1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一：复数的概念 【例 1】若复数 2 321aaai是纯虚数，则实数a的值为（） A1B2C1或2D1 【例 2】若复数 2 (1)(1)zxxi为纯虚数，则实数x的值为（） A 1 B0C1 D 1 或1 【例 3】已知02a，复数z的实部为a，虚部为 1，则z的取值范围是（） A15，B13，C 15，D 13， 【例 4】若复数(2)ibi是纯虚数，则实数b 【例 5】设 1 z是复数， 211 zziz（其中 1 z表示 1 z的共轭复数） ，已知 2 z的实部是1，则 2 z的虚部 为 【例 6】复数 3 2 1 i （） A12iB12i C1
2、D3 【例 7】计算： 0!1!2!100! i +i +i +i（i表示虚数单位） 复数 【学而思高中数学讲义】 【例 8】设 22 (253)(22)iztttt，tR，则下列命题中一定正确的是（） Az的对应点Z在第一象限 Bz的对应点Z在第四象限 Cz不是纯虚数Dz是虚数 【例 9】在下列命题中，正确命题的个数为（） 两个复数不能比较大小； 若 22 (1)(32)ixxx是纯虚数，则实数1x ； z是虚数的一个充要条件是zzR； 若a b，是两个相等的实数，则()()iabab是纯虚数； zR的一个充要条件是zz 1z 的充要条件是 1 z z A1B2C3D4 题型二：复数的几何意
3、义 【例 10】复数 i i z 1 )2( 2 （i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【例 11】复数 1 3iz ， 2 1iz ，则复数 1 2 z z 在复平面内对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【例 12】在复平面内，复数 2009 2 1 i (1 i) 对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【例 13】在复平面内，复数sin2cos2zi对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【学而思高中数学讲义】 【例 14】在复平面内，复数 2 1 i 对应的点与原点的距离是
4、（） A1B2 C2D2 2 【例 15】若复数z满足(1)1i zai ，且复数z在复平面上对应的点位于第二象限，则实数 a 的取 值范围是（） A1aB11aC1aD11aa或 【例 16】已知复数 z34i 所对应的向量为OZ ，把OZ 依逆时针旋转得到一个新向量为 1OZ 若 1OZ 对应一个纯虚数，当取最小正角时，这个纯虚数是（） A3iB4iC5iD5i 【例 17】复数 2i 12i m z （mR，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【例 18】若 35 44 ，复数(cossin )(sincos )i在复平面内所对应的点
5、在（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【例 19】设A B，为锐角三角形的两个内角， 则复数(cottan)(tancot)zBABA i对应的点位于复平 面的（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【例 20】如果复数z满足ii2zz，那么i1z 的最小值是（） A1B2C2D5 【学而思高中数学讲义】 【例 21】满足1z 及 13 22 zz的复数z的集合是（） A 1313 ii 2222 ，B 1111 ii 2222 ， C 2222 ii 2222 ，D 1313 ii 2222 ， 【例 22】已知复数(2)i()xy xyR，的模为3，则 y x 的最大值
6、为_ 【例 23】复数z满足条件：21izz，那么z对应的点的轨迹是（） A圆B椭圆C双曲线D抛物线 【例 24】复数 1 z， 2 z满足 12 0z z ， 1212 zzzz，证明： 2 1 2 2 0 z z 【例 25】已知复数 1 z， 2 z满足 1 71z ， 2 71z，且 12 4zz，求 1 2 z z 与 12 zz的值 【例 26】已知复数 12 zz，满足 12 1zz，且 12 2zz，求证： 12 2zz 【例 27】已知 12 zz， C， 12 1zz， 12 3zz，求 12 zz 【例 28】已知复数z满足(23i)(23i)4zz，求dz的最大值与最小
7、值 题型三：复数的四则运算 【例 29】复数 3 1 i i 等于（） A8B8C8iD8i 【学而思高中数学讲义】 【例 30】设aR，且 2 ()ai i为正实数，则a （） A1B1C0 D1 【例 31】已知复数1zi ，则 2 2 1 zz z （） A2iB2iC2D2 【例 32】设z的共轭复数是z，若4zz，8z z，则 z z 等于（） AiBiC1Di 【例 33】已知集合 (3)(3) 2 ii z i ，则| z （） A 5 5 B 2 5 5 C5D2 5 【例 34】已知复数 12 2 32i 23i , (2i) zz ，则 1 2 z z （） A 49B7C
8、 25D 5 【例 35】若将复数 1 1 i i 表示为abi（a，bR，i是虚数单位）的形式，则ab 【例 36】若复数 3i 12i a （aR，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（） A2B4C6 D6 【例 37】i 是虚数单位，若1 7( ,) 2 i abi a bR i ，则乘积ab的值是（） A15B3C3D15 【例 38】设abR，且0b ，若复数 3 ()abi是实数，则（） A 22 3baB 22 3abC 22 9baD 22 9ab 【学而思高中数学讲义】 【例 39】若a为实数，i i ai 2 21 2 ，则a等于（） A 2B 2C2 2D2 2 【例
9、 40】若复数 z=ia3)2(（Ra）是纯虚数，则 ai ia 1 = 【例 41】定义运算( , )( , )a bc daccd，则符合条件( ,12 )(1,1)0ziii的复数z的所对应 的点在（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【例 42】定义运算 ab adbc cd ，则符合条件 12 0 1 21 zi ii 的复数z对应的点在（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【例 43】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n， 则复数(i)(i)mnnm为实数的概率为（） A 1 3 B 1 4 C 1 6 D 1 12 【例 44】已知复数z满足01
10、, 1 20082009 zzz，则复数z_ 【例 45】已知mR，若 6 (i)64imm ，则m等于（） A2B2C2D4 【例 46】复数 4 5 (22i) (13i) 等于（） A13iB13i C13iD13i 【学而思高中数学讲义】 【例 47】计算： 12100 9100 (22i)( 2 3i) ( 13i)(12 3i) 【例 48】已知复数 1 cosiz， 2 siniz，则 12 zz的最大值为（） A 3 2 B2C 6 2 D3 【例 49】若复数1iz ，求实数a b，使 2 2(2 )azbzaz （其中z为z的共轭复数） 【例 50】设x、y为实数，且 5
11、11 21 3 xy iii ，则xy=_ 【例 51】对任意一个非零复数z，定义集合| n z Mw wznN， 设z是方程 1 0 x x 的一个根，试用列举法表示集合 z M若在 z M中任取两个数，求其和 为零的概率P； 若集合 z M中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由 【例 52】解关于x的方程 2 56(2)i0 xxx 【例 53】已知 22 1 1zxi x， 2 2 ()izxa，对于任意xR，均有 12 zz成立，试求实数a的取值 范围 【例 54】关于x的方程 2 (2)i10 xai xa 有实根，求实数a的取值范围 【例 55】设方程 2 20 xx
12、k的根分别为，且2 2，求实数k的值 【学而思高中数学讲义】 【例 56】用数学归纳法证明：(cosisin )cos()isin() n nnn N， 并证明 1 (cosisin )cosisin ，从而(cosisin )cos()isin() n nn 【例 57】若cosisin是方程 12 121 0 nnn nn xa xa xaxa （ 12n aaa R， ， ，）的解， 求证： 12 sinsin2sin0 n aaan 【例 58】已知 1 z z 是纯虚数，求z在复平面内对应点的轨迹 【例 59】设复数 1 z， 2 z满足 1212 0zzA zA z，其中5A ，求
13、 12 zAzA的值 【例 60】设复数z满足2z ，求 2 4zz的最值 【例 61】若( )23if zzz，()63if zi，试求()fz 【例 62】已知虚数为1的一个立方根， 即满足 3 1，且对应的点在第二象限，证明 2 ，并 求 23 111 与 2 1 1 的值 【例 63】若 232 01232 0 n n aaaaa（ 0122 13 i 22 n naaaa NR， ， ， ， ，） ， 求证： 036147258 aaaaaaaaa 【学而思高中数学讲义】 【例 64】设z是虚数， 1 wz z 是实数，且12w 求z的值及z的实部的取值范围； 设 1 1 z u z
14、 ，求证：u为纯虚数； 求 2 wu的最小值 【例 65】对任意一个非零复数z，定义集合 21 | n z Mw wzn N， 设是方程 1 2x x 的一个根，试用列举法表示集合M； 设复数 z M，求证： z MM 【例 66】已知复数 0 1i(0)zm m ，izxy和iwxy，其中xyxy， ， ，均为实数，i为虚数单 位，且对于任意复数z，有 0 wzz，2wz 试求m的值，并分别写出 x 和 y 用xy，表示的关系式； 将()xy，作为点P的坐标，()xy，作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点 的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q 当点P在直线1yx上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程； 是否存在这样的直线： 它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在， 试求 出所有这些直线；若不存在，则说明理由
