1、大一轮复习讲义 第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 10.5离散型随机变量的分布列、均值与方差 考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布 列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变 量的分布列. 2.了解超几何分布，并能进行简单应用. 3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.会求简单 离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、 方差概念解决一些简单问题. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础
2、落实 1 1.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 (1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.所有取值可以_ 的随机变量称为离散型随机变量. 知识梳理 一一列出 (2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi， xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则称表 Xx1x2xixn Pp1p2pipn 为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质： pi0，i1,2，n； . 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 . 概率之和 2.两点分布两点分布 如果随机变量X的分布列为 X01 P1pp 其中0p
3、1，则称离散型随机变量X服从 . 其中pP(X1)，称为成功概率. 两点分布 3.离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 Xx1x2xixn Pp1p2pipn (1)均值 称E(X) 为随机变量X的均值或数学期望. 它反映了离散型随机变量取值的 . x1p1x2p2xipixnpn 平均水平 (2)方差 称D(X) 为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其 均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根 为随机变量X的标 准差. 4.均值与方差的性质均值与方差的性质 (1)E(aXb) . (2)D(aXb) .(a，b为常数) aE(X)
4、b a2D(X) 5.超几何分布超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品， 则P(Xk) (k0,1,2，m)，即 X01m P 其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*. 如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几 何分布. 微思考 1.某电子元件的使用寿命x1，掷一枚骰子，正面向上的点数x2，思考x1， x2可作为离散型随机变量吗？ 提示x1不可作为离散型随机变量，x2可作为离散型随机变量. 2.期望和算术平均数有何区别？ 提示期望刻画了随机变量取值的平均水平；而算术平均数是针对若干 个已知常数来说的. 题组一思考题组一思考辨
5、析辨析 基础自测 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象. () (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度， 方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.() (3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何 分布.() (4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此对立的.() 题组二教材题组二教材改编改编 2.设随机变量X的分布列如下： X12345 Pp 则p为 X101 P 3.已知X的分布列为 设Y2X3，则E(Y)的值为 4.若随机变量X满足P(Xc)
6、1，其中c为常数，则D(X)的值为_. 0 解析P(Xc)1，E(X)c1c， D(X)(cc)210. 题组三易错自题组三易错自纠纠 5.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是 A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数 D.取到的球的个数 解析选项A，B表述的都是随机事件； 选项D是确定的值2，并不随机； 选项C是随机变量，可能取值为0,1,2. 6.若随机变量X的分布列为 X210123 P0.10.20.20.30.10.1 则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是 A.(，2 B.1,2C.(1,2 D.(1,2) 解析由随机变量X的分布列
7、知， P(X1)0.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5，P(X2)0.8， 则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是(1,2. TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一分布列的求法 师生共研 例1一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为 1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到 任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率； 解设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则 (2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的 分布列. 解随机变
8、量X的所有可能取值为1,2,3,4， X的分布列为 X1234 P 离散型随机变量分布列的求解步骤 思维升华 跟踪训练1有编号为1,2,3，n的n个学生，入座编号为1,2,3，n 的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的 编号不同的学生人数为X，已知X2时，共有6种坐法. (1)求n的值； 解得n4或n3(舍去)，所以n4. (2)求随机变量X的分布列. 解因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X， 由题意可知X的可能取值是0,2,3,4， 所以X的分布列为 X0234 P 题型二均值与方差 师生共研 例2为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑
9、雪促 销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时 的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙 两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分 别为 ；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为 ；两人滑雪 时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； 解两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元， 甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为 (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与均值 E()，方差D(). 解的所有可能取值为0,40,80,120,160，则 所以的分布
10、列为 04080120160 P 思维升华 求离散型随机变量的均值与方差的步骤 (1)理解的意义，写出可能的全部值. (2)求取每个值的概率. (3)写出的分布列. (4)由均值的定义求E(). (5)由方差的定义求D(). 跟踪训练2现有A，B，C3个项目，已知某投资公司投资A项目的概率 为 ，投资B，C项目的概率均为p，且投资这3个项目是相互独立的，记 X是该投资公司投资项目的个数，若P(X0) ，则随机变量X的均值 E(X)_. 解析由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3， 题型三超几何分布 师生共研 例3为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员 组队参加.现有来自
11、甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运 动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同 一个协会”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求 E(X). 解随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. 所以随机变量X的分布列为 X1234 P 思维升华 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的 个数.超几何分布的特征是： 考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体， 考查某类个体数X的概率分布. (2)超几何分
12、布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实 质是古典概型. 跟踪训练3某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人.上级 部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方 法抽取5名员工进行考核. (1)求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少； (2)考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈.设选 出的3人中女员工人数为X，求随机变量X的分布列和均值. 解由(1)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人. 所以，随机变量X的所有可能取值为0,1,2. 随机变量X的分布列是 X012 P KESHIJINGLIAN3 课时精练 基础保分练
13、 1.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点 数之差为，则“5”表示的试验结果是 A.第一枚6点，第二枚2点B.第一枚5点，第二枚1点 C.第一枚1点，第二枚6点D.第一枚6点，第二枚1点 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5. 2.设随机变量X的分布列为P(Xi) (i1,2,3)，则P(X2)等于 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.(2021沈阳模拟)设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(Xk) akb，若X的均值为E(X)3，则ab等于 解析由题意
14、知(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1，即10a4b1， 又X的均值E(X)3，则(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3， 即30a10b3， 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.已知随机变量的分布列如下，且E()6.3，则a的值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 4a9 P0.50.1b A.5 B.6C.7 D.8 解析由概率分布列性质，知0.50.1b1，所以b0.4， 所以E()40.5a0.190.46.3， 所以a7. 5.(多选)(2021泰安模拟)设离散型随机变量X的分布列为 X01234 Pq0.40.10.
15、20.2 若离散型随机变量Y满足Y2X1，则下列结果正确的是 A.q0.1 B.E(X)2，D(X)1.4 C.E(X)2，D(X)1.8 D.E(Y)5，D(Y)7.2 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为q0.40.10.20.21，所以q0.1，故A正确； 又E(X)00.110.420.130.240.22， D(X)(02)20.1(12)20.4(22)20.1(32)20.2(42)2 0.21.8，故C正确，B不正确； 因为Y2X1，所以E(Y)2E(X)15，D(Y)4D(X)7.2，故D正确. 12345678910 11 12 13 14
16、15 16 6.(多选)(2020杭州质检)已知随机变量的分布列如下： 012 Pbaba A.E()增大 B.E()减小 C.D()先增大后减小 D.D()先减小后增大 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得b0.5,0a0.5，E()0.52a,0a0.5. D()(2a0.5)2(0.5a)(0.52a)20.5(1.52a)2a 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.某射击选手射击环数的分布列为 12345678910 11 12 13 14 15 16 X78910 P0.
17、30.3ab 若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为_. 40% 解析由分布列的性质得ab10.30.30.4， 故射击一次的优秀率为40%. 8.随机变量X的分布列如下： 12345678910 11 12 13 14 15 16 X101 Pabc 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_，公差d的取值范围是 _. 解析a，b，c成等差数列，2bac. 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.已知随机变量的分布列为 12345678910 11 12 13 14 15 16 123 P0.5xy 解析由分布列性质，得xy0.5. 12345678910 1
18、1 12 13 14 15 16 10.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个 红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设为取出的4个球中 红球的个数，则P(2)_. 解析由题意可知， 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.(2021武威模拟)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道 试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从 备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2题才算合格. (1)设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为X，Y，写出随机变量X，Y 的分布列； 12345678910 11 12 1
19、3 14 15 16 解随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3， 所以随机变量X的分布列为 X0123 P 12345678910 11 12 13 14 15 16 随机变量Y的所有可能取值为1,2,3， 所以随机变量Y的分布列为 Y123 P 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 因为事件A，B相互独立，所以甲、乙两人均不合格的概率为 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.某投资公司在2021年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上， 现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车.据市场调研
20、，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为 ； 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%， 可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 和 . 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明 理由. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300， 150.则X1的分布列为 X1300150 P 12345678910 11 12 13 14 15 16 若按“项目二”投资，设获利为X2万元，X2的所有可能取值为500， 300,0.则X2的分布列为 X25003000 P 12345678910 11 12 13 14 15 16 E(X1)E(X2)，D(X1)0， 当X(400,600时，f(X)g(X)(1 8004X)(2 1004X)300g(Y)， 故X(400,600时，f(X)3 720元， 故小王应选择做饿了么外卖配送员. 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
