1、课时作业课时作业 76坐标系坐标系 1在直角坐标系 xOy 中，设直线 l： x2t， y2t (t 为参数)，曲线 C1： x22cos， y2sin (为参数)，以 O 为极 点，x 正半轴为极轴的极坐标系 (1)求 C1和 l 的极坐标方程； (2)设曲线 C2：4sin，曲线 0， 4 2 ，分别与 C1，C2交于 A，B 两点，若 AB 的中点在直线 l 上，求 |AB|. 解：(1)曲线 C1消去参数可得(x2)2y24，将 xcos，ysin，x2y2代入得到曲线 C1的极坐标方程为 4cos， 直线 l 消去参数 t 可得 2xy40， 将其化为极坐标方程为 2cossin40
2、. (2)由题意可知A4cos，B4sin，AB 中点的极径为AB 2 2(sincos)， 将(2sin2cos，)代入 2cossin40 中， 化简得 3sincossin20， 因为 4 2，所以 sin0， 故 tan3，sin3 10 10 ，cos 10 10 ， 则|AB|AB|4|sincos|4 10 5 . 2.如图，在极坐标系 Ox 中，A(2,0)，B( 2， 4)，C( 2， 3 4 )，D(2，)，弧AB ， BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)， (1， 2)，(1，)，曲线 M 1是弧AB ，曲线 M2是弧BC ，曲线 M3是弧CD . (1)分别写出
3、M1，M2，M3的极坐标方程； (2)曲线 M 由 M1，M2，M3构成，若点 P 在 M 上，且|OP| 3，求 P 的极坐标 解：(1)由题设可得，弧AB ， BC ，CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos.所以 M1的极坐 标方程为2cos(0 4)，M 2的极坐标方程为2sin( 4 3 4 )，M3的极坐标方程为2cos(3 4 ) (2)设 P(，)，由题设及(1)知： 若 0 4，则 2cos 3，解得 6； 若 4 3 4 ，则 2sin 3，解得 3或 2 3 ； 若3 4 ，则2cos 3，解得5 6 . 综上，P 的极坐标为( 3， 6)或( 3， 3
4、)或( 3， 2 3 )或( 3，5 6 ) 3(2021福州市模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x 3tcos， yy0tsin (t 为参数，为 l 的倾斜 角)，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为4sin，直线， 3， 3(R)与曲线 E 分别交于不同于极点 O 的三点 A，B，C. (1)若 3 2 3 ，求证：|OB|OC|OA|； (2)当5 6 时，直线 l 过 B，C 两点，求 y0与的值 解：(1)证明：依题意，|OA|4sin|，|OB|4sin( 3)|，|OC|4sin( 3)|， 3 2 3 ， |
5、OB|OC|4sin( 3)4sin( 3)4sin|OA|. (2)当5 6 时，直线 3与曲线 E 的交点 B 的极坐标为(2， 6)，直线 3与曲线 E 的交点 C 的极坐标为(4， 2)， 从而，B，C 两点的直角坐标分别为 B( 3，1)，C(0,4)， 直线 l 的方程为 y 3x4，y01，2 3 . 4在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是 x35cos， y45sin (为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 (1)求曲线 C 的极坐标方程； (2)设 l1： 6，l 2： 3，若 l 1，l2与曲线 C 分别交于异于原点的 A，B 两点，
6、求AOB 的面积 解：(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程为(x3)2(y4)225，即 x2y26x8y0. 曲线 C 的极坐标方程为6cos8sin. (2)设 A(1， 6)，B( 2， 3) 把 6代入6cos8sin， 得143 3，A(43 3， 6) 把 3代入6cos8sin， 得234 3，B(34 3， 3) SAOB1 2 12sinAOB 1 2(43 3)(34 3)sin( 3 6)12 25 3 4 . 5(2021贵州省适应性考试)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 xtcos， ytsin (t 为参数，t0)以 O 为极点，x 轴正半轴
7、为极轴建立极坐标系，曲线 C2，C3的极坐标方程分别为22cos4 50，(cossin) 7 5. (1)判断 C2，C3的位置关系，并说明理由； (2)若 tan3 4(0)，C 1分别与 C2，C3交于 M，N 两点，求|MN|. 解：(1)C2与 C3相交，理由如下：由 C2：22cos4 50，可得 x 2y22x4 50，即 C 2是圆心为(1,0)，半径 为3 5 5 的圆 由 C3：(cossin)7 5可得 xy 7 50，即 C 3是一条直线，圆 C2的圆心(1,0)到直线 C3的距离 d |107 5| 2 2 5 3 5 5 ，即 dr，所以圆 C2与直线 C3相交 (
8、2)由 tan3 4(0)， 得 sin3 5，cos 4 5， 由 0， 22cos4 50， 得28 5 4 50， 解得12，22 5(舍去)， 由 0， cossin7 5 得(3 5 4 5) 7 5，解得 31， 则|MN|13|1. 6(2021石家庄市质检)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 xrcos2， yrsin (为参数)，以坐标原 点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 l 的极坐标方程为 3. (1)求曲线 C 的极坐标方程； (2)当 0r0，结合 0r2，得 3r20， 1 |OA| 1 |OB| 1 1 1 2 12 12 2 4r2. 3r24，04r21， 1 |OA| 1 |OB|(2，)
