1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一：幂函数的定义 【例 1】下列所给出的函数中，是幂函数的是（） A 3 xyB 3 xyC 3 2xy D1 3 xy 【考点】幂函数的定义【难度】1 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】形如(01) x yaaa且的函数叫做幂函数，答案为 B 【答案】B 【例 2】11函数yx 3 2 的定义域是. 【考点】幂函数的定义【难度】1 星【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】( ,)0 【例 3】如果幂函数( )f xx的图象经过点 2 (2,) 2 ，则(4)f的值等于（）. A. 16B. 2C. 1 16 D. 1 2 【考点】幂函数的定义
2、【难度】1 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】D 【例 4】幂函数( )yf x的图象过点 1 (4, ) 2 ，则(8)f的值为. 【考点】幂函数的定义【难度】1 星【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】 2 4 板块一.幂函数 【学而思高中数学讲义】 【例 5】下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（）. A. 1 2 yxB. 4 yxC. 2 yxD. 1 3 yx 【考点】幂函数的定义【难度】1 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【例 6】下列命题中正确的是（） A当0时函数 xy 的图象是一条直线 B幂函数的图象都经过（0，0）和（
3、1，1）点 C若幂函数 xy 是奇函数，则 xy 是定义域上的增函数 D幂函数的图象不可能出现在第四象限 【考点】幂函数的定义【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】A 错，当0时函数yx的图象是一条直线（去掉点（0，1） ） ；B 错，如幂 函数 1 yx 的图象不过点（0，0） ；C 错，如幂函数 1 yx 在定义域上不是增函 数；D 正确，当 0 x 时， 0 x 【答案】D 【例 7】函数 2 221 (1) mm ymmx 是幂函数，求m的值. 【考点】幂函数的定义【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】幂函数需要保证系数为 1，同时指数为有理数，从此两个条件入手
4、，可以得到 关于 m 的等式和不等式，从而解出 m 的值. 2 221 (1) mm ymmx 是幂函数， 函数可以写成如下形式 a yx(a是有理数) 2 11mm ，解得 12 1,2mm 当 1 1m 时， 2 11 212mmQ 2 2m 时， 2 22 211mmQ m的值域为-1 或 2. 【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验a是有理数. 【答案】-1 或 2 【例 8】求函数 1 30 2 (3)yxxx 的定义域. 【考点】幂函数的定义【难度】2 星【题型】解答 【学而思高中数学讲义】 【关键词】无 【解析】这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个
5、函数都有意 义，即分母不为 0、被开方数大于等于 0. 使函数有意义，则x必须满足 0 0 30 x x x ， 解得：0 x 且3x 即函数的定义域为 |0,3x xx且. 【答案】 |0,3x xx且 【例 9】 函数 1 22 4 (42)(1)ymxxmmmx 的定义域是全体实数，则实数m的取值 范围是（） ( 512) ，( 51)， ( 2 2) ，( 1515) ， 【考点】幂函数的定义【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】要使函数 1 22 4 (42)(1)ymxxmmmx 的定义域是全体实数，可转化为 2 420mxxm对一切实数都成立，即0m 且 2 44 (
6、2)0m m 解得 51m 故选（） 【答案】 【例 10】讨论幂函数 a yx(a 为有理数)的定义域. 【考点】幂函数的定义【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】(1)若 * aN，则xR，这是函数的定义域为R. (2)若a负整数0，则(,0)(0, )x ，这时函数的定义域是 (,0)(0,) (3)若 n a m * ( ,)m nNm n且互质，则： m是偶数，xR，这是函数的定义域是R； m是奇数，xR，这时函数的定义域为R (4)若 n a m * ( ,)m nNm n且互质，则： m是偶数，xR，这是函数的定义域是R； m是奇数，(,0)(0,)x ，这时函数的定
7、义域是(,0)(0,). 【答案】(1)若 * aN，则xR，这是函数的定义域为R. (2)若a负整数0，则(,0)(0,)x ，这时函数的定义域是 【学而思高中数学讲义】 (,0)(0,) (3)若 n a m * ( ,)m nNm n且互质，则： m是偶数，xR，这是函数的定义域是R； m是奇数，xR，这时函数的定义域为R (4)若 n a m * ( ,)m nNm n且互质，则： m是偶数，xR，这是函数的定义域是R； m是奇数，(,0)(0,)x ，这时函数的定义域是(,0)(0,). 【例 11】已知幂函数 6 () m yxmZ 与 2 () m yxmZ 的图象都与x、y轴都
8、没有公 共点，且 2 () m yxmZ 的图象关于 y 轴对称，求m的值 【考点】幂函数的定义【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 幂函数图象与x、y轴都没有公共点， 60 20 m m ，解得26m. 又 2 () m yxmZ 的图象关于 y 轴对称， 2m 为偶数，即得4m . 【答案】4m 【例 12】幂函数 2 7 32 3 5 ( )(1) tt f xttx 是偶函数，且在(0,)上为增函数，求函数 解析式. 【考点】幂函数的定义【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】( )f x是幂函数， 3 11tt ，解得1,10t 或. 当0t 时， 7 5 (
9、 )f xx是奇函数，不合题意； 当1t 时； 2 5 ( )f xx是偶函数，在(0,)上为增函数； 当1t 时； 8 5 ( )f xx是偶函数，在(0,)上为增函数. 所以， 2 5 ( )f xx或 8 5 ( )f xx. 【答案】 2 5 ( )f xx或 8 5 ( )f xx. 【例 13】已知幂函数 2 23 ( )() mm f xxmZ 的图形与x轴对称，y轴无交点，且关于 y轴对称，试确定f x( )的解析式. 【考点】幂函数的定义【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【学而思高中数学讲义】 【解析】由 2 2 230 232 mm mmn nN mZ 得1 13m
10、 ， ， 1m 和3时解析式为 0 f xx，1m 是解析式为 4 f xx 【答案】 4 f xx 题型二：幂函数的性质与应用 【例 14】下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（）. A. 1 y x B. 1 2 yxC. 1 ( ) 3 x y D. 2 215yxx 【考点】幂函数的性质与应用【难度】1 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【例 15】下列函数中既是偶函数又是(, 0)上是增函数的是（） A 4 3 yxB 3 2 yxC 2 yxD 1 4 yx 【考点】幂函数的性质与应用【难度】1 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】A、D 中的函数为偶函数，但
11、 A 中函数在(, 0)为减函数 【答案】C 【例 16】 94 2 aa xy是 偶 函 数 ， 且 在), 0( 是 减 函 数 ， 则 整 数a的 值 是. 【考点】幂函数的性质与应用【难度】1 星【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】5； 【例 17】比较下列各组中两个值大小 （1） 6 11 0.6与 6 11 0.7（2） 55 33 ( 0.88)( 0.89) .与 【考点】幂函数的性质与应用【难度】1 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】（1）函数 6 11 yx在(0,)上是增函数且00.60.7 【学而思高中数学讲义】 66 1111 0.60.7 （2）函数
12、5 3 yx在(0,)上增函数且89. 088. 00 55 33 0.880.89 55 33 0.880.89 ，即 55 33 ( 0.88)( 0.89) . 【答案】 （1） 66 1111 0.60.7（2） 55 33 ( 0.88)( 0.89) . 【例 18】幂函数 ( 1)k n m yx （, ,*,m n kNm n互质）图象在一、二象限，不过原点， 则nmk,的奇偶性为. 【考点】幂函数的性质与应用【难度】2 星【题型】填空 【关键词】无 【解析】 【答案】km,为奇数，n是偶数； 【例 19】求证：函数 3 xy 在 R 上为奇函数且为增函数. 【考点】幂函数的性
13、质与应用【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】显然)()()( 33 xfxxxf，奇函数； 令 21 xx ，则)()()( 2 221 2 121 3 2 3 121 xxxxxxxxxfxf， 其中，显然0 21 xx， 2 221 2 1 xxxx= 2 2 2 21 4 3 ) 2 1 (xxx ，由于 0) 2 1 ( 2 21 xx ，0 4 3 2 2 x， 且不能同时为0，否则0 21 xx，故 0 4 3 ) 2 1 ( 2 2 2 21 xxx . 从而0)()( 21 xfxf.所以该函数为增函数. 【例 20】设 1 2 0.7a ， 1 2 0
14、.8b ，c 3 log 0.7，则（）. A. cbaB. cabC. abcD. ba,a，所以 a aa，从而 () aaa aa.比较 a a与 () a a a的大小，也可以将它们看成底数相同(都是 a)的两个 幂，于是可以利用指数函数,01 xa ybbaa是减函数，由于 1a，得到 a aa. 由于 a aa，函数 x ya(0a1)是减函数，因此 () a aa aa. 综上， a aaaa aaa 【点评】解答本题的关键都在于适当地选取一个函数，函数选得恰当，问题可 以顺利地获得解决. 【答案】 a aaaa aaa 【例 29】已知 11 33 (1)(32 )aa ，求a
15、的取值范围. 【考点】幂函数的性质与应用【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 1 3 ( )f xx 在(,0)、(0,)上是减函数，对于不同的 a+1 和 3-2a 进行讨论， 将它们等价转化到同一个单调区间. 1 3 (1)a 和 1 3 (32 )a 是幂函数 1 3 ( )f xx 的两个函数值， 且 1 3 ( )f xx 在(,0)、(0,)上是减函数 当10,320aa 时，有1320aa ，解得 23 32 a； 当10,320aa 时，有3210aa ，此时无解 当(1)(32 )0aa时，有10a 且320a，解得1a 综上可知a的取值范围为 2 3 (, 1
16、)( , ) 3 2 . 【答案】 2 3 (, 1)( , ) 3 2 . 【例 30】若 11 (1)(32 )mm ，试求实数 m 的取值范围 【考点】幂函数的性质与应用【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】（分类讨论） ： （1） 10 320 132 m m mm ， ， ， 【学而思高中数学讲义】 解得 23 32 dm； （2） 10 320 132 m m mm ， ， ， 此时无解； （3） 10 320 m m ， ， ，解得1m 综上可得 2 3 (1) 3 2 m ， 【答案】 2 3 (1) 3 2 m ， 【例 31】若 33 (1)(32 )mm，试求
17、实数 m 的取值范围 【考点】幂函数的性质与应用【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】（利用单调性） ：由于函数 3 yx在()，上单调递增，所以132mm ， 解得 2 3 m 【答案】 2 3 m 【例 32】若 11 22 (1)(32 )mm，试求实数 m 的取值范围 【考点】幂函数的性质与应用【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】由图 3， 10 320 321 m m mm ， ， ， ，解得 2 1 3 m 【答案】 2 1 3 m 【例 33】若 44 (1)(32 )mm，试求实数 m 的取值范围 【学而思高中数学讲义】 【考点】幂函数的性质与应用【难
18、度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】作出幂函数 4 yx的图象如图 4由图象知此函数在(0)(0)，上不具有 单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键考虑 4时， 4 4 xx于是有 44 (1)(32 )mm，即 44 132mm. 又幂函数 4 yx在(0)，上单调递增， 132mm， 解得 2 3 m ，或 m4 【答案】 2 3 m ，或 m4 【例 34】已知函数 2 ( )f xx，设函数( ) ( )(21) ( )1g xqf f xqf x ，问是否存在 实数(0)q q ，使得( )g x在区间4，是减函数，且在区间( 4 0) ，上是增函 数
19、？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由 【考点】幂函数的性质与应用【难度】3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 2 ( )f xx，则 42 ( )(21)1g xqxqx 假设存在实数(0)q q ，使得( )g x满足题设条件， 设 12 xx，则 4242 121122 ()()(21)(21)g xg xqxqxqxqx 22 122112 ()() ()(21)xxxxq xxq 若 12 4xx ，易知 12 0 xx， 21 0 xx，要使( )g x在4，上是减 函数，则应有 22 12 ()(21)0q xxq恒成立 1 4x ， 2 4x， 22 12 32xx而0
20、q ， 22 12 ()32q xxq. 从而要使 22 12 ()21q xxq恒成立，则有2132qq，即 1 30 q 【学而思高中数学讲义】 若 12 ( 4 0)xx ，易知 1221 ()()0 xxxx，要使( )f x在( 4 0) ，上是增函数，则 应有 22 12 ()(21)0q xxq恒成立 1 40 x ， 2 40 x ， 22 12 32xx，而0q ， 22 12 ()32q xxq 要使 22 12 ()21q xxq恒成立，则必有2132qq，即 1 30 q 综上可知，存在实数 1 30 q ，使得( )g x在4 ，上是减函数，且在( 4 0) ，上 是
21、增函数 【答案】存在， 1 30 q 【例 35】由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨 x 成（即上涨率为 10 x ） ， 涨价后， 商品卖出个数减少 bx 成， 税率是新定价的 a 成， 这里 a,b 均为正常数， 且 a10，设售货款扣除税款后，剩余 y 元，要使 y 最大，求 x 的值. 【考点】幂函数的性质与应用【难度】3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】设原定价 A 元，卖出 B 个，则现在定价为 A(1 10 x )， 现在卖出个数为1 10 bx B ，现在售货金额为 1111 10101010 xbxxbx ABAB ， 应交税款为11 101010 xbxa
22、AB ， 剩余款为 2 1 11111 1010101010010 xbxaabb yABABxx ， 所以 5(1)b x b 时y最大要使y最大，x的值为 5(1)b x b . 【答案】 5(1)b x b 题型三：幂函数的图像 【学而思高中数学讲义】 【例 36】函数 3 xy 和 3 1 xy 图象满足（） A关于原点对称B关于x轴对称 C关于y轴对称D关于直线xy 对称 【考点】幂函数的图像【难度】1 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】D 【例 37】函数 4 3 yx的图象是（） 【考点】幂函数的图像【难度】1 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】A 【
23、例 38】幂函数 m yx与 n yx在第一象限内的图象如图所示，则（）. A101nm B1,01nm C10,1nm D1,1nm 【考点】幂函数的图像【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x 的右侧，图 象由下至上，依次是 n yx， 1 yx， 0 yx， m yx， 1 yx，所以有 101nm . 选 B. 点评：观察第一象限内直线 1x 的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两 个隐含的图象 1 yx 与 0 yx . 【答案】B. 【例 39】【答案】如图 19 所示，幂函数 xy 在第一象限的图象，比较 1
24、 , 0 4321 的大小（） 【学而思高中数学讲义】 A10 2431 B10 4321 C 1342 10 D 1423 10 【考点】幂函数的图像【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】D 【例 40】下图为幂函数yx在第一象限的图象，则 1234 ,按由小到大的顺 序排列为。 【考点】幂函数的图像【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】 3241 【例 41】如图的曲线是幂函数 n yx在第一象限内的图象. 已知n分别取2， 1 2 四 个值，与曲线 1 c、 2 c、 3 c、 4 c相应的n依次为（）. 8 6 4 2 -2 -5510 c4
25、 c3 c2 c1 A 11 2, 2 22 B. 11 2, 2, 22 C. 11 , 2,2, 22 D. 1 1 2,2 2 2 【考点】幂函数的图像【难度】2 星【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】A 1 3 4 2 【学而思高中数学讲义】 【例 42】下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系. （1） 3 2 yx； （2） 1 3 yx； （3） 2 3 yx； （4） 2 yx； （5） 3 yx； （6） 1 2 yx 【考点】幂函数的图像【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】（1） 3 2 yx定义域为0,)，非奇非偶函数，在0,)
26、上为增函数，对应图 （A） ； （2） 1 3 yx定义域为R，奇函数，在R上为增函数，对应图（F） ； （3） 2 3 yx定义域为R，偶函数，在0,)上为增函数，对应图（E） ； （4） 2 yx定义域为 |0 x xRx且，偶函数，在0,)上为减函数，对应 图（C） ； （5） 3 yx定义域为 |0 x xRx且，奇函数，在0,)上为减函数，对应 图（D） ； （6） 1 2 yx 定义域为(0,)，非奇非偶函数，在(0,)上为减函数，对应 图（B） 【答案】（1）（A） ， （2）（F） ， （3）（E） ， （4）（C） ， （5）（D） ， （6）（B） 【例 43】利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤） （1） 5 3 (2)1yx ； （2） 2 2 22 21 xx y xx 【考点】幂函数的图像【难度】3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【学而思高中数学讲义】 【答案】 （1）函数 5 3 (2)1yx 的图象可以由 5 3 yx 的图象向右平移 2 个单位，再向下 平移 1 个单位而得到 （2）1 ) 1( 1 1 12 1 12 22 222 2 xxxxx xx y，把函数 2 1 , x y 的图象 向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，可以得到函数 12 22 2 2 xx xx y的图 象
