1、10.3频率与概率 10.3.1频率的稳定性 10.3.2随机模拟 基础过关练 题组一频率与概率的意义 1.下列说法中正确的是() A.任何事件发生的概率总是在区间(0,1)内 B.频率是客观存在的,与试验次数无关 C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率 D.概率是随机的,在试验前不能确定 2.某人将一枚均匀的正方体骰子连续抛掷了 100 次,出现 6 点的次数 为 19,则() A.出现 6 点的概率为 0.19 B.出现 6 点的频率为 0.19 C.出现 6 点的频率为 19 D.出现 6 点的概率接近 0.19 3.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷 1 000 次,那么第
2、 999 次出 现正面朝上的概率是() A. 1 999 B. 1 1 000 C. 999 1 000 D.1 2 4.(2019 江苏无锡高一期末)某种彩票中奖的概率为 1 10 000,则下列说法 正确的是() A.买 10 000 张彩票一定能中奖 本资料分享自千人教师本资料分享自千人教师 QQQQ 群群 323031380期待你的加入与分享期待你的加入与分享 B.买 10 000 张彩票只能中奖 1 次 C.若买 9 999 张彩票未中奖,则第 10 000 张必中奖 D.买一张彩票中奖的可能性是 1 10 000 题组二用频率估计概率 5.从存放号码分别为 1,2,10 的卡片的盒
3、子中有放回地取 100 次, 每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下: 卡片号码12345678910 取到的次数101188610189119 则取到的号码为奇数的概率估计值是() A.0.53B.0.5 C.0.47D.0.37 6.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取 20 袋,测得各袋的质量如下 (单位:g): 492496494495498497501502504496497 503506508507492496500501499 用频率估计概率,该自动包装机包装的白糖质量在 497.5501.5 g 之 间的概率约为() A.0.16B.0.25C.0.26D.0.24 7.假设甲、
4、 乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了 解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进 行测试,统计结果如图所示: (1)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是 甲品牌的概率. 题组三用随机模拟方法估计概率 8.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于() A.产生的随机数的大小 B.产生的随机数的个数 C.随机数对应的结果D.产生随机数的方法 9.掷两枚均匀的骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为 9 的概率 时,产生的整数随机数中,每个数字为一组() A.1B.2C.9D.1
5、2 10.在利用整数随机数进行随机模拟试验中,整数 a 到整数 b 之间(包 括 a,b,且 ab)的每个整数出现的可能性是. 11.一个盒中装有10支圆珠笔,其中7支一级品,3支二级品,任取一支, 用随机模拟的方法求取到一级品的概率. 12.一个袋中有 7 个大小、形状相同的小球,其中 6 个白球,1 个红球, 现任取 1 个,若为红球就停止,若为白球就放回,搅拌均匀后再接着取, 试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率. 能力提升练 题组一用频率估计概率 1.(2019 广东深圳中学高二下期中,)港珠澳大桥于 2018 年 10 月 24 日正式通车,它是中国境内一座连接香港、 珠海
6、和澳门的桥隧工程, 桥隧全长 55 千米,桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速 100 km/h. 现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查,画出频率分布 直方图(如图).根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行 驶速度超过 90 km/h 的概率分别为() A.85,0.25B.90,0.35 C.87.5,0.25D.87.5,0.35 2.()在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无 关紧要的问题是:“你的电话号码的尾数是奇数吗?”敏感的问题 是:“你是否服用过兴奋剂?”然后要求被调查的运动员掷一枚均匀 的硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.
7、被调 查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或 “否”,由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般 乐意如实地回答问题.用这种方法调查了 300 名运动员,得到 80 个 “是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为() A.4.33% B.3.33% C.3.44% D.4.44% 3.()某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为 续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数012345 保费0.85aa1.25a 1.5a 1.75a2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下
8、统 计表: 出险次数012345 频数605030302010 (1)记 A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求 P(A) 的估计值; (2)记 B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本 保费的 160%”,求 P(B)的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 题组二随机模拟方法的应用 4.(2020 山东济南历城二中高一下月考,)为了配合新冠疫情防控,某 市组织了以“停课不停学,成长不停歇”为主题的“空中课堂”教学 活动,为了了解一周内学生的线上学习情况,从该市抽取了 1 000 名学 生进行调查,根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图. (1)为
9、了估计从该市任意抽取的 3 名同学中恰有 2 人线上学习时间在 200,300)的概率 P,特设计如下随机模拟试验:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,依次用0,1,2,3,9的前若干个数字表示线上 学习时间在200,300)内,剩余的数字表示线上学习时间不在 200,300)内;再以每三个随机数为一组,代表线上学习的情况. 假设用上述随机模拟方法产生了如下30组随机数,请根据这批随机数 估计概率 P; 907966191925271569812458932683431 257393027556438873730113669206232 433474537679138598602
10、231 (2)为了进一步进行调查,用比例分配的分层随机抽样方法从这 1 000 名学生中抽取 20 名学生,在抽取的 20 人中,再从线上学习时间在 350,450)的同学中任意选择 2 名,求这 2 名同学来自同一组的概率. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练 1.C必然事件发生的概率为 1,不可能事件发生的概率为 0,所以任何事件发生的 概率总在区间0,1内,故 A 中说法错误;B,D 混淆了频率与概率的概念.故选 C. 2.B根据已知条件只能得到这 100 次随机试验中出现 6 点的频率为 19 100=0.19. 3.D抛掷一枚质地均匀的硬币,每次都只出现两种结果:正面朝上,反面朝上
11、,每种 结果出现的可能性相等,故所求概率为1 2. 4.D彩票中奖的概率为 1 10 000是指买一张彩票中奖的可能性为 1 10 000,D 正确; 买 10 000 张这种彩票中奖为随机事件,即买 10 000 张彩票,可能有一张中奖,可 能有多张中奖,也可能不中奖,故 A,B 错误; 若买 9 999 张彩票未中奖,则第 10 000 张彩票中奖的概率依然是 1 10 000,不是买 10 000 张彩票一定能中奖,C 错误.故选 D. 5.A由题表得,取到的号码为奇数的频率是10+8+6+18+11 100 =0.53,所以取到的号码 为奇数的概率的估计值为 0.53. 6.B样本中白
12、糖质量在 497.5501.5 g 之间的有 5 袋,所以该自动包装机包装 的白糖质量在 497.5501.5 g 之间的频率为 5 20=0.25,则概率约为 0.25. 7.解析(1)由题图得,甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5+20 100 =1 4,用频率估计 概率,所以甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为1 4. (2)由题图得,甲、乙两品牌产品寿命大于 200 小时的共有 75+70=145(个),其中 甲品牌产品有 75 个,所以在样本中,寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是 75 145= 15 29,用频率估计概率,所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的
13、概率为 15 29. 8.B随机数数量越多,概率越接近实际数. 9.B由于掷两枚均匀的骰子,所以产生的整数随机数中,每 2 个数字为一组. 10.答案 1 ?-?+1 解析a,b中共有 b-a+1 个整数,每个整数出现的可能性相等,所以每个整数出 现的可能性是 1 ?-?+1. 11.解析设事件 A=“取到一级品”, 用计算机的随机函数 RANDBETWEEN(1,10)或计算器产生 1 到 10 之间的整 数随机数,用 1,2,3,4,5,6,7 表示取到一级品,8,9,10 表示取到二级品; 每一个数作为一组,产生 N 组随机数; 统计其中出现 1 至 7 之间数的次数 N1; 计算频率
14、fn(A)=?1 ? ,即为事件 A 发生的概率的近似值. 12.解析本题答案不唯一.用 1,2,3,4,5,6 表示白球,7 表示红球,利用计算器或计 算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红 球的概率,所以每三个随机数作为一组. 例如,产生 20 组随机数: 666743671464571561156 567732375716116614445 117573552274114662 相当于做了 20 次试验,在这些数组中,前两个数字不是 7,第三个数字恰好是 7 就 表示第一次、 第二次摸到的是白球,第三次摸到的是红球,它们分别是 567 和 117, 共
15、两组,因此恰好第三次摸到红球的概率约为 2 20=0.1. 能力提升练 1.D由题中直方图知,众数为85+90 2 =87.5,用频率估计概率得,行驶速度超过 90 km/h 的概率为 0.055+0.025=0.35,故选 D. 2.B因为掷一枚硬币出现正面向上的概率为1 2,所以大约有 150 人回答第一个问 题,又电话号码的尾数是奇数的概率为1 2,所以在回答第一个问题的 150 人中大约 有 75 人回答了“是”,所以另外 5 个回答“是”的人服用过兴奋剂.因此我们估 计这群人中大约有 5 150100%3.33%的人服用过兴奋剂. 3.解析(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小
16、于 2. 由所给数据知,一年内出险次数小于 2 的频率为60+50 200 =0.55,故 P(A)的估计值为 0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4. 由所给数据知,一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为30+30 200 =0.3, 故 P(B)的估计值为 0.3. (3)由所给数据得下表: 保费 0.85aa1.25a 1.5a 1.75a2a 频率0.300.250.150.150.100.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.19
17、 2 5a(元). 因此,续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a 元. 4.解析(1)由频率分布直方图可知,线上学习时间在200,300)的频率为 (0.002+0.006)50=0.4,所以可以用数字 0,1,2,3 表示线上学习时间在200,300) 内,数字 4,5,6,7,8,9 表示线上学习时间不在200,300)内.观察题中随机数组可 得,3 名同学中恰有 2 人线上学习时间在200,300)的有 191,271,812,932,431,393,027,730,206,433,138,602,共 12 个.用频率估计概 率可得,该市 3 名同学中恰有 2 人线上学习时间在
18、200,300)的概率 P=12 30=0.4. (2)抽取的 20 人中,线上学习时间在350,450)的同学有 20(0.003+0.002)50=5 人,其中线上学习时间在350,400)的同学有 3 名,设 为 A,B,C,线上学习时间在400,450)的同学有 2 名,设为 a,b,用(x,y)表示样本空间 中的样本点,则从 5 名同学中任取 2 名的样本空间 =(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共 10 个样本点,用 M 表示“2 名同学来自同一组”这一事件,则 M=(A,B),(A,C),(B,C),(a,b),共 4 个 样本点,所以 P(M)= 4 10=0.4.
