1、 5.2.1 5.2.1 三角函数的概三角函数的概 念念 第五章第五章 三角函数三角函数 复习 1.1弧度的角： 等于半径长的圆弧所对的圆心角 2.角度制与弧度制的换算弧度 180 30.57 180 1）（弧度 3.关于扇形的公式 . 2 1 )3( ; 2 1 )2( ;1 2 lRSRSRl）（ 4、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ sin cos tan c b c a a b O b aM P c 探究1：当 时，点P的坐标是什么？当 时， 点P的坐标又是什么？它们唯一确定吗？ 6 3 2 2 或 当当 时，点时，点P P的坐标为的坐标为 6
2、 ），（ 2 1 2 3 当当 时，点时，点P P的坐标为的坐标为 当当 时，点时，点P P的坐标为的坐标为 2 3 2 ）（ 1 , 0 ），（ 2 3 2 1 探究2 ：一般地，任意给定一个角 ，它的终边OP与单位圆交点P的坐标 能唯一确定吗？ 点P的横、纵坐标都能唯一确定。 任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设 是一个任意角， ， 它的终边与单位圆交于点 ),(yxP 那么:（1） 叫做 的正弦函数正弦函数，记作 ，即 ； y sin siny （2） 叫做 的余弦函数余弦函数，记作 ，即 ； cosxcosx （3） 叫做 的正切正切， 记作 ，即 x y tan tan x
3、y )0(x R )0(tanx x y 正弦函数，余弦函数，正切函数都是以正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点的上点的 坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为为函数值的函数，我们将他们称为三角函数三角函数. 是是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值 为函数值的函数，称为正切函数为函数值的函数，称为正切函数（tangent function) 通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 Rxxy,sin Rxxy,cos )( 2 ,tanZkkxxy x y o
4、 ),(yx 的终边 说说 明明 （1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点 横坐标的比值横坐标的比值. . 的横坐标，的横坐标， 正切就是正切就是 交点的纵坐标与交点的纵坐标与 . . （2） 正弦函数、余弦函数总有意义正弦函数、余弦函数总有意义.当当 的终边在的终边在 横坐标等于横坐标等于0， x y tan 无意义，此时无意义，此时 )( 2 zkk 轴上时，点轴上时，点P 的的 （3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
5、 探究：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比 值为函数值的函数，设 ，把按锐角三角函数定义求得的锐角 的 正弦记为 ，并把按本节三角函数定义求得的 的正弦记为 。 与 相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？ ) 2 , 0( xx 1 z 1 yx 1 z 1 y 都相等都相等 例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值. 3 5 3 5 AOB解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作 AOB ，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 ) 2 3 , 2 1 ( 所以所以 2 3 3 5 sin 2 1 3 5 cos 3 3
6、 5 tan 思考：若把角思考：若把角 改为改为 呢呢? 3 5 6 7 , 2 1 6 7 sin , 2 3 6 7 cos 3 3 6 7 tan x y o A B 3 5 例2.如图，设 是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的 坐标为（x,y），点P与原点的距离为r。求证： .tan,cos,sin x y r x r y 证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 ， 分别过点 作 轴的垂线 ，垂足分别 为 ，则 ),( 000 yxP 0 ,PPx 00 ,MPPM 0 ,MM 00 00000 POMOMP |,| |,| |,| |,| xOMxOMyPMyMP
7、于是， , | 1 | 00 r PMMP 即 r y y | | 0 因为 与 同号，所以 0 y y r y y 0 即 r y sin 同理可得 r y cos x y tan 只要知道角 终边上任意一点P的坐标，就可以求得角 的各个三角函数 值，并且这些函数值不会随点P位置的改变而改变。 1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制）（弧度制）探探 究究 三角函数三角函数定义域定义域 )( 2 Zkk sin cos tan R 2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号 y x o sin y x o cos y x o t
8、an +（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） （ ） （ ）（ ）（ ） （ ）（ ） R + - + - - + + - + - 例例3 求证：角求证：角 为第三象限角的充要条件是为第三象限角的充要条件是. 0tan 0sin 证明：先证充分性证明：先证充分性 因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上； 0sin 又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于第的终边可能位于第 一或第三象限一或第三象限. 0tan 因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能
9、位于第三象限的终边只能位于第三象限. 于是角于是角 为第三象限角为第三象限角. 必要性请同学们自己证明必要性请同学们自己证明. 如果两个角的终边相同，那么这两个角的如果两个角的终边相同，那么这两个角的 同一三角函数值有何关系？同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一） tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( k k k 其中其中 zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求求 角的三角函数值角的三角函数值 .360020到或到 ？ 例例4 确定下列三
10、角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3） （4） 解：解： 250cos )672tan( 4 sin （1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ； 250 0250cos （3）因为）因为 = ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ； )672tan(48tan)360248tan( 0)672tan( 48 （2）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 . 4 0 4 sin 3tan （4）因为）因为 = ， 而而 的终边在的终边在 轴上，所以轴上，所以 ； 3tantan)2tan( 0tanx 例例5 求下列三角函数值：求下
11、列三角函数值： （1） （2） （3） 4 9 cos ) 6 11 tan( 解：（解：（1） );001. 0(011480sin精确到 645. 00140sin)36040140(sin011480sin 2 2 4 cos)2 4 cos( 4 9 cos （2） 3 3 6 tan 6 tan)2 6 tan() 6 11 tan( （3） 达标检测 1. 内容总结：内容总结： 三角函数的概念三角函数的概念. 三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. 诱导公式一诱导公式一. 运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 化归的思想，数形结合的思想化归的思想，数形结合的思想. 归纳 总结 2 .方法总结：方法总结： 3 .体现的数学思想：体现的数学思想：
