1、 4.2.1指数函数的概念 讲课人：邢启强 2 传说古印度的宰相西萨发明了国际象棋， 国王很喜欢这个游戏，决定奖赏他，表示可以满足 他任何一个要求。宰相微笑着说出了他的要求：在 他的棋盘上摆满麦粒，第1格放1粒，第2格放2粒， 第3格放4粒每一小格的麦粒数量都是前一格 的2倍，直至所有格子都摆满。国王马上派人搬来 麦粒开始摆放，但很快他发现这个要求根本不可能 满足，因为所有麦粒的总和是个天文数字。 到底需要多少粒小麦呢？这是一个20位数， 一个天文数字。这个数字的小麦折算成重量， 约为2587亿吨。即使现在，全世界小麦年 产量也达不到这个数字。有人说，用80立方 米的仓库存放这些小麦，把这些仓
2、库连接起 来，可以从地球一直延伸到太阳。 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 3 新课引入新课引入 随看中国经济高 速增长,人民生活 水平不断提高， 旅游成了越来越 多家庭的重要生 活方式,由于旅游 人数不断增加， A,B两地景区自 2001年起采取了 不同的应对措施， A地提高了景区门 票价格,而B地则 取消了景区门票. 右表给出了A，B 两地景区2001年 至2015年的游客 人次以及逐年增 加量。 比较两地景区游客人次的变化情况， 你发现了怎样的变化规律？ 讲课人：邢启强 4 新课引入新课引入 为了有利于观察规律，根据表格，分别画出A，B 两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象 观察
3、图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近 似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为 10万次)；B地景区的游客人次则是非线性增长，年 增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出 变化规律. 讲课人：邢启强 5 新课引入新课引入 结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为 1.11-1=0.11，是一个常数。 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，B地景区 的游客人次近似于指数增长. 显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律以近似描述为： 从2002年起，将B地景区每年的游客人次 除以上一年的游客人次，可以得到 2002309 1.11 2001278
4、年游客人次 年游客人次 2003344 1.11 2002309 年游客人次 年游客人次 20151244 1.11 20141118 年游客人次 年游客人次 1年后，游客人次是2001年的1.111倍； 2年后，游客人次是2001年的1.112倍； 3年后，游客人次是2001年的1.113倍； .x年后，游客人次是2001年的1.11x倍。 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍， 那么y=1.11x(x0,+)这是一个函数，其中指数x是自变量。 讲课人：邢启强 6 细胞分裂过程细胞分裂过程细胞个数细胞个数 第一次第一次 第二次第二次 第三次第三次 2=21 8=23 4=22 第第x
5、次次 x 2 细胞个数细胞个数y关于分裂次数关于分裂次数x的表达为的表达为 表达式 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 7 比较下列指数的异同， 、 11 0122 32 2 ,2 ,2 ,2 ,2,2 ; 、 11 0122 32 111111 ,; 222222 2 x y 1 2 x y 能不能把它们看成函数值？ 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 8 认真观察并回答下列问题： (1)、一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层， 对折3次得8层，问若对折 x 次所得层数为，则y与x 的函数关系是： 2 ,() x yxN (2)、一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 米，再从 中间剪一次剩下 米，
6、若这条绳子剪x次剩下y米，则y与x 的函数关系是： 1 2 1 4 1 ,() 2 x yxN 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 9 前面我们从两列指数和三个实例抽象得到两个函数： 1 2 2 x x yy 与 函数有 何特点? 函数函数y = ax(a 0，且且a 1)叫做指数函数，叫做指数函数， 其中其中x是自变量是自变量 .函数的定义域是函数的定义域是R . 思考思考: :为何规定为何规定a 0 0，且，且a 1?1? 01 a 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 10 当当a 0时，时，ax有些会没有意义，如有些会没有意义，如(-2) , 0 等都没有意义；等都没有意义； 2 1 2 1
7、 01 a 而当而当a=1时，函数值时，函数值y恒等于恒等于1，没有研究的必要，没有研究的必要. 思考思考: :为何规定为何规定a 0 0，且，且a 1?1? 关于指数函数的定义域： 回顾上一节的内容，我们发现指数 中p可以是有理数也可 以是无理数，所以指数函数的定义域是R。 p a 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 11 学习新知学习新知 函数函数y = ax(a 0，且且a 1)叫做指数函数，叫做指数函数， 其中其中x是自变量是自变量 .函数的定义域是函数的定义域是R . (1)定义域必须是实数集定义域必须是实数集R； (2)自变量是自变量是x，x位于指数位置上，且指数位于指数位置上，且指
8、数 位置上只有位置上只有x这一项；这一项； (3)指数式只有一项，并且指数式的系数为指数式只有一项，并且指数式的系数为1， 例如例如y5ax(a0且且a1)不是指数函数；不是指数函数； (4)底数底数a的范围必须是的范围必须是a0且且a1. 讲课人：邢启强 12 例例1:下列函数中指数函数的个数是：下列函数中指数函数的个数是： 1 3 2 (1)3 (2)3 (3) (4)( 3) (5) (6)5 xx x xx yy yxy yxy 答案：答案：1个个 典型例题典型例题 判断一个函数是指数函数的方法判断一个函数是指数函数的方法 (1)需判断其解析式是否符合需判断其解析式是否符合yax(a0
9、，且，且a1)这一结构这一结构 特征特征 (2)看是否具备指数函数解析式所具有的所有特征只要看是否具备指数函数解析式所具有的所有特征只要 有一个特征不具备，则该函数不是指数函数有一个特征不具备，则该函数不是指数函数 讲课人：邢启强 13 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 14 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 15 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定求指数函数的解析式时，一般采用待定 系数法，即先设出函数的解析式，然后利系数法，即先设出函数的解析式，然后利 用已知条件，求出解析式中的参数，从而用已知条件，求出解析式中的参数，从而 得到函数的解析式，其中掌握指数函数的得到函数的解析式，其中
10、掌握指数函数的 概念是解决这类问题的关键概念是解决这类问题的关键 (2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数求指数函数的函数值的关键是掌握指数 函数的解析式函数的解析式 方法总结方法总结 讲课人：邢启强 16 巩固练习巩固练习 C 2 讲课人：邢启强 17 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 18 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 19 方法总结方法总结 讲课人：邢启强 20 巩固练习巩固练习 A A 讲课人：邢启强 21 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 22 函数函数y = ax(a 0，且，且a 1)叫做指数函数，其叫做指数函数，其 中中x是自变量是自变量 .函数的定义域是函数的定义域是R . 课堂小结课堂小结 (1)定义域必须是实数集定义域必须是实数集R； (2)自变量是自变量是x，x位于指数位置上，且指数位于指数位置上，且指数 位置上只有位置上只有x这一项；这一项； (3)指数式只有一项，并且指数式的系数为指数式只有一项，并且指数式的系数为1， 例如例如y5ax(a0且且a1)不是指数函数；不是指数函数； (4)底数底数a的范围必须是的范围必须是a0且且a1.
