1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】 在正方体 1111 ABCDABC D中， 11 1111 1 44 AB B ED F，求 1 BE与 1 DF所成角的余弦 值 【例 2】 直三棱柱 111 ABCABC中， 1111 BCACBCAB，求证： 11 ABAC ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? B ? A 【例 3】 如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，90ABC，SA 平面 ABCD， 1 1 2 SAABBCAD，求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值 ? D ? C ? B ? A ? S 板块四.用空间向量计算距离 与角度 【学而
2、思高中数学讲义】 【例 4】 已知(0 2 3)A， ，( 2 1 6)B ，(11 5)C，求方向向量为(0 0 1)j ， ，直线与平 面ABC所成角的余弦值 【例 5】 已知平行六面体ABCDA B C D 中，4AB ，3AD ，5AA ， 60BAADAA ，90BAD，求 AC 的长 ? D ? ? C ? ? B ? ? A ? ? D ? C ? B ? A 【例 6】 如图直角梯形OABC中， 2 COAOAB ，2OC ，1OAAB，SO 平面 OABC，1SO ， 以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系Oxyz 求SC 与OB 的夹角的大小（用反三角函数表
3、示） ； 设(1)np q ， ，满足n 平面SBC，求 n 的坐标； OA与平面SBC的夹角（用反三角函数表示） ； O到平面SBC的距离 ? C ? B ? A ? O ? S 【例 7】 如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG 平面ABCD，垂足为 G，G在AD上，且4PG ， 1 3 AGGD，BGGC，2GBGC，E是BC的 中点 求异面直线GE与PC所成的角的余弦值； 求点D到平面PBG的距离； 【学而思高中数学讲义】 若F点是棱PC上一点，且DFGC，求 PF FC 的值 ? P ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 8】 已知EF，分别是
4、正方体 1111 ABCDABC D的棱BC和CD的中点，求 1 AD与EF所成角的大小； 1 AF与平面 1 B EB所成角的大小； 二面角 11 CD BB的大小 【例 9】 长方体 1111 ABCDABC D中，4ABBC，E为 11 AC与 11 B D的交点，F为 1 BC与 1 BC的交点，又AFBE，求长方体的高 1 BB；二面角BAFC的大小 【例 10】如图：在空间四边形ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，且2ABBC， E是AC的中点，异面直线AD和BE所成的角为 10 arccos 10 ，求BD的长度； 二面角DACB的余弦值 ? E ? D ? C ? B ? A
5、 【例 11】如图，直三棱柱 111 ABCABC中，ABAC，D、E分别为 1 AA、 1 BC的中 点，DE 平面 1 BCC 证明：ABAC 设二面角ABDC为60，求 1 BC与平面BCD所成角的大小 【学而思高中数学讲义】 ? E ? D ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? B ? A 【例 12】如图，在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AABCAB，ABBC，求二面 角 111 BACC的大小 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? B ? A 【例 13】如图，直三棱柱 111 ABCABC中，底面是等腰直角三角形，90ACB
6、， 侧棱 1 2AA ，D、E分别是 1 CC与 1 AB的中点，点E在平面ABD上的射影是 ABD的垂心G 求 1 AB与平面ABD所成角的余弦值； 求点 1 A到平面AED的距离 ? G ? E ? D ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? B ? A 【例 14】如图， 四棱锥SABCD中， 底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD，2AD ， 2DCSD点M在侧棱SC上，60ABM 证明：M是侧棱SC的中点； 求二面角SAMB的大小 【学而思高中数学讲义】 ? M ? S ? D ? C ? B ? A 【例 15】如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯
7、形ADEF所在的平面互 相垂直且2DE ，EDAF且90DAF 求BD和面BEF所成的角的余弦； 线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在， 求EP与PF的比值；若不存在，说明理由 ? P ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 16】如 图 ， 在 空 间 四 边 形OABC中 ，8645OAABACBC， 45OAC，60OAB，求OA与BC的夹角的余弦值 ? C ? B ? A ? O 【例 17】如图， 在三棱柱 111 ABCABC中，AB 侧面 11 BBC C，E为棱 1 CC上异于C、 1 C的一点， 1 EAEB，已知2AB ， 1
8、2BB ，1BC ， 1 3 BCC， 求：异面直线AB与 1 EB的距离； 二面角 11 AEBA的平面角的正切值 【学而思高中数学讲义】 ? A ? B ? C ? A ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1 ? E 【例 18】如图， 在棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D中，E、F、G分别是 11 C D、 11 AD、 1 BB的中点，取如图所示的空间直角坐标系， 写出A、 1 B、E、G的坐标； 求证：CFAE，且CFAE； 求异面直线EF与AG所成角的余弦值 ? G ? F ? E ? C ? D ? B ? A ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A
9、? 1 【例 19】如图， 在棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D中，E、F、G分别是 11 C D、 11 AD、 1 BB的中点， 求证：CFAE，且CFAE； 求异面直线EF与AG所成角的余弦值 写出平面AGC的一个法向量 ? G ? F ? E ? C ? D ? B ? A ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 【例 20】如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2 11 B D与 1 AD能否垂直？请证明你的判断； 【学而思高中数学讲义】 当 111 ABC在 32 ，上变化时，求异面直线 1 AC与 11
10、 AB所成角的取值范围 ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 21】如图：已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PEABCD 面，垂足E在 边AD上BEC是等腰直角三角形，2BEEC，四面体PBEC的体积为 8 3 ? E ? D ? C ? B ? A ? P 求面PBC与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值； 求点A到面PBC的距离； 若点F在直线PC上，且PCBEF 面，求 PF PC 的值 【例 22】如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互 相垂直且2DE ，EDAF且90DAF 求BD和面BEF所成的角的余弦； 线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在， 求EP与PF的比值；若不存在，说明理由 【学而思高中数学讲义】
