1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1函数的平均变化率： 一般地，已知函数( )yf x， 0 x， 1 x是其定义域内不同的两点，记 10 xxx ， 10 yyy 10 ()()f xf x 00 ()()f xxf x ， 则当0 x 时，商 00 ()()f xxf xy xx 称作函数( )yf x在区间 00 ,xxx （或 00 ,xx x ）的 平均变化率 注：这里x，y可为正值，也可为负值但0 x ，y可以为0 2函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数( )yf x在 0 x附近有定义，当自变量在 0 xx附近改变量为x时，函数值相应的改变 00 ()()yf xxf x 如果
2、当x趋近于0时，平均变化率 00 ()()f xxf xy xx 趋近于一个常数l（也就是说平均变化率 与某个常数l的差的绝对值越来越小， 可以小于任意小的正数） ， 那么常数l称为函数( )f x在点 0 x的 瞬时变化率 “当x趋近于零时， 00 ()()f xxf x x 趋近于常数l”可以用符号“”记作： “当0 x 时， 00 ()()f xxf x l x ”， 或记作“ 00 0 ()() lim x f xxf x l x ”， 符号“”读作“趋近于” 函数在 0 x的瞬时变化率，通常称为( )f x在 0 xx处的导数，并记作 0 ()fx 这时又称( )f x在 0 xx处
3、是可导的于是上述变化过程，可以记作 “当0 x 时， 00 0 ()() () f xxf x fx x ”或“ 00 0 0 ()() lim() x f xxf x fx x ” 3可导与导函数： 如果( )f x在开区间( ,)a b内每一点都是可导的， 则称( )f x在区间( ,)a b可导 这样， 对开区间( ,)a b 内每个值x，都对应一个确定的导数( )fx于是，在区间( ,)a b内，( )fx构成一个新的函数，我 们把这个函数称为函数( )yf x的导函数记为( )fx或 y （或 x y） 导函数通常简称为导数如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数 4
4、导数的几何意义： 设函数( )yf x的图象如图所示AB为过点 00 (,()A xf x与 00 (,()B xxf xx 的 一 条 割 线 由 此 割 线 的 斜 率 是 00 ()()f xxf xy xx ， 可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化 板块一.导数的概念 与几何意义 【学而思高中数学讲义】 率当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD 叫做此曲线过点A的切线，即 00 0 ()() lim x f xxf x x 切线AD的斜率 由导数意义可知，曲线( )yf x过点 00 (,()xf x的切线的斜率等于 0 ()fx 典例分析
5、题型一：极限与导数 【例 1】正三棱锥相邻两侧面所成的角为，则的取值范围是（） A(0180 )，B(060 )，C(6090 )，D(60180 )， 【例 2】在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（） A 2 n n ，B 1 n n ，C 0 2 ，D 21 nn nn ， 【例 3】对于任意 0 2 ，都有（） Asin(sin )coscos(cos )Bsin(sin )coscos(cos ) Csin(cos )coscos(sin ) Dsin(sin )coscos(sin ) 【例 4】若 0 ( ) lim1 x f x x ，则 0 (2 ) lim x
6、fx x _ 【例 5】若 1 (1) lim1 1 x f x x ，则 1 (22 ) lim 1 x fx x _ 【例 6】设( )f x在 0 x可导，则 00 0 3 lim x f xxf xx x 等于（） A 0 2 fxB 0 fxC 0 3fxD 0 4 fx 【例 7】若 00 0 (2)() lim1 3 x f xxf x x ，则 0 ()fx等于（） A 2 3 B 3 2 C3D2 【例 8】设( )f x在x处可导，a b，为非零常数，则 0 ()() lim x f xa xf xb x x （） A( )fxB()( )ab fx C()( )ab fx
7、D( )fx 【例 9】设(3)4 f ，则 0 (3)(3) lim 2 h fhf h （） A1B2C3D1 【例 10】若( )2fa，则当h无限趋近于0时， ()( ) 2 f ahf a h _ 【学而思高中数学讲义】 【例 11】已知函数 2 ( )8f xxx，则 0 (12)(1) lim x fxf x 的值为 【例 12】已知 1 ( )f x x ，则 0 (2)(2) lim x fxf x 的值是（） A 1 4 B2C 1 4 D2 【例 13】若 2 (1)(1)2f xfxx，则(1) f _ 【例 14】已知函数( )f x在 0 xx处可导，则 22 00
8、 0 () () lim x f xxf x x （） A 0 ()fxB 0 ()f xC 2 0 ()fxD 00 2() ()fxf x 【例 15】计算 32 lim 43 n n n _ 【例 16】 2 2 2 lim 23 n nn n _ 【例 17】将直线 2: 0lnxyn、 3: 0lxnyn（ * nN，2n）x轴、y轴围成的封闭图形的面积 记为 n S，则lim n n S 【例 18】 2 111 lim 1 333n n （） A 5 3 B 3 2 C2D不存在 【例 19】如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接 正六边
9、形，如此无限继续下去设 n S为前n个圆的面积之和，则lim n n S （） ? r ? O A 2 2rB 2 8 3 rC 2 4rD 2 6r 【例 20】 22 1 12 lim 3243 x xxxx _ 【例 21】若 1 lim1 () n nnan ，则常数a _ 【例 22】 ()cos lim x xx x _ 【学而思高中数学讲义】 【例 23】 2 123 lim n n n _ 【例 24】 0 12 lim (2) x xx x _ 【例 25】 2 1 1 lim 34 x x xx _ 【例 26】 2 2 41 lim 42 x xx （） A1B 1 4
10、C 1 4 D1 【例 27】 1 lim 1 x x xx x 【例 28】设函数 12 ( )sinsin2sin n f xaxaxanx，其中 12n aaan RN， ， ，已知对一切 xR，有( )sinf xx和 0 sin lim1 x x x ，求证： 12 21 n aana 【例 29】如图，函数( )f x的图象是折线段ABC，其中A B C， ，的坐标分别为(0 4) (2 0) (6 4)， ， ， ， ，则 ( (0)f f；函数( )f x在1x 处的导数(1) f 【例 30】如图， 函数( )f x的图象是折线段ABC， 其中ABC， ，的坐标分别为04，2
11、0，64， 则( (0)f f； 0 (1)(1) lim x fxf x （用数字作答） 【例 31】下列哪个图象表示的函数在1x 点处是可导的（） 【学而思高中数学讲义】 【例 32】函数 2 ( )21f xx在闭区间1 1 x ，内的平均变化率为（） A12 x B2x C32 x D42 x 【例 33】求函数 2 1yx在 0 x到 0 xx 之间的平均变化率 【例 34】若函数 2 ( )f x x ，则当1x 时，函数的瞬时变化率为（） A1B1C2D2 【例 35】求函数 2 ( )f xxx 在1x 附近的平均变化率，在1x 处的瞬时变化率与导数 【例 36】求函数 3 (
12、 )2f xxx在1x 附近的平均变化率，在1x 处的瞬时变化率与导数 【例 37】已知某物体的运动方程是 3 1 9 9 stt，则当3t s 时的瞬时速度是_ 【例 38】已知某物体的运动方程是 2 2 23 2 t st t ，则3t 时的瞬时速度是_ 【例 39】已知物体的运动方程是 2 3 st t ，则物体在时刻4t 时的速度v _，加速度a 【例 40】物体运动方程为 4 1 3 4 st，则2t 时瞬时速度为（） A2B4C6D8 【例 41】一质点做直线运动，由始点起经过ts 后的距离为 432 1 416 4 sttt， 则速度为零的时刻是（） A4s 末B8s 末C0s
13、与 8s 末D0s，4s，8s 末 【例 42】如果某物体做运动方程为 2 2(1)st的直线运动 （s的单位为 m，t的单位为 s） ， 那么其在1.2s 末的瞬时速度为（） A0.88m/sB0.88m/sC4.8m/sD4.8m/s 【例 43】求yx在 0 xx处的导数 题型二：导数的几何意义 【例 44】已知曲线 1 yx x 上一点 5 2 2 A ，用斜率定义求： 【学而思高中数学讲义】 过点A的切线的斜率； 过点A的切线方程 【例 45】已知曲线 1 yx x 上一点(1 2)A ，用斜率定义求： 过点 A 的切线的斜率；过点 A 的切线方程 【例 46】函数( )f x的图象
14、如图所示，下列数值排序正确的是（） A0(2)(3)(3)(2)ffffB0(3)(3)(2)(2)ffff C0(3)(2)(3)(2)ffffD0(3)(2)(2)(3)ffff 【例 47】求函数( ) a f xax x (0)a 的图象上过点A 2 (1)a a ，的切线方程 【例 48】曲线 32 1yxx在点( 11)P ，处的切线方程是（） A1yxB2yxCyxD1yx 【例 49】求曲线 1 y x 在点(1 1)，的切线 1 l方程，与过点( 2 0) ，的切线 2 l的方程 【例 50】函数 1 y x 在点 1 2 2 ，处的切线方程为（） A4yxB44yxC4(1
15、)yxD24yx 【例 51】已知曲线 2 1 4 yx的一条切线的斜率为 1 2 ，则切点的横坐标为_ 【例 52】曲线 3 24yxx在点(1 3)，处的切线的倾斜角为（） A30B45C60D120 【例 53】过点(1 1)，作曲线 3 yx的切线，则切线方程为_ 【例 54】曲线 2 x y x 在点(11)，处的切线方程为_ 【例 55】若曲线 2 1yx与 3 1yx 在 0 xx处的切线互相垂直，则 0 x等于（） A 3 36 6 B 3 36 6 C 2 3 D 2 3 或0 【学而思高中数学讲义】 【例 56】设曲线 1 1 x y x 在点(3 2)，处的切线与直线10
16、axy 垂直，则a （） A2B 1 2 C 1 2 D2 【例 57】设曲线 2 yax在点(1)a，处的切线与直线260 xy平行，则a （） A1B 1 2 C 1 2 D1 【例 58】若曲线 4 yx的一条切线l与直线48yx平行，则l的方程为_ 【例 59】若曲线 4 yx的一条切线l与直线480 xy垂直，则l的方程为（） A430 xyB450 xyC430 xyD430 xy 【例 60】设P为曲线C： 2 1yxx上一点， 曲线C在点P处的切线的斜率的范围是1 3， 则点P纵 坐标的取值范围是_ 【例 61】设P为曲线C： 2 23yxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的
17、取值范围为0 4 ， 则点P横坐标的取值范围为（） A 1 1 2 ，B1 0 ，C0 1，D 1 1 2 ， 【例 62】曲线 21 x y x 在点1 1，处的切线方程为（） A20 xyB20 xyC450 xyD450 xy 【例 63】设函数 2 ( )( )f xg xx， 曲线( )yg x在点(1(1)g，处的切线方程为21yx， 则曲线( )yf x 在点(1(1)f，处切线的斜率为（） A4B 1 4 C2D 1 2 【例 64】设 f x是偶函数若曲线 yf x在点 11f，处的切线的斜率为1，则该曲线在点 11f，处的切线的斜率为 【例 65】函数sinyx的图象上一点
18、 3 32 ，处的切线的斜率为（） A1B 3 2 C 2 2 D 1 2 【例 66】曲线ln(21)yx上的点到直线230 xy的最短距离是（） A5B2 5 C3 5D0 【例 67】在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线 3 :103C yxx上，且在第二象限内，已知曲线C在 【学而思高中数学讲义】 点P处的切线的斜率为 2，则点P的坐标为 【例 68】抛物线 2 yxbxc在点(1,2)处的切线与其平行线0bxyc间的距离为_ 【例 69】若0y 是曲线 3 yxbxc的一条切线，则 32 ( )( ) 32 bc （） A1B0C1D2 【例 70】函数 2( 0)yxx的图像在点
19、2 kk aa，处的切线与x轴交点的横坐标为 1k a ，其中 * k N，若 1 16a ，则 135 aaa的值是 【例 71】已知点P在曲线 4 e1 x y 上，为曲线在点P处的切线的倾斜角， 则的取值范围是 （） A 0 4 ，B 42 ，C 3 24 ，D 3 4 ， 【例 72】曲线 2 x y x 在点( 11)，处的切线方程为（） A21yxB21yx C23yx D2 2yx 【例 73】若曲线 1 2 yx 在点 1 2 aa ，处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18， 则a （） A64B32C16D8 【例 74】函数( )lnf xx的图象在点e ,(e)f处
20、的切线方程是 【例 75】设曲线 1*n yxn N在点(1 1)，处的切线与x轴的交点的横坐标为 n x，则 12n xxx等于 （） A 1 n B 1 1n C 1 n n D1 【例 76】直线1ykx与曲线lnyx相切，则k （） A0B1C1D1 【例 77】已知直线1yx与曲线lnyxa相切，则a的值为（） A1B2C1D2 【例 78】在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C： 3 103yxx上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_ 【例 79】若存在过点(1 0)，的直线与曲线 3 yx和 2 15 9 4 yaxx都相切，则a等于（） A1
21、或 25 64 B1或 21 4 C 7 4 或 25 64 D 7 4 或7 【学而思高中数学讲义】 【例 80】已知函数 2 1 ( )( ) 5 g xf xx的图象在P点处的切线方程为8yx ， 又P点的横坐标为5， 则 (5)(5)f f _ 【例 81】设曲线 1cos sin x y x 在点 1 2 ，处的切线与直线10 xay 平行，则实数a等于（） A1B1C 2D2 【例 82】已知函数( )logaf xx和( )2log (22)(01) a g xxtaat R，的图象在2x 处的切线互相 平行，则t _ 【例 83】曲线 32 242yxxx在点(13)，处的切线
22、方程是_ 曲线 32 242yxxx过点(13)，的切线方程是_ 【例 84】已知曲线 3 14 33 yx，则过点(2 4)P，的切线方程是_ 【例 85】已知曲线s： 3 3yxx及点(22)P，则过点P可向s引切线的条数为_ 【例 86】曲线 1 y x 和 2 yx在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是_ 【例 87】曲线 1 2 e x y 在点 2 (4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） A 2 9 e 2 B 2 4eC 2 2eD 2 e 【例 88】曲线 3 yx在点 3 ()(0)a aa ，处的切线与x轴、直线xa所围成的三角形的面积为 1 6
23、，则 a 【例 89】曲线 3 1 3 yxx在点 4 1 3 ，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（） A 1 9 B 2 9 C 1 3 D 2 3 【例 90】求曲线 2 21yx的斜率等于4的切线方程 【例 91】若曲线 3 ( )lnf xaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_ 【例 92】曲线cosyx在点 2 42 P ，处的切线方程是 【例 93】函数cos2yx在点 0 4 ，处的切线方程是（） A420 xyB420 xyC420 xyD420 xy 【学而思高中数学讲义】 【例 94】已知函数( )f x在R上满足 2 2288f xfxxx， 则曲线 yf x
24、在点 11f，处的切 线方程是（） A21yxByx C32yxD23yx 【例 95】已知曲线C： 432 3294yxxx，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程 【例 96】已知抛物线 2 yaxbxc通过点(1 1)P，且在点(21)Q，处与直线3yx相切，求实数a、 b、c的值 【例 97】曲线(1)(2)yx xx有两条平行于直线yx的切线，求此二切线之间的距离 【例 98】已知曲线 32 ( )21f xxx，求经过点(2 1)P，且与曲线( )f x相切的直线l的方程 【例 99】已知曲线 3 2yxx在点 0 P处的切线 1 l平行直线410 xy ，且点 0 P在第三象限， 求
25、 0 P的坐标；若直线 1 ll，且l也过切点 0 P，求直线l的方程 【例 100】已知函数 32 ( )(1)(2)f xxa xa axb()a bR， 若函数( )f x的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值 【例 101】已知函数 xx eaexf )(（aR）的导函数是)(x f ，且)(x f 是奇函数，若曲线 )(xfy 的一条切线的斜率是 2 3 ，则切点的横坐标为（） Aln2B2lnC 2 2ln D 2 2ln 【例 102】已知函数 32 ( )cf xxbxxd的图象过点(0 2)P，且在点( 1( 1)Mf，处的切线方程 为670 xy求函数( )y
26、f x的解析式 【例 103】已知直线 1 l为曲线 2 2yxx在点(1 0)，处的切线，2l为该曲线的另一条切线， 且 12 ll， 求直线 2 l的方程； 求由直线 1 l、 2 l和x轴所围成的三角形的面积 【例 104】设函数( ) b f xax x ，曲线( )yf x在点(2(2)f，处的切线方程为74120 xy 求( )yf x的解析式； 证明：曲线( )yf x上任一点处的切线与直线0 x 和直线yx所围成的三角形面积为定 值，并求此定值 【例 105】设函数 1 ( )()f xaxa b xb Z，曲线( )yf x在点(2(2)f，处的切线方程为3y 求( )yf
27、x的解析式； 证明：曲线( )yf x的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； 证明：曲线( )yf x上任一点的切线与直线1x 和直线yx所围三角形的面积为定值，并 求出此定值 【学而思高中数学讲义】 【例 106】已知抛物线 1 C： 2 2yxx和 2 C： 2 yxa ，如果直线l同时是 1 C和 2 C的切线，称l是 1 C和 2 C的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段 则a取什么值时， 1 C和 2 C有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程 若 1 C和 2 C有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分 【例 107】设0t ，点(0)P t，是函数 3 ( )f
28、 xxax与 2 ( )g xbxc的图象的一个公共点，两函数的 图象在点P处有相同的切线试用t表示a b c， ， 【例 108】已知曲线 1 C： 2 yx与 2 C： 2 (2)yx ，直线l与 12 CC，都相切，求直线l的方程 【例 109】已知函数 3 ( )f xxx 求曲线( )yf x在点( )M tf t，处的切线方程； 求曲线( )yf x过点( 26)P ，的切线的方程 设0a ，如果过点()a b，可作曲线( )yf x的三条切线，证明：( )abf a 求过任一点()N a b，能作的曲线 3 ( )f xxx的切线的条数 【例 110】如图， 在平面直角坐标系xO
29、y中， 过y轴正方向上一点(0)Cc，任作一直线， 与抛物线 2 yx相 交于A B，两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线: l yc 交于点P Q， 若2OA OB ，求c的值； 若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线； 试问的逆命题是否成立？请说明理由 【例 111】证明如下命题： 命题：设(0)Cc，是y轴正半轴上的一动点，过C的动直线与抛物线 2 2(0)xpy p交于A B， 两点，则过A B，的抛物线的两切线的交点的轨迹方程为yc ，且轨迹上任一点的横 坐标一定是该点对应的切点弦AB中点的横坐标 【例 112】设Q为直线(0)yc c 上任意一点，过Q作抛物线 2 2xpy(0)p 的两条切线，切点分别为 A B， 求证：直线AB必过定点(0)Cc，且线段AB的中点的横坐标一定对应于Q点的横坐标 【例 113】已知函数 2lnf xxx 写出函数 f x的定义域，并求其单调区间； 【学而思高中数学讲义】 已知曲线 yf x在点 00 xf x，处的切线是2ykx，求k的值 【例 114】求曲线 1 2 y x 上的点到直线10 xy 的距离的最小值
