1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型四：函数的最值 【例 1】函数 3 ( )31f xxx在闭区间 3 0 ，上的最大值和最小值分别是（） A11，B117，C317，D919， 【例 2】已知 32 ( )26f xxxa（a是常数） 在 2 2 ，上有最大值3， 那么在 2 2 ，上的最小值是 （） A5B11C29D37 【例 3】设函数 1 ( )22(0)f xxx x 则( )f x的最大值为 【例 4】函数 3 ( )34(0 1)f xxxx，的最大值是（） A1B 1 2 C0D1 【例 5】设函数 1 ( )21(0)f xxx x ，则( )f x（） A有最大值B有
2、最小值C是增函数D是减函数 【例 6】对于函数( )f x，在使( )f xM恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数( )f x 的“下确界”，则函数 2 2 1 ( ) (1) x f x x 的下确界为 【例 7】设函数( )yf x在() ，内有定义 对于给定的正数K， 定义函数 ( )( ) ( ) ( ) K f xf xK fx Kf xK ， 取函数( )2 x f xxe，若对任意的()x ，恒有( )( ) K fxf x，则（） AK的最大值为2 BK的最小值为2 CK的最大值为1 DK的最小值为1 【例 8】下列说法正确的是（） A函数在闭区间上的极大值一定比极
3、小值大 B函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C满足( )0fx的点可能不是函数的极值点 D函数( )f x在区间()a b，上一定存在最值 板块三.导数的应用 【学而思高中数学讲义】 【例 9】函数 42 ( )25f xxx在区间 2 2 ，上的最大值是；最小值是 【例 10】对于函数 2 2e ,0 ( ) 1 2,0 2 x xx f x xxx ，有下列命题： 过该函数图象上一点2,2f的切线的斜率为 2 2 e ； 函数( )f x的最小值为 2 e ； 该函数图象与x轴有4个交点； 函数( )f x在(,1上为减函数，在(0, 1上也为减函数 其中正确命题的序号是 【例 11】已
4、知函数( )eln x f xax的定义域是D，关于函数( )f x给出下列命题： 对于任意0 ,a ，函数( )f x是D上的减函数； 对于任意, 0a ，函数( )f x存在最小值； 存在0 ,a ，使得对于任意的xD，都有( )0f x 成立； 存在, 0a ，使得函数( )f x有两个零点 其中正确命题的序号是_ （写出所有正确命题的序号） 【例 12】已知 32 ( )21f xxbxcx在区间1 2 ，上是减函数，那么2bc（） A有最大值 15 2 B有最大值15 2 C有最小值 15 2 D有最小值15 2 【例 13】求 32 ( )395f xxxx在 4 4 ，上的最大值
5、和最小值 【例 14】已知函数 2 4 ( )f xx x 求函数( )f x的单调递减区间； 当1 4x，时，求函数( )f x的最大值和最小值 【例 15】已知函数 32 ( )6( 1 2)f xaxaxb x ，的最大值为3，最小值为29，求a、b的值 【例 16】已知函数 32 1 ( )2 3 f xaxx，其中0a 若( )f x在区间 1 1 ，上的最小值为2，求a的 值 【例 17】已知0a，函数 2 ( )(2) x f xxax e，当x为何值时，( )f x取得最小值？ 【例 18】设函数 3 ( )f xaxbxc(0)a 为奇函数，其图象在点(1(1)f，处的切线与
6、直线 670 xy垂直，导函数( )fx的最小值为12 求a，b，c的值； 求函数( )f x的单调递增区间，并求函数( )f x在 1 3 ，上的最大值和最小值 【例 19】设aR，函数 32 ( )3f xaxx 【学而思高中数学讲义】 若2x 是函数( )yf x的极值点，求a的值； 若函数( )( )( )0 2g xf xfxx，在0 x 处取得最大值，求a的取值范围 若函数( )( )( )g xf xfx在0 2x，时的最大值为1，求a的值 【例 20】已知函数 32 39f xxxxa ， 求( )f x的单调递减区间； 若( )f x在区间22 ，上的最大值为20，求它在该区
7、间上的最小值 【例 21】已知( )ln()0)f xaxxxe ， 当1a 时，讨论( )f x的单调性、极值； 是否存在实数a，使( )f x的最小值是3，如果存在，求出a的值；若不存在，请说明理由 【例 22】设0a ，函数 2 ( )|ln1|f xxax 当1a 时，求曲线( )yf x在1x 处的切线方程； 当3a 时，求函数( )f x的单调性； 当4a ，1)x ，时，求函数( )f x的最小值 【例 23】设3x 是函数 23 ( )()e() x f xxaxbx R的一个极值点 求a与b的关系式（用a表示b） ，并求( )f x的单调区间； 设0a ， 2 25 ( )e
8、 4 x g xa 若存在 12 0 4，使得 12 ()()1fg成立， 求a的取值范围 【例 24】已知函数 2 47 ( ) 2 x f x x ，01x， 求( )f x的单调区间和值域； 设1a，函数 32 ( )32g xxa xa，01x，若对于任意 1 01x ，总存在 0 01x ， 使得 01 ()()g xf x成立，求a的取值范围 【例 25】已知函数( )lnf xaxx，(1)xe，且( )f x有极值 求实数a的取值范围； 求函数( )f x的值域； 函数 3 ( )2g xxx，证明： 1 (1)xe， 0 (1)xe，使得 01 ()()g xf x成立 【例
9、 26】已知函数 1 ln1 a f xxaxa x R 当 1 2 a时，讨论 f x的单调性； 设 2 24g xxbx 当 1 4 a 时， 若对任意 1 02x ， 存在 2 12x ， 使 12 f xg x， 求实数b取值范围 【学而思高中数学讲义】 【例 27】设函数 lnln 20f xxxax a 当1a 时，求 f x的单调区间； 若 f x在01，上的最大值为 1 2 ，求a的值 【例 28】已知函数( )ln a f xx x 当0a 时，求函数( )f x的单调区间； 若函数 f x在1 , e上的最小值是 3 , 2 求a的值 【例 29】已知a是实数，函数 2 f
10、 xxxa 若(1)3 f ，求a的值及曲线 yf x在点 11f，处的切线方程； 求( )f x的极值 求 f x在区间0 2，上的最大值 【例 30】已知函数 2 1lnf xxax x ，0a 讨论 f x的单调性； 设3a ，求 f x在区间 2 1e ，上的值域，其中e=2.71828是自然对数的底数 【例 31】已知a为实数， 2 ( )(4)()f xxxa 求导数( )fx； 若( 1)0f ，求( )f x在 2 2 ，上的最大值和最小值； 若( )f x在(2) ，和(2) ，上都是递增的，求a的取值范围 【例 32】已知函数 32 ( )2f xxaxx，aR 若( )f
11、 x在01，上是减函数，求a的最大值； 若( )f x的单调递减区间是 1 1 3 ，求函数( )yf x图像过点1 1，的切线与两坐标轴围 成图形的面积 【例 33】设曲线e(0) x yx 在点(e ) t M t ，处的切线l与x轴，y轴所围成的三角形的面积为 ( )S t， 求切线l的方程；求( )S t的最大值 【例 34】已知函数 32 3 ( ) 2 f xxmxn，12m， 若( )f x在区间 1 1 ，上的最大值为 1，最小值为2，求m、n的值； 在的条件下，求经过点(2, 1)P且与曲线( )f x相切的直线l的方程； 设函数( )f x的导函数为( )g x，函数 2
12、( )31 ( ) 6 x g xx F xe ，试判断函数( )F x的极值点个 数，并求出相应实数m的范围 【学而思高中数学讲义】 【例 35】在 实 数 集R上 定 义 运 算(1)xyxay：（）， 若 2 f xx， g xx， 若 F xf xg x 求 F x的解析式； 若 F x在R上是减函数，求实数a的取值范围； 若 5 3 a ， F x的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切 线方程；若不存在，说明理由 【例 36】已知函数 2 ( )ln1 2 ax f xxax，aR，且0a 若(2)1 f ，求a的值； 当0a 时，求函数( )f x的最大值
13、； 求函数( )f x的单调递增区间 【例 37】已知函数 322 1 ( )(1)( ,) 3 f xxaxaxb a b R 若1x 为( )f x的极值点，求a的值； 若( )yf x的图象在点(1,(1)f处的切线方程为30 xy， 求( )f x在区间 2,4上的最大值； 当0a 时，若( )f x在区间( 1,1)上不单调，求a的取值范围 【例 38】已知函数 322 1 ( )(1)( ,) 3 f xxaxaxb a b R 若1x 为( )f x的极值点，求a的值； 若( )yf x的图象在点(1,(1)f处的切线方程为30 xy， 求( )f x在区间 2,4上的最大值；
14、求函数( )( )(2)() x G xfxmxm em R的单调区间 【例 39】已知函数( )1ex a f x x ，其中0a 求函数( )f x的零点； 讨论( )yf x在区间(, 0)上的单调性； 在区间, 2 a 上，( )f x是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理 由 【例 40】已知函数 2 ( )()e x f xxmxm，其中mR 若函数( )f x存在零点，求实数m的取值范围； 当0m 时，求函数( )f x的单调区间，并确定此时( )f x是否存在最小值，如果存在，求出 【学而思高中数学讲义】 最小值；如果不存在，请说明理由 【例 41】已知函数(
15、)lnf xx ，(0)xe，曲线( )yf x在点( )tf t，处的切线与x轴和y轴分 别交于A、B两点，设O为坐标原点，求AOB面积的最大值 【例 42】已知函数 2 1 4 2 f xx 写出函数 f x的定义域，并求函数 f x的单调区间； 设过曲线 yf x上的点P的切线l与x轴、y轴所围成的三角形的面积为S，求S的最小 值，并求此时点P的坐标 【例 43】函数 2 ( )1(00)f xaxax ，该函数图象在点P 2 00 (1)xax，处的切线为l，设切线l分 别交x轴和y轴于两点M和N 将MON（O为坐标原点）的面积S表示为 0 x的函数 0 ()S x； 若 1 (0)M x ，函数( )yf x的图象与x轴交于点(0)T t，则 1 x与t的大小关系如何？证明你 的结论； 若在 0 1x 处， 0 ()S x取得最小值，求此时a的值及 0 ()S x的最小值 【例 44】如图，曲线段OMB是函数 2 ( )(06)f xxx的图象，BAx轴于点A，曲线段OMB上一 点 2 ()M t t，处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q， 若t已知，求切线PQ的方程；求QAP的面积的最大值
