1、一轮大题专练一轮大题专练 19解三角形（面积问题解三角形（面积问题 2） 1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3sincos ca CC b （1）求角B的大小； （2）若 6 C ，2a ，F为边AC上一点，且2CFBF，求ABF的面积 解： （1）由3sincos ca CC b 得sinsin3sinsinsincosCABCBC， 即sinsin()3sinsinsincosCBCBCBC， 所以sinsincossincos3sinsinsincosCBCCBBCBC， 因为sin0C ， 化简的3sincos1BB， 即 1 sin() 62 B ， 由B为三角
2、形内角得 2 3 B ； （2）BCF中，由正弦定理得 sinsin CFBF CBFBCF ， 所以 1 2 sin2 2 sin 2 BF CFBCF CBF BFBF ， 故 4 CBF ， 所以 5 12 ABFAFB ， 所以ABF的面积 1 22sin1 26 S 2在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若cos(2)cos0bCacB （）求B； （）若ABC面积的最大值为 3 6 ，求b 解： （）由正弦定理可得sincos(2sinsin)cos0BCACB， 即有sincossincos2sincosBCCBAB ，即sin()2sincosBCAB ， 又sin
3、()sin()sinBCAA，所以sin2sincosAAB ， 因为(0, )A，所以sin0A ， 所以 1 cos 2 B ， 又(0, )B，所以 2 3 B ； （）由（）及余弦定理可知： 222 2cosacbacB， 所以 222 acbac ， 由基本不等式得 2222 2acacbacb， 所以 2 3 b ac，当且仅当ac时等号成立， 所以 2 133 sin 2412 ABC SacBacb ， 又ABC的面积的最大值为 3 6 ， 即 2 33 126 b ， 所以2b 3 已知在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2sin3sin() 2 AB
4、A ， 其中(0,) 2 B （）若2a ，3c ，求b； （）若2a ，8CB AB ，求ABC的面积 解：( ) I因为sin2sin3sin()3cos 2 ABAA ， 所以2sin3cossin2sin() 3 BAAA ， 即sinsin() 3 BA ， 所以 3 BA 或 3 BA ， 因为(0,) 2 B ， 所以 3 AB 或 2 3 BA （舍)， 所以 2 3 C ， 由余弦定理得 2222 123 cos 222 2 abcb C abb ， 解得 62 2 b ； ()II由8CB AB 得cos8acB ， 因为2a ，所以cos4cB ， 由正弦定理 sinsi
5、n ac AC 及 3 AB ， 2 3 C ，2a 得 2 3 sin() 3 2 c B ， 所以sin()3 3 cB ，即 3 cossin3 22 cc BB， 联立得sin2 3cB ， ABC的面积 11 sin22 32 3 22 SacB 4ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sin()cos 2 A aABc （1）求A； （2）已知1b ，3c ，且边BC上有一点D满足3 ABDADC SS ，求AD 解： （1）因为sincos 2 A aCc， 由正弦定理得sinsinsincos 2 A ACC， 因为sin0C ， 所以sincos 2 A A ， 所
6、以2sincoscos 222 AAA ， 因为0 2 A ， 所以cos0 2 A ， 1 sin 22 A ， 所以 26 A ， 所以 3 A （2）解法一：设ABD的AB边上的高为 1 h，ADC的AC边上的高为 2 h， 因为3 ABDADC SS ，3c ，1b ， 所以 12 11 3 22 c hb h， 所以 12 hh，AD是ABC角A的内角平分线，所以30BAD， 因为3 ABDADC SS ，可知 3 4 ABDABC SS ， 所以 131 sin30sin60 242 ABADABAC ， 所以 3 3 4 AD 解法二：设,(0,) 3 BAD ， 则 3 DAC
7、 ， 因为3 ABDADC SS ，3c ，1b ， 所以 11 sin3sin() 223 cADbAD ， 所以sinsin() 3 ， 所以 331 ,30 223 sincossintanBAD即， 因为3 ABDADC SS ，可知 3 4 ABDABC SS ， 所以 131 sin30sin60 242 ABADABAC ， 所以 3 3 4 AD 解法三：设ADx，BDA，则ADC， 在ABC中，由3c ，1b 及余弦定理得7a 因为3 ABDADC SS ，可知 3 7 3 4 BDDC， 在ABD中， 222 2cosABBDADBD AD， 即 2 633 7 9cos
8、162 ADAD， 在ADC中， 2 77 1cos() 162 ADAD， 即 2 77 1cos 162 ADAD， 所以 3 3 4 AD 5 如 图 所 示 ， 在ABC中 ，A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 已 知 2 sincossin0bABaB，1a ，2c （1）求b和sinC； （2）如图，设D为AC边上一点， 3 7 BD CD ，求ABD的面积 解： （1）在ABC中，因为2 sincossin0bABaB， 所以由正弦定理得：2sinsincossinsin0ABBAB， 因为sinsin0AB ，所以2cos10B ， 所以 1 cos 2 B ， 又0
9、B，所以 2 3 B ， 由余弦定理得， 222 1 2cos142 1 2()7 2 bacacB ， 所以7b ， 在ABC中，由正弦定理得， sinsin cb CB ， 所以 2 2sin sin21 3 sin 77 cB C b ； （2）在ABD中，由正弦定理得， sin sin BDC CDCBD ， 因为 3 7 BD CD ，所以 sin3 sin7 C CBD ， 因为 21 sin 7 C ，所以sin1CBD， 所以 2 CBD ， 由 3 7 BD CD ，设3BDt，7CDt， 所以 222 ( 3 )1( 7 )tt，所以 1 2 t ， 所以 3 2 BD ，
10、 因为 2 326 ABDABCDBC ， 所以 11313 sin2 22224 ABD SABBDABD 6已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(2)coscosacBbC （1）求B的大小； （2）如图，ABAC，在直线AC的右侧取点D，使得24ADCD，求四边形ABCD面 积的最大值 解： （1）由正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， (2)coscosacBbC， (2sinsin)cossincosACBBC，即 2sincossincoscossinsin()sinABBCBCBCA， sin0A ， 1 cos 2 B， (0, )B， 3 B （2）由（1）知， 3 B ， ABAC，ABC为等边三角形， 在ACD中，由余弦定理知， 222 2cos164242cos2016cosACADCDAD CDDDD ， 而 11 sin42sin4sin 22 ACD SAD CDDDD ， 2 11 sinsin5 34 3cos 223 ABC SAB BCBACD ， 四边形ABCD的面积5 34 3cos4sin5 38sin() 3 ACDABC SSSDDD ， (0, )D，( 33 D ， 2 ) 3 ， 当 32 D 即 5 6 D 时，S取得最大值，为5 38， 故四边形ABCD面积的最大值为5 38
