1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 版块一：事件及样本空间 1必然现象与随机现象 必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象； 随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象 2试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实 验的结果称为试验的结果 一次试验是指事件的条件实现一次 在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件； 在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件 通常用大写英文字母A B C ， ， ，来表示随机事件，简称为事件 3基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的
2、，不能再分的最简单的随机事件， 称为基本事件它包含所有可能发生的基本结果 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用表示 版块二：随机事件的概率计算 1如果事件A B，同时发生，我们记作AB，简记为AB； 2一般地，对于两个事件A B，如果有()( ) ( )P ABP A P B，就称事件A与B相互独立， 简称A与B独立当事件A与B独立时，事件A与B，A与B，A与B都是相互独立的 3概率的统计定义 一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率 m n ，当n很大时，总是在某个常数附 近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为 ( )P A 从概率的定
3、义中，我们可以看出随机事件的概率( )P A满足：0( )1P A 当A是必然事件时，( )1P A ，当A是不可能事件时，( )0P A 4互斥事件与事件的并 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件 由事件A和事件B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或A B，都发生）所构成的事件 C，称为事件A与B的并（或和） ，记作CAB 若CAB，则若C发生，则A、B中至少有一个发生，事件AB是由事件A或B所包 含的基本事件组成的集合 5互斥事件的概率加法公式： 若A、B是互斥事件，有()( )( )P ABP AP B 若事件 12n AAA， ， ，两两互斥（彼此互斥）
4、，有 板块一.事件及样本空间 【学而思高中数学讲义】 1212 ()()()() nn P AAAP AP AP A 事件“ 12n AAA”发生是指事件 12n AAA， ， ，中至少有一个发生 6互为对立事件 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件事件A的对立事件记作A 有( )1( )P AP A 1概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同基本事件空间是指一 次试验中所有可能发生的基本结果 有时我们提到事件或随机事件， 也包含不可能事件和必 然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断 2概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概
5、率的定义叫做概率的统 计定义在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率 随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值， 它具有一定的稳定性， 总是在某 个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件 的概率 概率可以看成频率在理论上的期望值， 它从数量上反映了随机事件发生的可能性的 大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率 3基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形 主要方法： 解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质 等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验 ，即所给的问题归结
6、为四类事件中的某一种 第二步，判断事件的运算 和事件 积事件 ，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或 相乘事件 第三步，运用公式 ( ) ()( )( ) ()( )( ) ( )(1) kkn k nn m P A n P ABP AP B P A BP AP B nP kC pp 等可能事件: 互斥事件： 独立事件： 次独立重复试验: 求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复 解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率 （尤其是其中的 （4） 、（5） 两种概率） ： 随机事件的概率，等可能性事件的概率； 互斥事件有一个发生的概率； 相互独立事件同时发生的概率；
7、n次独立重复试验中恰好发生k次的概率； n次独立重复试验中在第k次才首次发生的概率； 对立事件的概率 另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”， “都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k次才发生”等 典例分析 【学而思高中数学讲义】 题型一 事件及样本空间 【例 1】 (2010 安徽) 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑 球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 1 A， 2 A和 3 A，表示由甲罐取出的 球是红球白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的 球是红球的事件则下列结论中
8、正确的是_（写出所有正确结 论的编号） 2 5 P B ； 1 5 | 11 P B A ； 事件B与事件 1 A相互独立； 1 A， 2 A， 3 A两两互斥的事件； P B的值不能确定，因为它与 1 A， 2 A， 3 A中究竟哪一个发生有关 【例 2】 下列事件： 同学甲竞选班长成功； 两队球赛，强队胜利了； 一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同； 若集合A B C， ，满足ABBC，则AC； 古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师 抽“生死签”，画师抽到死签； 从1 3 5 9， ， ，中任选两数相加，其和为偶数； 其中属于随机事件的有（）
9、 A2个B3个C4个D5个 【例 3】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件： 六月天下雪； 同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过12”； 太阳从西边升起； 当100 x时，事件“lg2x”； 数列 n a是单调递增数列时，事件“ 20082009 aa”； 骑车通过10个十字路口，均遇红灯 【例 4】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件： 在标准大气压下且温度低于0 C 时，冰融化； 今天晚上下雨； 没有水分，种子发芽； 技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现； 买彩票中一等奖； 若平面平面m，n，n，则mn 【例 5】 将一颗骰子连续投掷两次，观察落地
10、后的点数 【学而思高中数学讲义】 写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数； “两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件； “两次点数之和为6”这一事件包含了几个基本事件； “两次点数之差为1”这一事件包含了几个基本事件 【例 6】 一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球，观察球 的颜色 写出这个试验的基本事件空间； 求这个试验的基本事件总数； “至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件； 【例 7】 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘得到的数为x，转盘得到的数为y， 结果为()xy， 写出这个试验的基本事件空间； 求这个试验的基本事件总数； “5xy”这一事件包含哪几个基本事件？“ 3x 且1y ”呢？ “4xy ”这一事件包含哪几个基本事件？“x y”呢？ 【例 8】 在天气预报中，如果预报“明天的降水概率为85%”，这是指（） A明天该地区约有85%的地区降水，其它15%的地区不降水 B明天该地区约有85%的时间降水，其它时间不降水 C气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不会降水 D明天该地区降水的可能性为85% 【例 9】 同时掷两枚骰子， 点数之和在2 12点间的事件是事件， 点数之和为12点的 事件是事件， 点数之和小于2或大于12的事件是事件， 点数之差为6 点的事件是事件
