1、课时作业课时作业 74二项分布与正态分布二项分布与正态分布 一、选择题 1设随机变量服从正态分布 N(3,4)，若 P(a2)，则 a 的值为(A) A.7 3 B.5 3 C5D3 解析：随机变量服从正态分布 N(3,4)，P(a2)，x2a3 与 xa2 关于 x3 对称，2a 3a26，3a7，a7 3，故选 A. 2(2021福建质量检查)某市为了解居民用水情况，通过抽样得到部分家庭月均用水量的数据，制出频率分布直 方图(如图)，若以频率代替概率，从该市随机抽取 5 个家庭，则月均用水量在 812 吨的家庭个数 X 的数学期望为 (B) A3.6B3 C1.6D1.5 解析：由频率分布
2、直方图知月均用水量在 812 吨的概率为 0.6，又 XB(5,0.6)，故 E(X)50.63. 3(2021广东深圳月考)某班有 60 名学生，一次考试后数学成绩符合N(110，2)，若 P(100110)0.35， 则估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为(B) A10B9 C8D7 解析： N(110， 2)， 110， P(110)0.5， P(100110)0.35， P(110120)0.35， P(120) P(110)P(110120)0.50.350.15，故估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为 600.159.故选 B. 4(2021江西景德镇一模)在一
3、个坛子中装有 10 个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有 1 个红球，2 个蓝球，3 个黄球，4 个绿球现从中任取一球后(不放回)，再取一球，则已知第一个球为红色的情况下，第二个球为黄色的概 率为(A) A.1 3 B. 3 10 C. 1 30 D. 3 100 解析：依题意，在第一个球取得红球的条件下，坛子中还有 3 个黄球，而坛子中此时共有 9 个球，故再取一球取 得黄球的概率 P3 9 1 3，故选 A. 5(2021重庆一中月考)一架飞机有若干引擎，在飞行中每个引擎正常运行的概率为 p，且相互独立已知四引 擎飞机中至少有三个引擎正常运行， 飞机就可安全飞行； 双引擎飞机要两个引擎全部正
4、常运行， 飞机才可安全飞行 若 已知四引擎飞机比双引擎飞机更安全，则 p 的取值范围是(B) A. 2 3，1B. 1 3，1 C. 0，2 3D. 0，1 3 解析：本题考查独立重复试验的概率设事件 A 为“四引擎飞机安全飞行”，则 P(A)C34p3(1p)C44p4.设事件 B 为“双引擎飞机安全飞行”，则 P(B)p2，依题意 P(A)P(B)，即 C34p3(1p)C44p4p2，解得1 3p1. 6(2021江西九江一模)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成其中有一种起卦 方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，
5、再随意抛撒钱 币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻若每 一枚钱币正面向上的概率为1 2，则一卦中恰有两个变爻的概率为( D) A.1 4 B.15 64 C. 80 243 D.1 215 4 096 解析：由已知可得，三枚钱币全部正面向上或反面向上即变爻出现的概率 P2 1 2 31 4，一卦中出现变爻的次 数 XB 6，1 4 ，P(X2)C26 1 4 2 3 4 41 215 4 096，故选 D. 7.如图，在曲线 C(曲线 C 为正态分布 N(2,4)的密度曲线)与 x 轴围成的区域中随机投掷 10 000 个点，则落入阴
6、影部分的点的个数的估计值为(C) (附：XN(，2)，则 P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5.) A906B2 718 C1 359D3 413 解析：因为 xN(2,4)，所以正态曲线关于直线 x2 对称，且2，2.因为 P(x) P(4x0)0.682 7，P(2x2)P(6x2)0.954 5，所以 P(0 x2) 1 2P(6x2)P(4x0) 1 2(0.954 50.682 7)0.135 9.设落入阴影部分的点的个数为 m，所以 m 10 000 0.135 9，解得 m1 359，故选 C. 8(2021武汉市调研测试)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育
7、锻炼某校篮球运动员进行投篮练习， 他前一球投进则后一球投进的概率为3 4，他前一球投不进则后一球投进的概率为 1 4.若他第 1 球投进的概率为 3 4，则他第 3 球投进的概率为(D) A.3 4 B.5 8 C. 7 16 D. 9 16 解析：设该篮球运动员投进第 n1(n2，nN*)个球的概率为 Pn1，第 n1 个球投不进的概率为 1Pn1，则 他投进第 n 个球的概率为 Pn3 4P n11 4(1P n1)1 4 1 2P n1， Pn1 2 1 2(P n11 2) P n1 2(P 11 2)( 1 2) n1(1 2) n11 4 (1 2) n1. Pn(1 2) n11
8、 2(nN *)，P39 16.故选 D. 二、填空题 9(2021普通高等学校考前演练)飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖 3 次为一轮，一轮中投掷 3 次飞镖至少两次投中 9 环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀某选手投掷飞镖每轮为优秀的概率为4 5，则该选手投掷飞镖共三轮， 至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是124 125. 解析：由于该选手每轮拿到优秀的概率为4 5，因此该选手投掷飞镖三轮至少有一轮可以拿到优秀的概率 P1 C03 4 5 0 1 5 3124 125. 10(2021河北邢台摸底)随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活网购的苹果在运输过程中容易出现 挤压，假设在运输过
9、程中每箱苹果出现挤压的概率为 0.7，每箱苹果在运输过程中互不影响，则网购 2 箱苹果恰有 1 箱在运输过程中出现挤压的概率为 0.42. 解析： 本题考查独立重复试验的概率计算 网购 2 箱苹果恰有 1 箱在运输过程中出现挤压相当于重复做两次试验， 恰好发生一次由于每次事件发生的概率为 0.7，因此恰有一次发生的概率为 C120.7(10.7)0.42. 11甲、乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的 概率为3 4，乙猜对每个谜语的概率为 2 3，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人合起来共猜对 3 个谜语的概率为 5
10、12. 解析：甲、乙两人合起来共猜对 3 个谜语的所有情况包括：甲猜对 2 个，乙猜对 1 个和甲猜对 1 个，乙猜对 2 个 若甲猜对 2 个，乙猜对 1 个，则概率为 3 4 3 4C 1 22 3 1 3 1 4； 若甲猜对 1 个，乙猜对 2 个，则概率为 C123 4 1 4 2 3 2 3 1 6. 比赛结束时，甲、乙两人合起来共猜对 3 个谜语的概率为1 4 1 6 5 12. 12(2021湖北襄阳联考)将 4 瓶外观相同，品质不同的酒让品酒师品尝，要求按品质优劣将 4 种酒排序，经过一 段时间后，再让其品尝这 4 瓶酒，并让他重新按品质优劣将 4 种酒排序根据测试中两次排序的
11、偏离程度评估品酒师 的能力a1，a2，a3，a4表示第一次排序为 1,2,3,4 的四种酒分别在第二次排序中的序号，记 X|1a1|2a2|3 a3|4a4|为其偏离程度，假设 a1，a2，a3，a4为 1,2,3,4 的等可能的各种排列假设每轮测试之间互不影响，p1表示 在一轮测试中 X2 的概率，p2表示在前三轮测试中恰好有一轮 X2 的概率，则 p225 72. 解析：本题考查古典概型以及二项分布的概率的求解.1,2,3,4 等可能的各种排列共有 A4424 种，满足 X2 的 a1， a2，a3，a4的排列有：1,2,3,4；2,1,3,4；1,2,4,3；1,3,2,4，共 4 种；
12、p1 4 24 1 6，p 2C13p1(1p1)231 6 25 36 25 72. 三、解答题 13(2021湖南师大附中月考)改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪 80 年代的 153 万件提升到 2018 年的 507.1 亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利已知某市某快递点的收费标准 为： 首重(质量小于或等于 1 kg)收费 10 元，续重 5 元/kg(不足 1 kg 按 1 kg 算，如：一个包裹的质量为 2.5 kg，则需支 付首重 10 元，续重 10 元，一共 20 元快递费用) (1)若你有三件礼物 A，B，C，质量分别为 0.4 kg
13、,1.2 kg,1.9 kg，要将这三件礼物分成两个包裹寄出(如：A，B 一 个包裹，C 一个包裹)，那么如何分配礼物，才能使得你花费的快递费最少？ (2)为了解该快递点 2019 年的揽件情况，在 2019 年内随机抽查了 30 天的日揽收包裹数(单位：件)，得到如下表 格： 包裹数(0,100(100,200(200,300(300,400 天数81282 现用这 30 天的日揽收包裹数估计该快递点 2019 年的日揽收包裹数若从 2019 年任取 4 天，记这 4 天中日揽收 包裹数超过 200 件的天数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 解：(1)A，B 一个包裹，C 一个包裹
14、时，需花费 151530(元)， A，C 一个包裹，B 一个包裹时，需花费 201535(元)， B，C 一个包裹，A 一个包裹时，需花费 251035(元)， 综上，A，B 一个包裹，C 一个包裹时花费的快递费最少，为 30 元 (2)由题意知，每日揽收包裹数超过 200 件的概率为1 3， X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，XB 4，1 3 ， P(Xk)Ck4 1 3 k 2 3 4k(k0,1,2,3,4)， 则 X 的分布列为 X01234 P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 数学期望 E(X)41 3 4 3. 14(2021福建厦门模拟)某学校为了解
15、全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了 100 人的体重数据，得到 如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率 (1)估计这 100 人体重数据的平均值和样本方差2(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (2)从全校学生中随机抽取 3 名学生，记 X 为体重在55,65)内的人数，求 X 的分布列和数学期望 (3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重 Y 近似服从正态分布 N(，2)若 P(2Y0.954 5， 则认为该校学生的体重是正常的试判断该校学生的体重是否正常，并说明理由 解：(1)(47.572.5)0.0045(52.567.5)0.0265(57.56
16、2.5)0.070560， 2(6047.5)2(6072.5)20.02(6052.5)2(6067.5)20.13(6057.5)2(6062.5)20.3525. (2)由已知可得从全校学生中随机抽取 1 人，体重在55,65)内的概率为 0.7. 随机抽取 3 人，相当于 3 次独立重复试验，所以随机变量 X 服从二项分布 B(3,0.7)， 则 P(X0)C030.700.330.027，P(X1)C130.70.320.189， P(X2)C230.720.30.441，P(X3)C330.730.300.343， 所以 X 的分布列为 X0123 P0.0270.1890.441
17、0.343 数学期望 E(X)30.72.1. (3)由题意知 Y 近似服从正态分布 N(60,25)， 则 P(2Y2)P(50Y0.954 5，所以可以认为该校学生的体重是正常的 15(2021山东济宁模拟)2020 年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为 “对点帮扶”一农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于 2020 年初开始种植已知该经济农作物每年每亩 的种植成本为 1 000 元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影 响，其具体情况如下表： (1)设 2020 年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为 X
18、 元，求 X 的分布列(纯收入收入成本) (2)若该农户从 2020 年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户 种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 16 000 元的概率 (3)2020 年全国脱贫标准约为人均纯收入 4 000 元假设该农户是一个四口之家，且该农户在 2020 年的家庭所有 支出与其他收入正好相抵凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在 2020 年底是否可以脱贫？并说明理由 注：亩是中国市制土地面积单位，1 亩666.67 平方米 解：(1)由题意知 1 200201 00023 000,1 200151 00017 000
19、,900201 00017 000,900151 000 12 500， 所以 X 的所有可能取值为 23 000,17 000,12 500. 设 A 表示事件“该经济农作物亩产量为 900 kg”，则 P(A)0.5；设 B 表示事件“该经济农作物市场价格为 15 元/kg”，则 P(B)0.4. 则 P(X23 000)P( AB )(10.5)(10.4)0.3，P(X17 000)P( A B)P(A B )(10.5)0.40.5(1 0.4)0.5，P(X12 500)P(AB)0.50.40.2. 所以 X 的分布列为 X23 000 17 000 12 500 P0.30.5
20、0.2 (2)设 C 表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于 16 000 元”，则 P(C)P(X16 000)P(X23 000) P(X17 000)0.30.50.8， 设这三年中有 Y 年的纯收入不少于 16 000 元，则 YB(3,0.8)； 所以这三年中至少有两年的纯收入不少于 16 000 元的概率 PP(Y2)C330.83C230.820.20.896. (3)由(1)知， 预测 2020 年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为 E(X)23 0000.317 0000.512 5000.2 17 900(元)因为17 900 4 4 000，所以该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准所以预测该农户在 2020 年底可以 脱贫
