1、2.1函数的概念及其表示函数的概念及其表示 考试要求1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据 不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数， 并能简单应用 1函数的概念 一般地，设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一 个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 yf(x)，xA. 2函数的定义域、值域 (1)在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与
2、x 的值相 对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等 3函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法 4分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种 函数称为分段函数 (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数的定义域等于各段函数的 定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集 微思考 1直线 xa(a 是常数)与函数 yf(x)的图象有多少个交点？ 提示0 个或 1 个 2函数定义中，非空数集 A，B 与函数的定
3、义域、值域有什么关系？ 提示函数的定义域即为集合 A，值域为集合 B 的子集 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若 AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从 A 到 B 的函数() (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等() (3)y x3 2x是一个函数() (4)函数 yf(x)的图象可以是一条封闭的曲线() 题组二教材改编 2函数 f(x) 2x1 1 x2的定义域为_ 答案0,2)(2，) 解析依题意 2x10， x20 解得 x0 且 x2， 原函数的定义域为0,2)(2，) 3已知函数 f(x) 2x，x1， fx1，x1，
4、则 f(2)_. 答案2 解析f(2)f(1)212. 4函数 f(x)x1 x在区间2,4上的值域为_ 答案 3 2， 15 4 解析f(x)x1 x在区间2,4上单调递增， 又 f(2)3 2， f(4)15 4 ， 故 f(x)的值域为 3 2， 15 4 . 题组三易错自纠 5下列图形中可以表示以 Mx|0 x1为定义域，Ny|0y1为值域的函数的图象是 () 答案C 解析A 选项中的值域不满足，B 选项中的定义域不满足，D 选项不是函数的图象，由函数 的定义可知选项 C 正确 6已知 f( x)x x1，则 f(x)_. 答案x2x1，x0 解析令 t x，则 t0，xt2， f(t
5、)t2t1(t0)， f(x)x2x1，x0. 第第 1 课时课时函数的概念及其表示函数的概念及其表示 题型一 函数的概念 1下列各曲线表示的 y 与 x 之间的关系中，y 不是 x 的函数的是() 答案C 2(多选)下列各组函数相等的是() Af(x)x22x1，g(s)s22s1 Bf(x)x1，g(x)x 21 x1 Cf(x) x2，g(x) x，x0， x，x1， 则 f 4 3 f 4 3 的值为() A.1 2 B1 2 C1D1 答案D 解析f 4 3 f 4 311f 1 3 1cos 31 3 2， f 4 3 cos 4 3 cos 2 3 1 2， f 4 3 f 4
6、3 3 2 1 21. 命题点 2分段函数与方程、不等式问题 例 3 (1)(2021长春模拟)已知函数 f(x) 2x，x0， x1，x0. 若 f(a)f(1)0，则实数 a 的值等于 () A3B1C1D3 答案A 解析f(1)212，f(a)20，f(a)2， 当 a0 时，f(a)a12，a3， 当 a0 时，f(a)2a2，方程无解， 综上有 a3. (2)已知函数 f(x) log2x，x1， 1 1x，x1， 则不等式 f(x)1 的解集为() A(，2B(，0(1,2 C0,2D(，01,2 答案D 解析当 x1 时，log2x1，1x2. 当 x1 时， 1 1x1，解得
7、x0， f(x)1 的解集为(，01,2 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路 求函数值：当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 求自变量的值： 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上， 然后求出相应自变量的值， 切记要代入检验 (2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来 跟踪训练2 (1)(2021河北冀州一中模拟)设f(x) x2 x3，x1， x21，x1. 则f(f(1)_， f(x)的最小值是_ 答案02 23 解析f(1)2， f(f(1)f(2)22 230， 当 x1 时，f(x)x2 x32 23，
8、当且仅当 x 2时取等号，f(x)min2 23， 当 x0， 则满足 f(x)f x1 2 1 的 x 的取值范围是_ 答案 1 4， 解析当 x1 2时，2 x 1 2 2 x 1 恒成立，x1 2， 当 01， 即 2xx1 2恒成立， 01，解得 1 40 时，每一个 x 对应 2 个 y，图象中 x0对应 2 个 y，所以 均不是函数图象；图象是函数图象 2已知函数 f(x) 2x 1，x0， 1log2x，x0， 则 f(f(8)等于() A1B1 2 C.1 2 D2 答案C 解析f(8)1log28132， f(f(8)f(2)2 211 2. 3设函数 f 1x 1x x，则
9、 f(x)的表达式为() A.1x 1x(x1) B.1x x1(x1) C.1x 1x(x1) D. 2x x1(x1) 答案C 解析令 t1x 1x，则 x 1t 1t， f(t)1t 1t， 即 f(x)1x 1x(x1) 4.如图，AOD 是一直角边长为 1 的等腰直角三角形，平面图形 OBD 是四分之一圆的扇形， 点 P 在线段 AB 上，PQAB，且 PQ 交 AD 或交弧 DB 于点 Q，设 APx(0 x2)，图中阴影 部分表示的平面图形 APQ(或 APQD)的面积为 y，则函数 yf(x)的大致图象是() 答案A 解析观察可知阴影部分的面积 y 的变化情况为：(1)当 0
10、x1 时，y 随 x 的增大而增大，而 且增加的速度越来越快 (2)当 1x0， 则使 f(a)1 2的 a 的值为( ) A1B1C. 2 2 D. 2 答案ACD 解析由题意知，若 a0，则 2a1 2，解得 a1； 若 a0，则|log2a|1 2，解得 a 1 2 2或 a 1 2 2 . 即 a 2或 a 2 2 .故选 ACD. 6(多选)具有性质：f 1 x f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足 “倒负”变换的函数的是() Ayx1 x Byln1x 1x C 1 e x x y Df(x) x，0 x1 答案AD 解析对于 A，f(x)x1 x，f 1
11、x 1 xxf(x)，满足题意； 对于 B，f(x)ln1x 1x，则 f 1 x lnx1 x1f(x)，不满足； 对于 C，f 1 x 1 1 1 e x x ex 1，f(x) 1 e x x f 1 x ，不满足； 对于 D，f 1 x 1 x，0 1 x1， 即 f 1 x 1 x，x1， 0，x1， x，0 x1， 则 f 1 x f(x)满足“倒负”变换，故选 AD. 7已知 f(x5)lg x，则 f(2)_. 答案 1 5lg 2 解析令 x52，则 x 1 5 2， f(2) 1 5 lg21 5lg 2. 8已知函数 f(x) xb，x1， 2x1，x1， 若 f(f(1
12、)3，则 b_. 答案3 解析f(1)b1， f(b1)3， 当 b11 即 b2 时， 2b 113，解得 b3， 当 b11 即 b2 时，b1b3，解得 b2(舍)， 综上有 b3. 9已知函数 f(x) x22x1，x1 的实数 a 的取值范围是_ 答案(2,0)(0，) 解析因为 f(a)1， a0， 2a1， 解得 a0， a1， 解得2a0. 由知2a0. 10已知函数 f(x)满足 f 1 x 1 xf(x)2x(x0)，则 f(2)_，f 1 2 _. 答案 7 2 9 4 解析令 x2，可得 f 1 2 1 2f(2)4， 令 x1 2，可得 f(2)2f 1 2 1， 联
13、立解得 f(2)7 2，f 1 2 9 4. 11已知函数 f(x)的解析式为 f(x) 3x5，x0， x5，01. (1)求 f 3 2 ，f 1 ，f(1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求 f(x)的最大值 解(1)3 21， f 3 2 23 285. 01 1， f 1 1 5 51 . 10，f(1)352. (2)这个函数的图象如图 在函数 f(x)3x5 的图象上截取 x0 的部分， 在函数 f(x)x5 的图象上截取 01 的部分 图中实线组成的图形就是函数 f(x)的图象 (3)由函数图象可知，当 x1 时，f(x)取最大值 6. 12.行驶中的汽车在刹车时由于
14、惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做 刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y(m)与汽车的车速 x(km/h)满足下列关 系：y x2 200mxn(m，n 是常数)如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离 y(m)与汽车的 车速 x(km/h)的关系图 (1)求出 y 关于 x 的函数解析式； (2)如果要求刹车距离不超过 25.2 m，求行驶的最大速度 解(1)由题意及函数图象， 得 402 20040mn8.4， 602 20060mn18.6， 解得 m 1 100，n0， 所以 y x2 200 x 100(x0) (2)令 x2 200 x 10025.2，
15、 得72x70. x0，0 x70. 故行驶的最大速度是 70 km/h. 13设函数 f(x) 2 x，x0， 1，x0， 则满足 f(x1)2x， 2x0， 解得 x0，故 x 的取值范围是(，0) 14已知函数 f(x) x2x，x0， 3x，x0，则实数 a 的取值范围为_ 答案(，2)(2，) 解析当 a0 时，显然不成立 当 a0 时，不等式 a f(a)f(a)0 等价于 a22a0，解得 a2. 当 a0 等价于a22a0，解得 a2. 综上所述，实数 a 的取值范围为(，2)(2，) 15设 f(x)是定义在 R 上的函数，且 f(x2) 2f(x)，f(x) 2xa，1x0
16、， be2x，0 x1， 其中 a，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若 f 9 2 f 3 2 ，则a b的取值范围为_ 答案( 2e，) 解析因为 f(x2) 2f(x)， 所以 f 9 2 f 1 24( 2)2f 1 2 2eb， f 3 2 f 1 22 2f 1 2 2 2 1 2 a 2(a 1)， 因为 f 9 2 f 3 2 ， 所以 2(a1)2eb， 所以 a 2eb1， 因为 b 为正实数， 所以a b 2eb1 b 2e1 b( 2e，)， 故a b的取值范围为( 2e，) 16已知函数 f(x) x2 1x2. (1)求 f(2)与 f 1 2 ，f(3)与 f
17、1 3 ； (2)由(1)中求得的结果，你能发现 f(x)与 f 1 x 有什么关系？证明你的发现； (3)求 f(2)f 1 2 f(3)f 1 3 f(2 021)f 1 2 021 的值 解(1)由 f(x) x2 1x21 1 x21， 所以 f(2)1 1 221 4 5，f 1 2 1 1 1 41 1 5. f(3)1 1 321 9 10，f 1 3 1 1 1 91 1 10. (2)由(1)中求得的结果发现 f(x)f 1 x 1. 证明如下：f(x)f 1 x x2 1x2 1 x2 11 x2 x2 1x2 1 x211. (3)由(2)知 f(x)f 1 x 1， f(2)f 1 2 1，f(3)f 1 3 1， f(4)f 1 4 1，f(2 021)f 1 2 021 1. f(2)f 1 2 f(3)f 1 3 f(2 021)f 1 2 021 2 020.
