1、第九章第九章 平面解析几何平面解析几何 第一节第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程直线的倾斜角、斜率与直线的方程 一、基础知识一、基础知识 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角. (2)规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0. (3)范围：直线 l 倾斜角的取值范围是0，) 2斜率公式 (1)定义式：直线 l 的倾斜角为 2 ，则斜率 ktan . (2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上， 且 x1x2，则 l 的斜率 ky2y1 x
2、2x1. 3直线方程的五种形式 名称方程适用范围 点斜式yy0k(xx0)不含垂直于 x 轴的直线 斜截式ykxb不含垂直于 x 轴的直线 两点式 yy1 y2y1 xx1 x2x1 不含直线 xx1(x1x2)和直线 yy1(y1y2) 截距式 x a y b1 不含垂直于坐标轴和过原点 的直线 一般式AxByC0，A2B20平面内所有直线都适用 微信公众号：学起而飞 特殊直线的方程 (1)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 x 轴的方程为 xx1； (2)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 y 轴的方程为 yy1； (3)y 轴的方程为 x0； (4)x 轴的方程为 y0. 考点一考点
3、一直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 典例(1)直线 2xcos y30 6， 3的倾斜角的取值范围是() A. 6， 3B. 4， 3 C. 4， 2D. 4， 2 3 (2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率 的取值范围为_ 解析(1)直线 2xcos y30 的斜率 k2cos ， 因为 6， 3 ，所以1 2cos 3 2 ， 因此 k2cos 1， 3 设直线的倾斜角为，则有 tan 1， 3 又0，)，所以 4， 3 ， 即倾斜角的取值范围是 4， 3 . (2) 设 PA 与 PB 的倾斜角分别为，直线 PA
4、 的斜率是 kAP1，直线 PB 的斜率是 kBP 3，当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角由 增至 90，斜率的取值范围为1，) 当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时，它的倾斜角由 90增至，斜 率的变化范围是(， 3 故直线 l 斜率的取值范围是(， 3 1，) 答案(1)B(2)(， 3 1，) 二、常用结论二、常用结论 微信公众号：学起而飞 解析：由题意知 cos 0，则斜率 ktan sin 21 cos 0cos 1,0)(0,1，所以直 线 AB 的倾斜角的取值范围是 0， 4 3 4 ， . 答案： 0， 4 3 4 ， 2.变条件若将
5、本例(2)中 P(1,0)改为 P(1,0)，其他条件不变，则直线 l 斜率的取值范围 为_ 解析：设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 yk(x1)，即 kxyk0. A，B 两点在直线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上， (2k1k)( 3k)0， 即(3k1)(k 3)0，解得1 3k 3. 即直线 l 的斜率的取值范围是 1 3， 3. 答案： 1 3， 3 3若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则 a 的值为_ 解析：因为 kAC53 641，k ABa3 54a3.由于 A，B，C 三点共线，所以 a31， 即 a4. 答案：4 考点二考点二直线的方
6、程直线的方程 典例(1)若直线经过点 A(5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍，则 该直线的方程为_ (2)若直线经过点 A( 3，3)，且倾斜角为直线3xy10 的倾斜角的一半，则该直 线的方程为_ (3)在ABC 中，已知 A(5，2)，B(7,3)，且 AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴上，则直线 MN 的方程为_ 线 AB 的倾斜角的取值范围是_ 1.变条件若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点 A(cos ，sin2)，B(0,1)，则直 变透练清 微信公众号：学起而飞 设所求直线方程为 x 2a y a1， 将(5,2)代入
7、所设方程，解得 a1 2，此时，直线方程为 x2y10. 综上所述，所求直线方程为 x2y10 或 2x5y0. (2)由3xy10 得此直线的斜率为 3，所以倾斜角为 120，从而所求直线的倾斜 角为 60，故所求直线的斜率为 3. 又直线过点 A( 3，3)，所以所求直线方程为 y3 3(x 3)，即3xy60. (3)设 C(x0，y0)，则 M 5x0 2 ，y02 2，N 7x0 2 ，y03 2. 因为点 M 在 y 轴上，所以5x0 2 0，所以 x05. 因为点 N 在 x 轴上，所以y03 2 0， 所以 y03，即 C(5，3)， 所以 M 0，5 2 ，N(1,0)， 所
8、以直线 MN 的方程为x 1 y 5 2 1， 即 5x2y50. 答案(1)x2y10 或 2x5y0 (2) 3xy60(3)5x2y50 题组训练 1过点(1,2)，倾斜角的正弦值是 2 2 的直线方程是_ 解析：由题知，倾斜角为 4或 3 4 ，所以斜率为 1 或1，直线方程为 y2x1 或 y2 (x1)，即 xy10 或 xy30. 答案：xy10 或 xy30 2过点 P(6，2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程为 _ 当横截距、纵截距都不为零时， kx 中，得 k2 5，此时，直线方程为 y 2 5x，即 2x5y0. 解析(1)当横截距、纵截距均为
9、零时，设所求的直线方程为 ykx，将(5,2)代入 y 微信公众号：学起而飞 y a1，则 6 a1 2 a 1，解得 a2 或 a1，则直 线的方程是 x 21 y 21 或 x 11 y 11，即 2x3y60 或 x2y20. 答案：2x3y60 或 x2y20 考点三考点三直线方程的综合应用直线方程的综合应用 典例已知直线 l 过点 M(2,1)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别相交于 A，B 两点，O 为 坐标原点，求当| MA | MB|取得最小值时直线 l 的方程 解设 A(a,0)，B(0，b)，则 a0，b0，直线 l 的方程为x a y b1， 所以2 a 1 b1. |
10、MA | MB| MA MB(a2，1)(2，b1) 2(a2)b12ab5 (2ab) 2 a 1 b 5 2b a 2a b 4， 当且仅当 ab3 时取等号，此时直线 l 的方程为 xy30. 解题技法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不 等式求解最值 (2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程 (3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性 质或基本不等式求解 题组训练 1若直线 axbyab(a0，b0)过点(1,1)，则该直线在 x 轴，
11、y 轴上的截距之和的最小 值为() A1B2 C4D8 a1 解析：设直线方程的截距式为 x 微信公众号：学起而飞 abab，即1 a 1 b1， ab(ab) 1 a 1 b 2b a a b22 b a a b4， 当且仅当 ab2 时上式等号成立 直线在 x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为 4. 2已知直线 l：xmy 3m0 上存在点 M 满足与 A(1,0)，B(1,0)两点连线的斜率 kMA与 kMB之积为 3，则实数 m 的取值范围是() A 6， 6 B. ， 6 6 6 6 ， C. ， 6 6 6 6 ， D. 2 2 ， 2 2 解析：选 C设 M(x，y)，由 kMA
12、kMB3，得 y x1 y x13，即 y 23x23. 联立 xmy 3m0， y23x23， 得 1 m23x22 3 m x60(m0)， 则 2 3 m 224 1 m230，即 m21 6，解得 m 6 6 或 m 6 6 . 实数 m 的取值范围是 ， 6 6 6 6 ， . 课时跟踪检测课时跟踪检测 1(2019合肥模拟)直线 l：xsin 30ycos 15010 的斜率是() A. 3 3 B. 3 C 3D 3 3 解析：选 A设直线 l 的斜率为 k，则 k sin 30 cos 150 3 3 . 2倾斜角为 120，在 x 轴上的截距为1 的直线方程是() A. 3x
13、y10B. 3xy 30 解析：选 C直线 axbyab(a0，b0)过点(1,1)， 微信公众号：学起而飞 C. 3xy 30D. 3xy 30 解析：选 D由于倾斜角为 120，故斜率 k 3.又直线过点(1,0)，所以直线方程 为 y 3(x1)，即3xy 30. 3已知ABC 的三个顶点坐标为 A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M 为 AB 的中点，N 为 AC 的中点，则中位线 MN 所在直线的方程为() A2xy120B2xy120 C2xy80D2xy80 解析：选 C由题知 M(2,4)，N(3,2)，则中位线 MN 所在直线的方程为y4 24 x2 32，整 理得 2
14、xy80. 4方程 yax1 a表示的直线可能是( ) 解析：选 C当 a0 时，直线的斜率 ka0，在 y 轴上的截距 b1 a0，各选项都 不符合此条件；当 a0 时，直线的斜率 ka0，在 y 轴上的截距 b1 a0，只有选项 C 符合此条件故选 C. 5在等腰三角形 MON 中，MOMN，点 O(0,0)，M(1,3)，点 N 在 x 轴的负半轴上， 则直线 MN 的方程为() A3xy60B3xy60 C3xy60D3xy60 解析：选 C因为 MOMN，所以直线 MN 的斜率与直线 MO 的斜率互为相反数，所 以 kMNkMO3，所以直线 MN 的方程为 y33(x1)，即 3xy
15、60，选 C. 6若直线 mxny30 在 y 轴上的截距为3，且它的倾斜角是直线3xy33的 倾斜角的 2 倍，则() Am 3，n1Bm 3，n3 Cm 3，n3Dm 3，n1 解析：选 D对于直线 mxny30，令 x0 得 y3 n，即 3 n3，n1. 因为3xy33的斜率为 60，直线 mxny30 的倾斜角是直线3xy33的 2 倍，所以直线 mxny30 的倾斜角为 120，即m n 3，m 3. 微信公众号：学起而飞 ) A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 解析：选 B由 kxyk1， kyx2k 得 x k k1， y2k1 k1 . 又0k1 2，x k k10，
16、 故直线 l1：kxyk1 与直线 l2：kyx2k 的交点在第二象限 8 若直线 l： kxy24k0(kR)交 x 轴负半轴于 A， 交 y 轴正半轴于 B， 则当AOB 的面积取最小值时直线 l 的方程为() Ax2y40Bx2y80 C2xy40D2xy80 解析：选 B由 l 的方程，得 A 24k k ，0 ，B(0,24k)依题意得 24k k 0， 24k0， 解得 k0.因为 S1 2|OA|OB| 1 2| 24k k|24k|1 2 24k2 k 1 2 16k4 k161 2(2816) 16，当且仅当 16k4 k，即 k 1 2时等号成立此时 l 的方程为 x2y8
17、0. 9以 A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的ABC，其边 AB 上的高所在的直线方程是 _ 解析：由 A，B 两点得 kAB1 2，则边 AB 上的高所在直线的斜率为2，故所求直线方程 是 y42(x5)，即 2xy140. 答案：2xy140 10已知直线 l 过点(1,0)，且倾斜角为直线 l0：x2y20 的倾斜角的 2 倍，则直线 l 的方程为_ 解析：由题意可设直线 l0，l 的倾斜角分别为，2， 因为直线 l0：x2y20 的斜率为1 2，则 tan 1 2， 所以直线 l 的斜率 ktan 2 2tan 1tan2 21 2 1 1 2 2 4 3， 7当 0k2
18、 1时，直线 l 1：kxyk1 与直线 l2：kyx2k 的交点在( 微信公众号：学起而飞 的截距为 12 k，令31 2 k 1 2或 k0)，因为该圆与直线 yx3 相切，所以 rd|13| 2 2，故该圆的标准方程是 x2(y1)22. 答案：x2(y1)22 10(2019德州模拟)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆 心到直线 2xy0 的距离为4 5 5 ，则圆 C 的标准方程为_ 解析：因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a0，所以圆心到直线 2xy 0 的距离 d2a 5 4 5 5 ，解得 a2，所以圆 C
19、的半径 r|CM| 453，所以圆 C 的标 准方程为(x2)2y29. 答案：(x2)2y29 11已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于 点 C 和 D，且|CD|4 10. (1)求直线 CD 的方程； (2)求圆 P 的方程 解：(1)直线 AB 的斜率 k1，AB 的中点坐标为(1,2) 所以直线 CD 的方程为 y2(x1)， 即 xy30. (2)设圆心 P(a，b)，则由 P 在 CD 上得 ab30. 又直径|CD|4 10， 所以|PA|2 10. 所以(a1)2b240. 由解得 a3， b6 或 a5， b2，
20、 所以圆心 P(3,6)或 P(5，2)， 所以圆 P 的方程为(x3)2(y6)240 或(x5)2(y2)240. 12已知 RtABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0)求： 解析：抛物线 x24y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是 x2(y1)2 准方程是_ 9若一个圆的圆心是抛物线 x24y 的焦点，且该圆与直线 yx3 相切，则该圆的标 答案：(0,4) 解得 0m4. 由题意知(m2)2( 6)210， 微信公众号：学起而飞 所以 y x1 y x31， 化简得 x2y22x30. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(y0)
21、法二： 设 AB 的中点为 D， 由中点坐标公式得 D(1,0)， 由直角三角形的性质知|CD|1 2|AB| 2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不 共线，所以应除去与 x 轴的交点) 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0) (2)设 M(x， y)， C(x0， y0)， 因为 B(3,0)， M 是线段 BC 的中点， 由中点坐标公式得 xx03 2 ， yy00 2 ，所以 x02x3，y02y. 由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将 x02x3，y02y 代入得(2x4)2 (2y)
22、24，即(x2)2y21. 因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(y0) B 级 1(2019伊春三校联考)已知圆 C1：(x1)2(y1)21，圆 C2与圆 C1关于直线 xy 10 对称，则圆 C2的方程为() A(x2)2(y1)21B(x2)2(y2)21 C(x2)2(y2)21D(x2)2(y2)21 解析：选 B圆 C1：(x1)2(y1)21，圆心 C1为(1,1)，半径为 1.易知点 C1(1,1) 关于直线 xy10 对称的点为 C2，设 C2(a，b)，则 b1 a11， a1 2 b1 2 10， 解得 x1x3 又 kAC y ，kBC y ， 因为 ACBC，
23、所以 kACkBC1， 所以 y0. 解：(1)法一：设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线， (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 (1)直角顶点 C 的轨迹方程； 微信公众号：学起而飞 a2， b2， 所以 C2(2，2)，所以圆 C2的圆心为 C2(2，2)，半径为 1，所以圆 C2的方程 为(x2)2(y2)21.故选 B. 2在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切 的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_ 解析：因为直线 mxy2m10(mR)恒过点(2，1)，所以当点(2，1)为切点时， 半径最大，此时半径 r 2，故所求
24、圆的标准方程为(x1)2y22. 答案：(x1)2y22 3已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2y26x50 相交于不同的两点 A，B. (1)求圆 C1的圆心坐标； (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程 解：(1)把圆 C1的方程化为标准方程得(x3)2y24， 圆 C1的圆心坐标为 C1(3,0) (2)设 M(x，y)，A，B 为过原点的直线 l 与圆 C1的交点，且 M 为 AB 的中点， 由圆的性质知：MC1MO，MC1 MO0. 又MC1 (3x，y)，MO(x，y)， x23xy20. 易知直线 l 的斜率存在，故设直线 l 的方程为 ymx， 当直线 l 与圆
25、 C1相切时， 圆心到直线 l 的距离 d|3m0| m212， 解得 m2 5 5 . 把相切时直线 l 的方程代入圆 C1的方程化简得 9x230 x250，解得 x5 3. 当直线 l 经过圆 C1的圆心时，M 的坐标为(3,0) 又直线 l 与圆 C1交于 A，B 两点，M 为 AB 的中点， 5 3x3. 点 M 的轨迹 C 的方程为 x23xy20，其中5 30， 所以直线 l 与圆相交 法二：由题意知，圆心(0,1)到直线 l 的距离 d |m| m2110，a2.圆 M 的方程为 x2y24y0， 即 x2(y2)24，圆心 M(0,2)，半径 r12. 又圆 N：(x1)2(
26、y1)21，圆心 N(1,1)，半径 r21， |MN| 012212 2. r1r21，r1r23,1|MN|3， 两圆相交 法二：由题知圆 M：x2(ya)2a2(a0)，圆心(0，a)到直线 xy0 的距离 d a 2， 所以 2a2a 2 2 2 2，解得 a2.圆 M，圆 N 的圆心距|MN| 2，两圆半径之差为 1，两圆 半径之和为 3，故两圆相交 答案B 微信公众号：学起而飞 A21B19 C9D11 解析：选 C圆 C1的圆心为 C1(0,0)，半径 r11，因为圆 C2的方程可化为(x3)2(y 4)225m，所以圆 C2的圆心为 C2(3,4)，半径 r2 25m(m25)
27、从而|C1C2| 3242 5.由两圆外切得|C1C2|r1r2，即 1 25m5，解得 m9，故选 C. 2.变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为_ 解析：联立两圆方程 x2y24y0， x12y121， 两式相减得，2x2y10，因为 N(1,1)， r1， 则点 N 到直线 2x2y10 的距离 d|1| 2 2 2 4 ， 故公共弦长为 21 2 4 2 14 2 . 答案： 14 2 解题技法 几何法判断圆与圆的位置关系的 3 步骤 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长； (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1r2，|r1r2|； (3)比较 d，r1r2，|
28、r1r2|的大小，写出结论 课时跟踪检测课时跟踪检测 A 级 1若直线 2xya0 与圆 x2y22x4y0 相切，则 a 的值为() A 5B5 C3D3 解析：选 B圆的方程可化为(x1)2(y2)25，因为直线与圆相切，所以有|a| 5 5， 即 a5.故选 B. () 1(2019太原模拟)若圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2y26x8ym0 外切，则 m 变透练清 微信公众号：学起而飞 A1 条B2 条 C3 条D4 条 解析：选 A两圆分别化为标准形式为 C1：(x3)2(y2)21，C2：(x7)2(y1)2 36，则两圆圆心距|C1C2| 7321225，等于两圆半径差，故
29、两圆内切所 以它们只有一条公切线故选 A. 3(2019南宁、梧州联考)直线 ykx3 被圆(x2)2(y3)24 截得的弦长为 2 3， 则直线的倾斜角为() A. 6或 5 6 B 3或 3 C 6或 6 D. 6 解析：选 A由题知，圆心(2,3)，半径为 2，所以圆心到直线的距离为 d 22 32 1.即 d |2k| 1k21，所以 k 3 3 ，由 ktan ，得 6或 5 6 .故选 A. 4过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为() A2xy50B2xy70 Cx2y50Dx2y70 解析：选 B由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得 r
30、25，圆的方程为(x1)2 y25，则过点(3,1)的切线方程为(x1)(31)y(10)5，即 2xy70.故选 B. 5(2019重庆一中模拟)若圆 x2y22x6y60 上有且仅有三个点到直线 xay1 0 的距离为 1，则实数 a 的值为() A1B 2 4 C 2D 3 2 解析：选 B由题知圆的圆心坐标为(1,3)，半径为 2，由于圆上有且仅有三个点到直 线的距离为 1，故圆心(1,3)到直线 xay10 的距离为 1，即|13a1| 1a2 1，解得 a 2 4 . 6(2018嘉定二模)过点 P(1，2)作圆 C：(x1)2y21 的两条切线，切点分别为 A， B，则 AB 所
31、在直线的方程为() Ay 3 4 By1 2 () 2与圆 C1：x2y26x4y120，C2：x2y214x2y140 都相切的直线有 微信公众号：学起而飞 Cy 3 2 Dy1 4 解析： 选 B圆(x1)2y21 的圆心为 C(1,0)， 半径为 1， 以|PC| 112202 2 为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y10，即 y1 2.故选 B. 7在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x2y30 被圆(x2)2(y1)24 截得的弦长 为_ 解析：易知圆心(2，1)，半径 r2，故圆心到直线的距离 d|2213| 1222 3 5
32、5 ， 弦长为 2 r2d22 55 5 . 答案：2 55 5 8若 P(2,1)为圆(x1)2y225 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为_ 解析：因为圆(x1)2y225 的圆心为(1,0)，所以直线 AB 的斜率等于 1 10 21 1，由 点斜式得直线 AB 的方程为 y1(x2)，即 xy30. 答案：xy30 9 过点 P(3,1)， Q(a,0)的光线经 x 轴反射后与圆 x2y21 相切， 则 a 的值为_ 解析：因为 P(3,1)关于 x 轴的对称点的坐标为 P(3，1)， 所以直线 PQ 的方程为 y 1 3a(xa)，即 x(3a)ya0， 圆心(0,0)到直线
33、的距离 d |a| 13a21， 所以 a5 3. 答案：5 3 10点 P 在圆 C1：x2y28x4y110 上，点 Q 在圆 C2：x2y24x2y10 上， 则|PQ|的最小值是_ 解析：把圆 C1、圆 C2的方程都化成标准形式，得(x4)2(y2)29，(x2)2(y1)2 4. 圆 C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是 3； 圆 C2的圆心坐标是(2，1)，半径是 2. 微信公众号：学起而飞 圆心距 d 4222123 55.故圆 C1与圆 C2相离， 所以|PQ|的最小值是 3 55. 答案：3 55 11已知圆 C1：x2y22x6y10 和圆 C2：x2y210 x12y45
34、0. (1)求证：圆 C1和圆 C2相交； (2)求圆 C1和圆 C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长 解：(1)证明：圆 C1的圆心 C1(1,3)，半径 r1 11， 圆 C2的圆心 C2(5,6)，半径 r24， 两圆圆心距 d|C1C2|5，r1r2 114， |r1r2|4 11， |r1r2|d0)上一动点，PA，PB 是圆 C：x2y22y0 的两条切线，A，B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为() A3B. 21 2 C2 2D2 解析：选 D圆 C：x2y22y0 的圆心为(0,1)，半径 r1.由圆的性质，知 S四边形PACB 2SPBC.四边形
35、 PACB 的最小面积是 2，SPBC的最小值为 1，则 1 2rd min1(d 是切线长)， dmin2.圆心到直线 kxy40 的距离就是 PC 的最小值，|PC|min 5 1k2 d 21 5.k0，k2.故选 D. 5(2019赣州七校联考)已知圆 C：x2y22ax2bya2b210(a0)的圆心在直 线3xy 30 上，且圆 C 上的点到直线3xy0 的距离的最大值为 1 3，则 a2 b2的值为() A1B2 C3D4 解析：选 C易知圆的标准方程为(xa)2(yb)21，所以圆心为(a，b)，由圆心在直 线3xy 30 上， 可得3ab 30， 即 b 3(a1).圆 C
36、上的点到直线3x 微信公众号：学起而飞 y0 的距离的最大值 dmax1| 3ab| 2 31，得| 3ab|2 3.由得|2a 1|2，又 a0，所以 a3 2，a 2b2a23(a1)23. 6已知实数 x，y 满足(x5)2(y12)225，那么 x2y2的最小值为_ 解析： 由题意得 x2y2 x02y02表示点 P(x， y)到原点的距离， 所以 x2y2的 最小值表示圆(x5)2(y12)225 上一点到原点距离的最小值 又圆心(5,12)到原点的距 离为 5212213，所以 x2y2的最小值为 1358. 答案：8 7已知 P(x，y)为圆(x2)2y21 上的动点，则|3x4
37、y3|的最大值为_ 解析：设 t3x4y3，即 3x4y3t0.由圆心(2,0)到直线 3x4y3t0 的距 离 d|63t| 3242 1， 解得2t8.所以|3x4y3|max8. 答案：8 8 (2018贵阳适应性考试)已知直线 l： ax3y120 与圆 M： x2y24y0 相交于 A， B 两点，且AMB 3，则实数 a_. 解析：直线 l 的方程可变形为 y1 3ax4，所以直线 l 过定点(0,4)，且 该点在圆 M 上圆的方程可变形为 x2(y2)24，所以圆心为 M(0,2)，半 径为 2.如图，因为AMB 3，所以AMB 是等边三角形，且边长为 2，高 为 3，即圆心 M
38、 到直线 l 的距离为 3，所以|612| a29 3，解得 a 3. 答案： 3 9已知曲线 C 上任一点 M(x，y)到点 E 1，1 4 和直线 a：y1 4的距离相等，圆 D： (x1)2 y1 2 2r2(r0) (1)求曲线 C 的方程； (2)过点 A(2,1)作曲线 C 的切线 b，并与圆 D 相切，求半径 r. 解：(1)由题意得x12 y1 4 2|y1 4|. 两边平方并整理，得 y(x1)2. 曲线 C 的方程为 y(x1)2. 微信公众号：学起而飞 圆心 D 1，1 2 到直线 b 的距离等于半径， 即 r| 211 23| 5 11 5 10 . 10已知过点 A(
39、1,0)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)OM ON12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 解：(1)设过点 A(1,0)的直线与圆 C 相切，显然当直线的斜率不存在时，直线 x1 与圆 C 相切 当直线的斜率存在时，设切线方程为 yk0(x1)，即 k0 xyk00. 圆 C 的半径 r1， 圆心 C(2,3)到切线的距离为 |k03| k2011，解得 k 04 3. 过点 A 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个交点， k4 3，即 k 的取值范围为 4 3，. (2)将直线 l 的方程 yk(x1)
40、代入圆 C 的方程，得(1k2)x2(2k26k4)xk26k 120. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x22k 26k4 1k2 ，x1x2k 26k12 1k2 . y1y2k2(x11)(x21)k2(x1x2x1x21) 9k2 1k2. OM ONx 1x2y1y210k 26k12 1k2 12，解得 k3 或 k0(舍去) 直线 l 的方程为 3xy30. 故圆心(2,3)在直线 l 上，|MN|2r2. B 级 又直线 b 与圆 D 相切， 切线 b 的方程为 y12(x2)，即 2xy30. 切线 b 的斜率为 y|x=22. 点 A(2,1)在抛物线 C
41、上， (2)由 y(x1)2，得 y2(x1) 微信公众号：学起而飞 解：(1)显然 k0，所以可设 l1的方程为 ykx，则 l2的方程为 y1 kx. 依题意得点 M 到直线 l1的距离 d1|2k2| 1k2 2. 整理，得 k24k10， 解得 2 3k2 3. 同理，点 N 到直线 l2的距离 d2 |8k| 1k22 10， 解得 15 3 k 15 3 . 由可得 2 3k 15 3 ， 所以 k 的取值范围为 2 3， 15 3. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 将直线 l1的方程代入圆 M 的方程，得(1k2)x24(1k)
42、x60， 所以 x1x241k 1k2 ，x1x2 6 1k2. 将直线 l2的方程代入圆 N 的方程，得(1k2)x216kx24k20， 所以 x3x4 16k 1k2，x 3x4 24k2 1k2. 由四边形 ABCD 为梯形可得x1 x2 x4 x3， 所以x1 x2 x2 x12 x4 x3 x3 x42，所以 x1x22 x1x2 x3x4 2 x3x4 ， 所以(1k)24，解得 k1 或 k3(舍去) 故 k 的值为 1. 2(2019成都双流中学模拟)已知曲线 C 上任意一点到点 A(1，2)的距离与到点 B(2， 4)的距离之比均为 2 2 . (1)求曲线 C 的方程；
43、(2)设点 P(1，3)，过点 P 作两条相异的直线分别与曲线 C 相交于 E，F 两点，且直线 PE 和直线 PF 的倾斜角互补，求线段 EF 的最大值 (2)若四边形 ABCD 为梯形，求 k 的值 (1)求 k 的取值范围； 满足 l1l2，且 l1交圆 M 于不同两点 A，B，l2交圆 N 于不同两点 C，D，记 l1的斜率为 k. 1已知圆 M：(x2)2(y2)22，圆 N：x2(y8)240，经过原点的两直线 l1，l2 微信公众号：学起而飞 x12y22 x22y42 2 2 ，整理得 x2 y210，故曲线 C 的方程为 x2y210. (2)由题意知，直线 PE 和直线 P
44、F 的斜率存在，且互为相反数，因为 P(1，3)，故可 设直线 PE 的方程为 y3k(x1)， 联立方程得 y3kx1， x2y210， 消去 y 得(1k2)x22k(k 3)xk26k10，因为 P(1，3)在圆上，所以 x1 一定是该方程的解，故可得 xE k26k1 1k2 ，同理可得 xF k26k1 1k2 ，所以 kEF yEyF xExF kxE13kxF13 xExF 2kkxExF xExF 1 3，故直线 EF 的斜率为定值 1 3，设直线 EF 的方程为 y 1 3xb，则 圆 C 的 圆 心 (0,0) 到 直 线 EF 的 距 离 d |3b| 19 ， 所 以
45、|EF| 210d2 2 109b 2 10 10 3 b10 3 ， 所以当 b0 时，线段 EF 取得最大值，最大值为 2 10. 解：(1)设曲线 C 上的任意一点为 Q(x，y)，由题意得 微信公众号：学起而飞 第六节第六节 椭椭 圆圆 一、基础知识一、基础知识 1椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数 2a(2a|F1F2|)的动点 P 的轨迹叫做椭圆，这两个 定点 F1，F2叫做椭圆的焦点. 2椭圆的标准方程 (1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆 的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) (2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的椭圆 的标准方程为
46、y 2 a2 x2 b21(ab0) 3椭圆的几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a 对称性关于 x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 顶点坐标 (a,0)，(a,0)，(0，b)，(0， b) (b,0)，(b,0)，(0，a)， (0，a) 焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c) 半轴长长半轴长为 a，短半轴长为 b，ab 离心率 ec a a，b，c 的关系a2b2c2 长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心 离心率表示椭圆的扁平程度当 e 越接近于 1 时，c 越接 近于 a，从而 b
47、a2c2越小，因此椭圆越扁 微信公众号：学起而飞 ，过焦点最长弦为长轴 (2)过原点最长弦为长轴长 2a，最短弦为短轴长 2b. (3)与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)有共焦点的椭圆方程为 x2 a2 y2 b21(b 2) (4)焦点三角形： 椭圆上的点 P(x0， y0)与两焦点 F1， F2构成的PF1F2叫做焦点三角形 若 r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为 S，则在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)中： 当 r1r2，即点 P 为短轴端点时，最大； S1 2|PF 1|PF2|sin c|y0|，当|y0|b，即点 P 为短轴端点时，S 取
48、得最大值，最大值为 bc； PF1F2的周长为 2(ac) 第一课时第一课时椭圆及其性质椭圆及其性质 考点一考点一椭圆的标准方程椭圆的标准方程 典例(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，则椭圆的标准方程为() A.x 2 6 y 2 4 1B.x 2 16 y2 361 C.x 2 36 y2 161 D.x 2 49 y2 9 1 (2)已知中心在坐标原点的椭圆过点 A(3,0)，且离心率 e 5 3 ，则椭圆的标准方程为 _ 解析(1)由长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，可得 ab10,2c4 5，c2 5. 又 a2b2c2，a2
49、36，b216.焦点在 x 轴上，所求椭圆方程为x 2 36 y2 161.故选 C. (2)若焦点在 x 轴上，由题知 a3，因为椭圆的离心率 e 5 3 ，所以 c 5，b2，所以 椭圆方程是x 2 9 y 2 4 1.若焦点在 y 轴上，则 b3，a2c29，又离心率 ec a 5 3 ，解得 a2 a (1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b 2 二、常用结论二、常用结论 微信公众号：学起而飞 y2 81 4 x 2 9 1. 答案(1)C(2)x 2 9 y 2 4 1 或 y2 81 4 x 2 9 1 题组训练 1(2018济南一模)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b
50、21(ab0)，若长轴长为 6，且两焦点恰好将 长轴三等分，则此椭圆的标准方程为() A.x 2 36 y2 321 B.x 2 9 y 2 8 1 C.x 2 9 y 2 5 1D.x 2 16 y2 121 解析：选 B椭圆长轴长为 6，即 2a6，得 a3， 两焦点恰好将长轴三等分， 2c1 32a2，得 c1， b2a2c2918， 此椭圆的标准方程为x 2 9 y 2 8 1.故选 B. 2椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，若椭圆 C 的离心率等于1 2，且它的一个顶点 恰好是抛物线 x28 3y 的焦点，则椭圆 C 的标准方程为_ 解析：由题意设椭圆的方程为x 2 a2 y
