1、第八章第八章 立体几何立体几何 第八节第八节 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法求空间角与距离求空间角与距离 考点考点 1 利用空间向量方法求空间角利用空间向量方法求空间角 （2018北京卷（理） ）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，D，E，F，G 分别为 AA1，AC， A1C1，BB1的中点，ABBC ?，ACAA12. （1）求证：AC平面 BEF； （2）求二面角 BCDC1的余弦值； （3）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交 【解析】 （1）证明在三棱柱 ABCA1B1C1中， 因为 CC1平面 ABC， 所以四边形 A1ACC1为矩形 又 E，F
2、分别为 AC，A1C1的中点， 所以 ACEF. 又 ABBC， 所以 ACBE，又 BE，EF平面 BEF，BEEFE， 所以 AC平面 BEF. （2）由（1）知 ACEF，ACBE，EFCC1. 又 CC1平面 ABC， 所以 EF平面 ABC 因为 BE平面 ABC， 所以 EFBE. 如图，以 E 为原点，EA 所在直线为 x 轴，EB 所在直线为 y 轴，EF 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Exyz. 由题意得 B（0,2,0） ，C（1,0,0） ，D（1,0,1） ，E（0,0,0） ，F（0,0,2） ，G（0,2,1） 所以? ? ?（1，2,0） ，?t? ?（
3、1，2,1） 设平面 BCD 的法向量为 n（x0，y0，z0） ， 则 ? ? ? ? th ?t ? ? ? th即 ? ?t? ?t? th ?t? ?t? ?t? t? 令 y01，则 x02，z04. 于是 n（2，1，4） 又因为平面 CC1D 的法向量为? ? ?（0,2,0） ， 所以 cosn，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t t . 由题意知二面角 BCDC1为钝角， 所以其余弦值为 t t . （3）证明由（2）知平面 BCD 的法向量为 n（2，1，4） ， ?体 ? ?（0,2，1） 因为 n?体 ? ?20（1）2（4）（1）20， 所以直线 FG 与平面 BCD 相交 【答案】见解析
