1、 号问题的极点、 极线结构 李伟健 （ 安徽省滁州中学， ） 文 提出的 号数学问题内容如下： 中， 以 为轴（ 长轴或短轴均可） 作一椭 圆交 于 ， 交 于 设 、分别是点、 关于直线 的对称点，交于 求证： 文 给出了证明方法， 之后文 、 文 进行了大篇幅的讨论分析， 得出的结论极富美 感， 但两者推理过程由于计算过于繁琐而稍显不 和谐， 笔者从极点、 极线出发简化文 的证明； 另 外文 对文 的推广工作并不彻底， 本文对文 补充完善， 并彻底推广了文 的工作； 此外， 回归原问题， 在思考 号问题的结构过程中， 得到了一个有趣性质， 并以此为基础， 解释了文 作者赵忠华老师利用几何画
2、板发现的一个有 趣现象 文 推理过程的简化 文 对 号问题开展分析讨论， 得出两 个结论， 即为： 结论以 中的 为长轴（ 实轴） 的 椭圆（ 双曲线） 交此三角形的另两边 、 分别 于点、设、分别是点、关于直线 的对称点， 、分别是、在轴上的射影， 连 交于 ， 连 交 于 ， 连 交 于， 过点、分别作椭圆（ 双曲线） 的切线交于 点 ， 则 、五点共线 文 同样对数学问题 试图对结论进 行推广， 探究得到的个结论， 概括地来说， 即为 如下结论： 结论 设，是非退化二阶曲线 上不同的四点， 连直线 、 交于点， 连直线 、 交于点， 过点，分别作曲线的切 线交于点， 过点，分别作曲线的切
3、线交于 点 则 、四点共线 该结论具有和谐的美感， 不足之处在于论证 过程过于繁琐而失去美感， 本文从极点与极线的 角度， 结合配极原理， 予以论证， 即： 证明记 ， 由于是自极 点三点形， 直线为的极线， 因为 ， 与相切于点， 所以直线 是点的极 线， 且经过点， 根据配极原理， 点的极线必过 点， 同理直线也过点， 即、四 点共线 文 工作的彻底推广 文 所得结论较文 来说， 另一个不足之 处在于， 与文 相比， 丢失了两个点， 实际上、 两点在结论中情形是一样的， 本文拟弥补缺 失的两个点， 要想补出这两个丢失的点， 必须了解 此两点的由来， 文 中直线与直线， 交 于无穷远点， 此
4、点在位于的极线上， 至此， 、与、的由来实际上是过的极线上一点 与曲线的交点， 接下来， 就可以把文 迷失的 两点再现出来， 即： 结论 设为的极线上一点， 过作两 条直线， 分别交于点、，、 ， 且 ， ， 则 、在的极线上 证明根据完全四点形 的调和性， 数学通报 年第 卷第期 必在的极线上， 且（ ， ）， （ ，） ， 所以（，） （ ，） ， 又因为 公共点自对应， 所以（，） （， ） ， 所以直线、 三点共线， 即为在 的极线上 行文至此， 在结论 、 的基础上， 文 所 得的结论彻底推广后的一般情形如下： 定理设、是非退化二阶曲线四 点， 设 ， ， 点 是曲线 在、处切线的交
5、点，为直线 上一点， 直 线 、 与曲线另一交点分别为、 ， 且 ， ， ， ， 则 、五点共线 注文 实际上是为无穷远点的特殊 情形 号问题的结构 反思文 的简化证明过程， 实质上揭示了 号问题结构实质上是极点、 极线 直线 为的极线紧紧依赖于完全四点形 内接 于这一事实， 正是这一点导致、四点 共线， 因此说这一结果是平凡的， 通过对“ 完全四 点形 内接于” 这一条件思考， 笔者发现， 完全四点形 未必需要四点，均 与接触， 事实上有两点就可以了， 即： 定理设直线 与非退化二阶曲线相切 于点， 直线与非退化二阶曲线相切于点 ， ， ， ， 直 线 交于另一点， 直线 交于另一点 ， 那
6、么直线为的极线 证明以、为束心与另外四点， 连接， 由二阶曲线的基本定理知 （，） （，） ， 用直线 、 分别截以、为束心的线束， 则有 （，） （ ，） ， （，） （ ，） 所以 （，） （ ，） ， 因此（ ，）（， ） ， 所以（ ，）（ ，） ， 故（， ，） （， ，） ， 又因为两点列的交点自对应， 所以有 （ ，） （， ，） 年第 卷第期 数学通报 因此 、 、 三线共点， 即为 根据完全四点形 的调和性， 所以点 在的极线上， 又因为在点的极线上， 所以 点在的极线上， 所以直线为的极线 从证明过程看， 、 、 三线交于点， 可以推出欧几里得几何学中难以解释的现象变得 自
7、然， 如文 提出的如下性质， 即为本文的推 论， 即： 推论在双曲线所在的平面内任取一点 （ 该点不在渐近线和双曲线上） ， 过此点作两条渐 近线的平行线， 则这两条直线与双曲线交于两点， 与渐近线交于两点， 则双曲线上两点连线平行于 渐近线上两点连线 这一结论放到射影空间内就好解释了， 双曲 线的渐近线实际上是其与无穷远直线交点处的切 线， 为了便于解释， 如图所示： 双曲线上两点连线 ， 渐近线上两点连线 交 于无穷远点， 所以二者必然平行 注该结论属于赵忠华老师 从证明的结果看， 直线为的极线， 设 ， ， 则有如下： 推论 、四点共线， 此线就是的 极线， 也是曲线的 线 注这一图形蕴
8、藏着大量的共线点， 有兴趣 的读者不妨一试 参考文献 数学问题与解答数学通报， ， （） ： 数学问题与解答 数学通报， ， （） ： 林建 新对数学问题 的研究性 学 习 数 学 通 报， ， （） ： 杨华对数学问题 的再研究数学通报， ， （） ： ， 赵忠华双曲线一个优美性质的发现中学数学教学， （） ： （ 上接第 页） 的必修课那般常态化， 综合化， 但不可否认的是， 模型教学中学生的学习方式改变了， 学生的多种 能力提升了， 数学课堂更鲜活了， 效果也更好了！ 值得称道的是将要使用的新修订或编写的高中课 标教材已把“ 数学建模” 等核心词直接作为章节标 题的一部分， 这表明模型的
9、功能性地位不改变（ 素 材、 载体） ， 但模型的延伸价值（ 由已知模型的探讨 到未知模型的建立） 已受到重视， 学生应用意识、 实践能力的培养才能落到实处 希望模型教学是今后数学课堂教学改革中一 道靓丽的风景线， 学生通过多种合作交流活动学 中做， 做中学， 真正体会数学的实用价值， 为数学 学科育人奉献一份力量！ 参考文献 张思明张思明与中学数学建模北京： 北京师范大学出 版社， ， 章建跃， 李伯青， 金克勤， 董凯 体现函数建模思想， 加强信息 技术应用 “ 函数 （ ） 的修订研究报告” 数学通报 ， （） ： 张唯一高中概率教学中模型思想的渗透与培养数学通 报 ， （） ： 数学通报 年第 卷第期
