1、第四章第四章三角函数与解三角形三角函数与解三角形 第六节第六节 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 考点考点 1 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形 （2018浙江卷）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，C若 a ?，b2，A60，则 sin B _，c_. 【解析】如图，由正弦定理 ? sin? ? sin?， 得 sin B? ?sin A ? ? ? ? ? ? . 由余弦定理 a2b2c22bccos A， 得 74c24ccos 60， 即 c22c30，解得 c3 或 c1（舍去） 【答案】 ? ? 3 （2018天津卷（文） ）在ABC 中，内角
2、 A，B，C 所对的边分别为 a，b，C已知 bsin Aacos ? 晦 ? . （1）求角 B 的大小； （2）设 a2，c3，求 b 和 sin（2AB）的值 【解析】 （1）在ABC 中， 由正弦定理 ? sin? ? sin?，可得 bsin Aasin B 又由 bsin Aacos ? 晦 ? ，得 asin Bacos ? 晦 ? ， 即 sin Bcos ? 晦 ? ，可得 tan B ?. 又因为 B（0，） ，所以 B ?. （2）在ABC 中，由余弦定理及 a2，c3，B ?， 得 b2a2c22accos B7，故 b ?. 由 bsin Aacos ? 晦 ? ，可
3、得 sin A ? ? . 因为 ac，所以 cos A? ? ? . 因此 sin 2A2sin Acos A? ? ? ， cos 2A2cos2A1? ?. 所以 sin（2AB）sin 2Acos Bcos 2Asin B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 【答案】见解析 （2018全国卷（文） ）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为? ?晦? ? ，则 C 等于（） A ? B ? C ? D ? 【解析】S? ?absin C ?晦? ? ?cos? ? ? ?abcos C， sin Ccos C，即 tan C1. C（0，
4、） ，C ?. 【答案】C （2018全国卷（文） ）在ABC 中，cos ? ? ? ? ，BC1，AC5，则 AB 等于（） A4 ?B ? C ?D2 ? 【解析】cos ? ? ? ? ， cos C2cos2? ?12 ? ? ? 1? ?. 在ABC 中，由余弦定理，得 AB2AC2BC22ACBCcos C5212251 晦 ? ? 32， AB ?4 ?. 【答案】A （2018全国卷（文） ）如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 ?，PAPBPCAC4，O 为 AC 的 中点 （1）证明：PO平面 ABC； （2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC2MB，求点 C 到平面
5、 POM 的距离 【解析】 （1）证明因为 PAPCAC4，O 为 AC 的中点， 所以 OPAC，且 OP2 ?. 如图，连接 OB 因为 ABBC ? ? AC， 所以ABC 为等腰直角三角形， 所以 OBAC，OB? ?AC2. 由 OP2OB2PB2知 POOB 因为 OPOB，OPAC，OBACO，OB，AC平面 ABC， 所以 PO平面 ABC （2）作 CHOM，垂足为 H，作 CHOM，垂足为 H， 又由（1）可得 OPCH， 因为 OMOPP，OM，OP平面 POM， 所以 CH平面 POM. 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离 由题意可知 OC? ?AC2，CM
6、 ? ?BC ? ? ? ，ACB45， 所以在OMC 中，由余弦定理可得，OM? ? ? ， CH?sin? ? ? ? ? . 所以点 C 到平面 POM 的距离为? ? ? . 【答案】见解析 （2018全国卷（文） ）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，C已知 bsin Ccsin B4asin Bsin C， b2c2a28，则ABC 的面积为_ 【解析】bsin Ccsin B4asin Bsin C， 由正弦定理得 sin Bsin Csin Csin B4sin Asin BsinC 又 sin Bsin C0，sin A? ?. 由余弦定理得 cos A? ?晦
7、? ? ? ? ? ?0， cos A ? ? ，bc ? cos? ? ? ? ， SABC? ?bcsin A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 【答案】? ? ? （2018北京卷（文） ）若ABC 的面积为 ? ? （a2c2b2） ，且C 为钝角，则B_；? ?的取值范围 是_ 【解析】由余弦定理得 cos B? ?晦? ? ， a2c2b22accosB 又S ? ? （a2c2b2） ， ? ?acsin B ? ? 2accos B， tan B ?，又B（0，） ， B ?. 又C 为钝角，C? ? A ?， 0A ?. 由正弦定理得? ? sin ? ?晦? sin? ? ? cos? ?sin? sin? ? ? ? ? ? tan?. 0tan A ? ? ， ? tan? ?， ? ? ? ? ? ? ?2， 即? ?2. ? ?的取值范围是（2，） 【答案】 ? （2，）
