1、第第 6 讲讲空间向量及其运算空间向量及其运算 一、选择题 1.(2017黄冈模拟)已知向量 a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且 ab， 则实数 m 的值等于() A.3 2 B.2C.0D.3 2或2 解析ab，2m1 2 3 m m1 m ，解得 m2. 答案B 2.(2017海南模拟)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 AA1和 BB1 的中点，则 sinCM ， D1N 的值为() A.1 9 B.4 5 9 C.2 5 9 D.2 3 解析如图，设正方体棱长为 2，则易得CM (2，2，1)， D1N (2，2，1)，cosCM ， D1N CM D1N
2、 |CM |D1N | 1 9， sinCM ， D1N 1 1 9 2 4 5 9 . 答案B 3.空间四边形 ABCD 的各边和对角线均相等，E 是 BC 的中点，那么() A.AE BCAECD B.AE BCAECD C.AE BCAECD D.AE BC与AECD 的大小不能比较 解析取 BD 的中点 F，连接 EF，则 EF 綉 1 2CD，因为AE ， EFAE， CD 90，因为AE BC0，AECD 0，所以AE BCAECD . 答案C 4.已知向量 a(1，1，0)，b(1，0，2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 的值是() A.1B.4 3 C.5 3 D.
3、7 5 解析由题意得，kab(k1，k，2)，2ab(3，2，2).所以(kab)(2a b)3(k1)2k225k70，解得 k7 5. 答案D 5.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，F 分别是 BC， AD 的中点，则AE AF的值为( ) A.a2B.1 2a 2 C.1 4a 2 D. 3 4 a2 解析如图，设AB a，ACb，AD c， 则|a|b|c|a，且 a，b，c 三向量两两夹角为 60. AE 1 2(ab)，AF 1 2c， AE AF1 2(ab) 1 2c 1 4(acbc) 1 4(a 2cos 60a2cos 60)1 4a 2.
4、 答案C 二、填空题 6.已知 2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则以 b，c 为方向向量的两直线的夹角为_. 解析由题意得，(2ab)c0102010. 即 2acbc10，又ac4，bc18， cosb，c bc |b|c| 18 12 144 1 2， b，c120，两直线的夹角为 60. 答案60 7.正四面体 ABCD 的棱长为 2， E， F 分别为 BC， AD 中点， 则 EF 的长为_. 解析|EF |2(ECCD DF )2 EC 2CD2DF22(ECCD EC DF CD DF ) 1222122(12cos 120021cos 120) 2
5、， |EF | 2，EF 的长为 2. 答案2 8.(2017南昌调研)已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别是 OA，BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且MG 2GN ，现用基底OA ， OB ，OC 表示向量OG ，有OG xOA yOB zOC ，则 x，y，z 的值分别为_. 解析OG OM MG 1 2OA 2 3MN 1 2OA 2 3(ON OM ) 1 2OA 2 3 1 2（OB OC ）1 2OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC ， x1 6，y 1 3，z 1 3. 答案 1 6， 1 3， 1 3 三、解答题 9.已知空间中三点 A(2
6、，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设 aAB ，b AC . (1)若|c|3，且 cBC ，求向量 c. (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值. 解(1)cBC ，BC(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)， cmBC m(2，1，2)(2m，m，2m)， |c| （2m）2（m）2（2m）23|m|3， m1.c(2，1，2)或(2，1，2). (2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1， 又|a| 121202 2，|b| （1）20222 5， cosa，b ab |a|b| 1 10 10 10 ， 即向量 a 与向量 b
7、的夹角的余弦值为 10 10 . 10.如图，在棱长为 a 的正方体 OABCO1A1B1C1中，E，F 分 别是棱 AB，BC 上的动点，且 AEBFx，其中 0 xa， 以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. (1)写出点 E，F 的坐标； (2)求证：A1FC1E； (3)若 A1，E，F，C1四点共面，求证：A1F 1 2A 1C1 A1E . (1)解E(a，x，0)，F(ax，a，0). (2)证明A1(a，0，a)，C1(0，a，a)， A1F (x，a，a)，C1E (a，xa，a)， A1F C1E axa(xa)a20， A1F C1E ，A1FC1E. (3)证明A
8、1，E，F，C1四点共面， A1E ， A1C1 ，A1F 共面. 选A1E 与A1C1 为在平面 A1C1E 上的一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)， 使A1F 1A1C1 2A1E ， 即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a) (a1，a1x2，a2)， xa1， aa1x2， aa2， 解得11 2， 21.于是A1F 1 2A 1C1 A1E . 11.在空间四边形 ABCD 中， AB CD AC DB AD BC ( ) A.1B.0C.1D.不确定 解析如图，令AB a，ACb，AD c，则AB CD AC DB AD BC a(cb)b(ac)c(ba) acabb
9、abccbca0. 答案B 12.若a，b，c是空间的一个基底，且向量 pxaybzc，则(x，y，z)叫向量 p 在基底a，b，c下的坐标. 已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一 向量 p 在基底a，b，c下的坐标为(4，2，3)，则向量 p 在基底ab，ab， c下的坐标是() A.(4，0，3)B.(3，1，3) C.(1，2，3)D.(2，1，3) 解析设 p 在基底ab，ab，c下的坐标为 x，y，z.则 px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc， 因为 p 在a，b，c下的坐标为(4，2，3)， p4a2b3c， 由得 xy4， xy2，
10、z3， x3， y1， z3， 即 p 在ab，ab，c下的坐标为(3，1，3). 答案B 13.(2017郑州调研)已知 O 点为空间直角坐标系的原点， 向量OA (1， 2， 3)， OB (2，1，2)，OP (1，1，2)，且点 Q 在直线 OP 上运动，当QA QB 取得最 小值时，OQ 的坐标是_. 解析点 Q 在直线 OP 上，设点 Q(，2)， 则QA (1，2，32)，QB (2，1，22)， QA QB (1)(2)(2)(1)(32)(22)621610 6 4 3 2 2 3.即当 4 3时， QA QB 取得最小值2 3.此时OQ 4 3， 4 3， 8 3 . 答案
11、 4 3， 4 3， 8 3 14.如图所示， 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点，计算： (1)EF BA；(2)EG 的长； (3)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值. 解设AB a，ACb，AD c. 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60， (1)EF 1 2BD 1 2c 1 2a，BA a，DC bc， EF BA 1 2c 1 2a(a)1 2a 21 2ac 1 4， (2)EG EB BCCG 1 2aba 1 2c 1 2b 1 2a 1 2b 1 2c， |EG |21 4a 21 4b 21 4c 21 2ab 1 2bc 1 2ca 1 2， 则|EG | 2 2 . (3)AG 1 2b 1 2c，CE CAAEb1 2a， cosAG ， CE AG CE |AG |CE | 2 3， 由于异面直线所成角的范围是 0， 2 ， 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为2 3.
