1、所以 4an +2+ an=4an +1 所以 an +2= an +1 1 4 an 所以 an +2 1 2 an +1 an +1 1 2 an = an +1 1 4 an 1 2 an +1 an +1 1 2 an = 1 2 所以 an +1 1 2 an 为等比数列 评注把四个“部分和” 转化为三个“通项” ， 再 利用定义证明等比数列 5数学归纳法 例 5设数列 an 的前 n 项和为 S n满足 Sn = 2nan +13n24n， nN*且 S3=15 ( 1) 求 a1， a2， a3的值; ( 2) 求数列 an 的通项公式 解析( 1) 当 n =2 时， S2=
2、4a3 20， S3= S2+ a3 =5a320 =15， 解得 a3=7 所以 a1+ a2=8 当 n =1 时， a1=2a27， 解得 a1=3， a2=5 ( 2) 猜想 an=2n +1 由( 1) 得， n =1 时猜想成立; 假设 n = k( k2) 时假设成立， 即 ak=2k +1; 由 ak= Sk Sk 1=2kak +1 3k24k 2( k 1) ak +3( k 1) 2 +4( k 1) ， 整理， 得 ak +1= ( 2k 1) ak+6k +1 2k =2( k +1)+1 所以 n = k +1 时命题成立 综上， an=2n +1 评注数学归纳法是
3、解决此类问题的通法， 尤其 是当题目中条件不容易消元时 教学中不能简单地把此类问题 “套路化” ， 要引导 学生体会 Sn与 an的双向关系， 在解题时可以根据题 目条件及要解决的问题“消部分和” 或“消通项” 消 元后通常是构造等差或等比数列 运用公式后， 是否 需要验证， 取决于项的实际意义， 项为正整数 参考文献: 1 杨二明， 罗增儒 数列公式 an= Sn Sn 1( n2) 的教 学认识 J 中学数学研究( 华南师范大学版) ，2014( 09) : 53 +1 4 ( 收稿日期: 2020 03 09) 一道圆锥曲线定值问题的深度探析 殷可丁 ( 汉中中学陕西汉中 723000)
4、 摘要: 本文首先将 2013 年高考数学江西卷文科的一道圆锥曲线试题一般化， 并对该一般化问题尝试探究， 然后 从极点、 极线、 调和点列的角度分析了该题目的几何实质， 最后从更一般的圆锥曲线的角度对该问题进行了深度探析 关键词: 高考题; 探析; 极点; 极线; 调和点列 作者简介: 殷可丁( 1979 ) ， 男， 陕西汉中人， 本科， 中学高级教师， 研究方向: 解题教学研究 1问题提出 原题( 2013 年高考数学江西卷文科) 椭圆 C: x2 a2 + y2 b2 =1( a b 0) 的离心率 e =槡 3 2 ， a + b =3 ( 1) 求椭圆 C 的方程; ( 2) 如图
5、 1， A， B， D 是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点， 直线 DP 交 x 轴于点 N， 直线 AD 交 BP 于点 M， 设 BP 的斜率为 k， MN 的斜率为 m 证明: 2m k 为定值 41理科考试研究数学版2020 年 8 月 1 日 本题第( 1) 问答案是 x2 4 + y2= 1; 第( 2) 问答案为 2m k = 1 2 为定值 笔者发现， 第( 2) 问答案定值 1 2 正 好是 b a ， 这是巧合， 还是必然?于是笔者对第( 2) 问做 了进一步的思考探究 2问题推广 笔者将原题第( 2) 问一般化为下面的结论 结论已知椭圆 C: x2
6、 a2 + y2 b2 =1( a b 0) ， 点 A， B， D 是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外的任意 一点， 直线 DP 交 x 轴于点 N， 直线 AD 交 BP 于点 M， 设 BP 的斜率为 k， MN 的斜率为 m， 则 2m k = b a 证法 1由题意， 设直线 BP 的方程为 y = k( x a) ， k0， k b a 代入椭圆 C 的方程， 得 ( b2+ a2k2) x22a3k2x + a4k2 a2b2=0 设 P( x1， y1) ， 由韦达定理， 得 ax1=a 4k2 a2b2 b2+ a2k2 所以 x1= a3k2 ab2 b2+
7、a2k2 ， y1= k( x1 a)= 2kab2 b2+ a2k2 所以 P( a3k2 ab2 b2+ a2k2 ， 2kab2 b2+ a2k2) 直线 AD 的方程为 y = b a x + b， 与 y = k( x a) 联 立， 得 M( ab + a2k ak b ， 2kab ak b) 设 N( x2， 0) ， 由 D， P， N 三点共线， 解得 x2 = a2k ab ak + b ， 所以 N( a2k ab ak + b ， 0) 所以直线 MN 的斜率 m = 2kab ak b a2k + ab ak b a2k ab ak + b = ak + b 2a
8、， 即 2m k = b a 证法 2设 P( x0， y0) ( x00， x0 a) ， 则 k = y0 x0 a 直线 AD 的方程为 y = b a x + b， 直线 BP 的方程为 y = y0 x0 a( x a) ， 直线 DP 的方程为 y = y0 b x0 x + b 可得 N( bx0 y0 b， 0) 由解得 M( a2y0+ abx0 a2b ay0 bx0+ ab ， 2aby0 ay0 bx0+ ab) 因此， 直线 MN 的斜率 m = 2aby0 ay0 bx0+ ab a2y0+ abx0 a2b ay0 bx0+ ab + bx0 y0 b = 2ab
9、y0( y0 b) a2y2 0+2abx0y02a 2by 0+ ( a 2b2 b2x2 0) = 2aby0( y0 b) 2a2y2 0+2abx0y02a 2by 0 = b( y0 b) ay0+ bx0 ab 所以 2m k = 2b( y0 b) ay0+ bx0 ab y0 x0 a = bx0y02b2x0 aby0+2ab2 ay2 0 ax0y02abx0 a2y0+ bx2 0+ a 2b = b( bx0y02b2x0 aby0+2ab2 ay2 0) abx0y02ab2x0 a2by0+ ( b2x2 0+ a 2b2) = b( bx0y02b2x0 aby0
10、+2ab2 ay2 0) abx0y02ab2x0 a2by0+ ( 2a2b2 a2y2) = b( bx0y02b2x0 aby0+2ab2 ay2 0) a( bx0y02b2x0 aby0+2ab2 ay2 0) = b a 接着， 笔者又产生了一系列问题 问题 1在双曲线和抛物线中是否有类似结论? 图 1 中有三个顶点分别是 A， D， B， 而双曲线中只 有两个顶点， 抛物线只有一个顶点， 显然， 从这一角度 将椭圆中这一结论推广到双曲线和抛物线不现实 问题 2图 1 的特征是椭圆上有一个四边形 AB- PD， 其中四边形四个点中三个点固定， 另一个点运动， 图 1 的这一几何特征
11、与该结论有什么联系? 于是， 笔者先带着问题 2 从几何的角度进行了探 究思考， 以揭示结论的几何特征 在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点， 其 中两个点是顶点， 另外一对点里， 一个点是对边点， 另 一个点是这条边与对边三点形的边的交点 注意到图 1 中有一个完全四点形 ABPD， 于是， 连接 AP， BD 交于 点 Q， 连接 MQ， 交 x 轴于点 H， 如图 2 所示 则图 2 中 点 A， B， H， N 是调和点列， 同时QMN 是一个自极三 512020 年 8 月 1 日理科考试研究数学版 角形 由QMN 是一个自极三角形， 则点 N 的极线是 MH 而点 N 在 x 轴
12、上， 可知过点 N 作椭圆的两条切 线， 其切点弦垂直于 x 轴， 该切点弦所在直线也是点 N 的极线， 因此可知 MHx 轴 由 A， B， H， N 是调和点列， 所以 HA HB = NA NB 即 HA (HN HB )= HB (HN + HA ) 所以 HA HN HB HN =2 HB HA 所以 1 HB 1 HA = 2 HN 则 2m k =2tan( MNH) tan( MBH) =2tanMNH + tanMBH =2 HM HN + HM HB = ( 2 HN + 1 HB ) HM = HM HA = OD OA = b a 到此， 问题 2 基本有了答案 进一步
13、观察思考， 笔 者又产生了如下问题 问题 3直线 AD 的斜率恰好为 b a ， 记直线 AD 的 斜率为 kAD， 则等量关系 2m k = b a 变成了 kAD+ k = 2m 成立 也就是说， 四边形 ABPD 中， 如果 A， D 不是 固定点， 那么 kAD+ k =2m 是否依然成立? 问题 4图 1 中， 四边形 ABPD 的一条边在 x 轴 上也显得有些特殊， 如果四边形 ABPD 的四条边不在 坐标轴上， 那么 kAD+ k =2m 是否成立? 带着这些问题， 笔者从更一般的圆锥曲线的角度 进行了深入思考 如图 3， 四边形 ABPD 是圆锥曲线 C 上的四边形 因为完全四
14、点形的每条边上有一组调和共轭点， 其中 两个点是顶点， 另外一对点里， 一个点是对边点， 另一 个点是这个边与对边三点形的边的交点 所以， 点 A， B， H， N 是调和点列， MA， MB， MH， MN 是调和线束 所以sinAMH sinBMH sinBMN sinAMN =1 设直线 MA， MB， MH， MN 的倾斜角分别为 1 ， 2， 3 ， 4， 则AMH = 3 1， BMN = 4 2， BMH = 2 3， AMN = 4 1 则 sin( 3 1) sin( 4 2)= sin( 2 3) sin( 4 1) 可见， 这一等量关系就是所有问题的关键 所在 由此， 也
15、可以看出原题的命题背景及本文中结论 的几何实质 在图 2 中， 3= 2 ， 则有 sin( 2 1) sin( 4 2) = sin( 2 2 ) sin( 4 1) 所以 cos1( sin4cos2 cos4sin2) = cos2( sin4cos1 sin1cos4) 去括号， 整理得 2cos1cos2sin4= cos1cos4sin2 +cos2cos4sin1 化简， 得 2tan4= tan1+ tan2 即直线 MA 的斜率 kAM， 直线 MB 的斜率 k， 直线 MN 的斜率 m 满足 kAM+ k =2m 再回到图 1 中， 当 A， D 两点固定， 则 kAM为定值， 即 2m k 为定值， 这就是 原题 参考文献: 1 梅向明， 刘增贤， 王汇淳， 王智秋 高等几何M 北 京: 高等教育出版社， 2008 ( 收稿日期: 2020 04 07) 61理科考试研究数学版2020 年 8 月 1 日
