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3、位置关系的一些简单定理(包 括三垂线定理). 1.空间向量及其有关概念 名称语言描述 共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线 共面向量平行于的向量 共线向量 定理 对空间任意两个向量a,b(b0),ab存在R,使得 互相平行或重合 同一平面 a=b 名称语言描述 共面向量 定理 若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面存在唯一的有序 实数对(x,y),使p=xa+yb 空间向量 基本定理 xa+yb+zc 1 ab=0 a2 3.空间向量的坐标运算 已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2) 坐标表示 加法a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) 减
4、法a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2) 数乘a=(x1,y1,z1),其中是实数 数量积ab=x1x2+y1y2+z1z2 共线ab 垂直ab 两向量夹角 x1=x2,y1=y2,z1=z2 x1x2+y1y2+z1z2=0 4.空间位置关系的向量表示 位置关系向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1l2n1n2n1=n2 l1l2n1n2n1n2=0 直线l的方向向量为n, 平面的法向量为m lnmmn=0 lnmn=m 平面,的法向量分别为n,m nmn=m nmnm=0 题组一常识题 3.教材改编已知向量a=(2m+1,3,m- 1),b=(2,m,-m),且a
5、b,则实数m的值等 于. -2 4.教材改编与向量a=(3,4,5)共线的单位 向量是. 5.教材改编正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则线段EF的 长为. 题组二常错题 索引:忽略向量共线与共面的区别;使用向量的数量积公式出错;忽视向量夹角与其余 弦值的对应关系. 解析若a与b共线,则a,b所在的直线可能平行也可能重合,故为假命题; 三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故为假命题; 只有当a,b,c不共面时,空间任意一个向量p才一定能表示为p=xa+yb+zc,故为假命 题; 根据向量的运算法则可知为真命题.故填. 7.若a=(-1,-2),b
6、=(2,-1,1),a与b的夹角 为120,则的值为.17或-1 8.如图所示,在大小为45的二面角 A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都 是边长为1的正方形,则B,D两点间 的距离是. C 思路点拨进行向量坐标的加法和数乘 运算即可. 解析a+2b=(2,1,-3)+2(1,-1,2)=(4,-1,1). 故选B. B 总结反思在向量的线性运算中,有以下几个关键点: (1)结合图形,以图形为指导是解题的关键,明确图形中各线段的几何关系; (2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义; (3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立. C D 思路点拨由ab,可得对应
7、坐标成比例, 进而得出x的值. 探究点二共线、共面向量定理的 应用 例2 (1)已知向量a=(-1,-2,3),b=(x,2, -3),若ab,则x=() A.-1B.0 C.1D.2 C 思路点拨利用向量共面定理即可得出结论. D 思路点拨(1)建立适当的空间直角坐标系,设正方体 的棱长为2,求出平面A1BD、平面B1CD1的法向量,证明 法向量平行,即可证明结论. 探究点三利用空间向量证明平 行或垂直 例3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M,N分别为AB,B1C的中点. (1)证明:平面A1BD平面B1CD1; (2)证明:MN平面A1BD. 探究点三利用空间向量证明平 行
8、或垂直 例3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M,N分别为AB,B1C的中点. (1)证明:平面A1BD平面B1CD1; (2)证明:MN平面A1BD. 总结反思(1)选取空间不共面的三个向量为基底,用基底表示已知条件和所需解 决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程; (2)通过计算向量的数量积为0,可证明垂直问题; (3)要证线面平行,只要证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量 线性表示即可. 变式题 如图,四边形ABCD是正 方形,PA平面ABCD,EBPA, AB=PA=4,EB=2,F为PD的中点. 求证:(1)AFPC; (2)BD平面PEC. 变式
9、题 如图,四边形ABCD是正 方形,PA平面 ABCD,EBPA,AB=PA=4,EB=2, F为PD的中点. 求证:(1)AFPC; (2)BD平面PEC. 【备选理由】例1考查了空间向量的加法、减法运算,共线向量定理,考查了推 理能力与计算能力、数形结合;例2考查了空间向量的坐标表示与共面定理的 应用问题;例3考查利用空间向量证明线线垂直及求异面直线所成的角. B 例2配合例2使用已知a=(2, -1,3),b=(-1,4,-2),c=(1,3,),若a,b,c 三个向量共面,则实数等于() A.1B.2 C.3D.4 A 例3配合例3使用如图所示,在四 棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为 平行四边形,以顶点A为端点的三条 棱的长都为1,且两两夹角为60. (1)求AC1的长; (2)求证:AC1BD; (3)求异面直线BD1与AC所成角的余 弦值. 例3配合例3使用如图所示,在四 棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为 平行四边形,以顶点A为端点的三条 棱的长都为1,且两两夹角为60. (1)求AC1的长; (2)求证:AC1BD; (3)求异面直线BD1与AC所成角的余 弦值.
