 O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2， 0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)， BC1 (0，2，1)，AB1 (2，2，1)， cosBC1 ， AB1 BC1 AB1 |BC1 |AB1 | 41 5 9 1 5 5 5 0. BC1 与AB1 的夹角即为直线 BC1与直线 AB1的夹角， 直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 5 5 . 2如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为线段 A1C1的中点
46、，则异面直线 DE 与 B1C 所成角的大小为() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 答案C 解析连接 AC，BD，B1E，设 BD 与 AC 交于点 O，连接 B1O，则四边形 DOB1E 为平行四边形，所以 DEOB1，所以异面直线 DE 与 B1C 所成角为OB1C，设正 方体棱长为 1，则 B1C 2，OC 2 2 ，B1O1 2 2 2 ， 所以 cosOB1C 211 2 1 2 21 2 2 2 2
47、 3 2 . 又因为异面直线所成角的范围是 0， 2 ， OB1C 6. 3 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 点 E 为 BB1的中点， 则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为() A.1 2 B.2 3 C. 3 3 D. 2 2 答案B 解析以 A 为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立 如图所示的空间直角坐标系 Axyz，设棱长为 1， 则 A1(0，0，1)，E 1，0，1 2 ，D(0，1，0)， A1D (0，1，1)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分
48、享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A1E 1，0，1 2 . 设 平 面 A1ED 的 一 个 法 向 量 为 n1 (1 ， y ， z) ， 则 有 A1D n10， A1E n10， 即 yz0， 11 2z0， y2， z2. n1(1，2，2) 平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0，0，1)， cosn1，n2 2 31 2 3， 即所成的锐二面角的余弦值为2 3. 4(2021金丽衢十二校三联)正四面体 ABCD，E 为棱 AD 的中点，过点 A 作平 面 BCE 的平行平面，该平面与平面 ABC、平面 ACD 的交线分别为 l1，
49、l2，则 l1， l2所成角的正弦值为() A. 6 3 B. 3 3 C.1 3 D. 2 2 答案A 解析由题意得 BCl1，CEl2，则BCE 即为 l1与 l2所成角设正四面体的棱 长为 a，则易得 EBEC 3 2 a，设 BC 的中点为 F，连接 EF，则易得 EF 2 2 a， 则 l1与 l2所成角的正弦值为 sinBCEEF EC 2 2 a 3 2 a 6 3 ，故选 A. 5 在三棱锥 PABC 中， 点 P 在底面的正投影恰好是等边ABC 的边 AB 的中点， 且点 P 到底面 ABC 的距离等于底面边长设PAC 与底面所成的二面角的大小 为，PBC 与底面所成的二面角
50、的大小为，则 tan()的值是() A.3 4 3B.2 5 3 C 8 13 3D5 8 3 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案C 解析如图，设点 P 在边 AB 上的射影为 H，作 HFBC，HEAC，连接 PF， PE. 依题意，HEP，PFH. 不妨设等边ABC 的边长为 2，则 PH2，AHBH1. HE 3 2 ，HF 3 2 ，则 tan tan 2 3 2 4 3， 故 tan() 2tan 1tan2 2 4 3 1 4 3 2 8
