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3、 平面的法向量的夹角为120,则直 线l与平面所成的角等于. 解析设直线l与平面所成的角为,根据 线面角的定义,有+90=120,即得直线l 与平面所成的角=30. 2. .教材改编已知两个平面的法向量 分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则这两个平 面所成的角为. 45 3.教材改编在正方体ABCD- A1B1C1D1中,E为棱A1B1的中点, 则异面直线AE与BD1所成角的 余弦值为. 题组二常错题 索引:二面角取值范围出错;异面直线夹角范围出错;线面角范围出错. 5.在一个二面角的两个半平 面内都和二面角的棱垂直的 两个向量分别为(0,- 1,3),(2,2,4),则这个二面角
4、的 余弦值为. 解析建立如图所示的空间直角坐标系, 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 ,二面角B-A1C1-D1的余弦值为. 解析如图,建立空间直角坐标系, 思路点拨 (1)由题可求出该圆锥的高h=2,再根 据圆锥的体积公式计算,即可求出圆锥的体积. 总结反思 (1)用几何法求异面直线所成的角时,可将异面直线通过平移转化为 共面直线; (2)用向量法求异面直线所成角的步骤:选择三条两两垂直的直线建立空间 直角坐标系;确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向 量;利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;两
5、异面直线所成角的余 弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值. A A (2)2020青岛模拟 已知四棱锥P- ABCD的所有棱长均相等,点E,F分 别在棱PA,PC上,且EF底面ABCD, 则异面直线EF与PB所成角的大小 为() A.30B.45 C.60D.90 解析连接AC,BD(图略),设ACBD=O,连 接OP,则EF平面PAC,平面PAC平面 ABCD=AC,EF底面 ABCD,EFAC,四边形ABCD为菱 形,ACBD,O为AC的中 点,PA=PC,POAC,又 BDOP=O,AC平面PBD,ACPB. 又EFAC,EFPB,即异面直线EF与PB 所成角的大小为90.故选D. D 思路
6、点拨 (1)过D作DOAE,垂足为O,连接 OB,BD,得出OBOD,证出OD平面ABE,从而证 得平面ADE平面ABE. 总结反思 (1)解决直线与平面所成角的问题,关键是找到此直线在平面上的射 影,常用的方法是寻找一个经过此直线并与已知平面垂直的平面,从而利用面面 垂直的性质定理确定直线上一点在平面上的射影.如果从已知直线出发较难找 到直线在平面上的射影时,可以尝试通过平移直线(或平面)将它转化到其他位 置来解决.当然我们也可以利用等体积法直接求出直线上一点到平面的距离,从 而使问题得到解决. (2)事实上,对于建立空间直角坐标系比较方便的几何体,我们可以通过向量来 解决,如果有特殊的几何
7、背景,还可以通过补形等方法来解决. 思路点拨 (1)由DAAB,然后证明DAMB,又 MBMA,即可推出MB平面MAD. 解:(1)证明:因为平面MAB与平面ABCD,平面 MAB平面ABCD=AB, DAAB,所以DA平面MAB,又MB平面MAB,所以 DAMB. 由题可知MBMA,因为MADA=A,所以MB平面 MAD. 思路点拨 (2)思路二:二面角D-MA-C的大小即为二 面角B-MA-D的大小与二面角B-MA-C大小的差,由(1) 知二面角B-MA-D的大小为90,故二面角D-MA-C的 正弦值即为二面角B-MA-C的余弦值,求出二面角B- MA-C的余弦值即可. 解:(2)方法二:
8、二面角D-MA-C的大小即为二面角B- MA-D的大小与二面角B-MA-C大小的差,由(1)可知 二面角B-MA-D的大小为90, 所以二面角D-MA-C的正弦值即为二面角B-MA-C 的余弦值.过M作MOAB于O(图略),因为平面 MAB平面ABCD,平面MAB平面ABCD=AB,所以 MO平面ABCD,MBO即为MB与平面ABCD所成 的角,由已知得MBA=45,则MA=MB,此时O为AB 的中点. 连接OC,由BAD=ADC=90,AB=AD=2DC,得四 边形AOCD为矩形,所以OCAB, 所以CO平面MAB, 总结反思 (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到二
9、面 角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是利用三垂 线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出两个 平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成. 变式题 2019全国卷 如图,长方 体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是 正方形,点E在棱AA1上,BEEC1. (1)证明:BE平面EB1C1; (2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的 正弦值. 解:(1)证明:由已知得,B1C1平面ABB1A1,BE平面 ABB1A1,故B1C1BE. 又BEEC1,所以BE平面EB1C1. 变式题 20
10、19全国卷 如图,长方 体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是 正方形,点E在棱AA1上,BEEC1. (1)证明:BE平面EB1C1; (2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的 正弦值. 【备选理由】例1主要考查通过构造法作出异面直线,考查空间想象能力和作 图能力;例2主要考查直线与平面平行、向量法求异面直线所成的角及向量法 求直线与平面所成的角,综合性强;例3考查了线线垂直的证明,线面角的正弦值 的求法,空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查了运算求解能 力;例4考查了直线与平面平行的判定、利用空间向量求解空间角,训练空间想 象能力与思维能力;例5考查了不能通过条
11、件直接建系求解空间角的情况,供学 有余力的学生补充使用. A 例2 配合例1、例2使用 如图所示, 在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是菱 形,ADC=60,AC与BD交于点O,EC 底面ABCD,F为BE的中点,AB=CE. (1)求证:DE平面ACF; (2)求异面直线EO与AF所成角的余弦值; (3)求AF与平面EBD所成角的正弦值. 解:(1)证明:如图,连接OF,由题可知O为BD的中 点,又F为BE的中点,所以OF为BDE的中位线, 可得OFDE,又OF平面ACF,DE 平面ACF, 所以DE平面ACF. (2)取AD的中点G,连接CG, 因为底面ABCD是菱形, ADC=60,所
12、以ACD是等边三角形,所以 CGAD,因为CBAD,所以CGCB,又EC平 面ABCD,所以以C为坐标原点,建立如图所示的 空间直角坐标系. 例2 配合例1、例2使用 如图所示, 在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是菱 形,ADC=60,AC与BD交于点O,EC 底面ABCD,F为BE的中点,AB=CE. (1)求证:DE平面ACF; (2)求异面直线EO与AF所成角的余弦值; (3)求AF与平面EBD所成角的正弦值. 例2 配合例1、例2使用 如图所示, 在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是菱 形,ADC=60,AC与BD交于点O,EC 底面ABCD,F为BE的中点,AB=CE. (1)求证:DE平面ACF; (2)求异面直线EO与AF所成角的余弦值; (3)求AF与平面EBD所成角的正弦值. 解:(1)证明:连接AC(图略),由题知ACD为等 边三角形, 因为M为AD的中点,所以CMAD, 又ADBC,所以CMBC, 因为平面ABCD平面PBC,且平面ABCD 平面PBC=BC,CM平面ABCD, 所以CM平面PBC,故CMPB. 解:(1)证明:如图,连接BD,交AC于点F,则F为BD 的中点,连接EF, 又E为PD的中点,EFPB. EF平面ACE,PB 平面ACE, PB平面 ACE.
